2018-2019学年九年级数学上册 单元测试（一）一元二次方程 （新版）新人教版

1单元测试(一)一元二次方程(满分：120分考试时间：120分钟)一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.下列方程是关于x的一元二次方程的是(D)A．ax2＋bx＋c＝0B.1x2＋1x＝2C．x2＋2x＝y2－1D．3(x＋1)2＝2(x＋1)2．如果2是方程x2－3x＋k＝0的一个根，那么常数k的值为(B)A．1B．2C．－1D．－23．一元二次方程x2－2x＋1＝0的根的情况为(A)A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根4．已知关于x的一元二次方程x2－bx＋c＝0的两根分别为x1＝1，x2＝－2，则b与c的值分别为(C)A．b＝－1，c＝2B．b＝1，c＝－2C．b＝－1，c＝－2D．b＝1，c＝25．小强在解方程3(x－3)2＝2x(x－3)时，先将x－3看成一个整体，然后利用因式分解的方法解答，这种解法体现的数学思想是(D)A．转化思想B．函数思想C．类比思想D．整体思想6．老师出示了小黑板上的题目(如图)后，小敏回答：“方程有一根为4”，小聪回答：“方程有一根为－1”．你认为(C)已知方程x2－3x＋k＋1＝0，试添加一个条件，使它的两根之积为－4.A．只有小敏回答正确B．只有小聪回答正确C．小敏、小聪回答都正确D．小敏、小聪回答都不正确7．输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表：2x20.520.620.720.820.9输出－13.75－8.04－2.313.449.21分析表格中的数据，估计方程(x＋8)2－826＝0的一个正数解x的大致范围为(C)A．20.5＜x＜20.6B．20.6＜x＜20.7C．20.7＜x＜20.8D．20.8＜x＜20.98．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为(A)A．16cmB．14cmC．13cmD．10cm9．某校进行体操队列训练，原有8行10列，后增加40人，使得队伍增加的行数、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？设增加了x行或列，则列方程得(D)A．(8－x)(10－x)＝8×10－40B．(8－x)(10－x)＝8×10＋40C．(8＋x)(10＋x)＝8×10－40D．(8＋x)(10＋x)＝8×10＋4010．已知α，β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α＋1β＝－1，则m的值是(B)A．3或－1B．3C．1D．－3或1二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)11．把方程3x(x－1)＝(x＋2)(x－2)＋9化成ax2＋bx＋c＝0的形式为2x2－3x－5＝0．12．解一元二次方程x2＋2x－3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程：x＋3＝0(或x－1＝0)．13．六一儿童节当天，某班同学每人向本班其他每名同学送一份小礼品，全班共互送306份小礼品，则该班有18名同学．14．如图，小明家有一块长150cm，宽100cm的矩形地毯，为了使地毯美观，小明请来工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后地毯的面积是原地毯面积的2倍．若设花色地毯的宽为xcm，则根据题意列方程为x2＋125x－3__750＝0．(化简为一般式)315．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的系数满足a＋b＋c＝0.我们把这样的方程称为“凤凰方程”．已知凤凰方程ax2＋bx＋c＝0的一个根是另一个根的两倍，则这个方程的两个根是1，2或1，12．三、解答题(本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本大题共2个小题，每小题5分，共10分)解方程：(1)x2－2x－1＝0解：a＝1，b＝－2，c＝－1，Δ＝(－2)2－4×1×(－1)＝8，∴x＝2±222，即x1＝1－2，x2＝1＋2.(2)(2x－3)2＝(x＋2)2.解：(2x－3)2＝(x＋2)2，(2x－3)2－(x＋2)2＝0，(2x－3＋x＋2)(2x－3－x－2)＝0，(3x－1)(x－5)＝0，∴x1＝13，x2＝5.17．(本题8分)小明用下面的方法求出方程2x－3＝0的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，并把你的解答过程写在下面的表格中．方程换元法得新方程解新方程检验求原方程的解2x－3＝0令x＝t则2t－3＝0t＝32t＝32＞0x＝32，所以x＝94.x＋2x－3＝0令x＝t，则t2＋2t－3＝0t1＝1，t2＝－3t1＝1＞0，t2＝－3＜0(舍去)x＝1，所以x＝1.4x＋x－2－4＝0令x－2＝t，则t2＋t－2＝0t1＝1，t2＝－2t1＝1＞0，t2＝－2＜0(舍去)x－2＝1，所以x－2＝1，x＝3.18．(本题6分)定义新运算：对于任意实数m，n都有m☆n＝m2n＋n，等式右边是常用的加法、乘法及乘方运算．例如：－3☆2＝(－3)2×2＋2＝20.根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2－bx＋a＝0的根的情况．解：∵2☆a的值小于0，∴22·a＋a＝5a＜0.解得a＜0.在方程2x2－bx＋a＝0中，Δ＝(－b)2－8a≥－8a＞0，∴方程2x2－bx＋a＝0有两个不相等的实数根．19．(本题8分)已知关于x的一元二次方程x2－(t－1)x＋t－2＝0.(1)求证：对于任意实数t，方程都有实数根；(2)当t为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由．解：(1)证明：在方程x2－(t－1)x＋t－2＝0中，Δ＝[－(t－1)]2－4×1×(t－2)＝t2－6t＋9＝(t－3)2≥0，∴对于任意实数t，方程都有实数根．(2)设方程的两根分别为x1，x2，∵方程的两个根互为相反数，∴x1＋x2＝t－1＝0.解得t＝1.∴当t＝1时，方程的两个根互为相反数．20．(本题10分)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为2.6(1＋x)2万元；5(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.解：由题意，得4＋2.6(1＋x)2＝7.146，解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去)．答：可变成本平均每年增长的百分率为10%.21．(本题8分)一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图2所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．解：设剪掉的正方形纸片的边长为xcm.由题意，得(30－2x)(20－2x)＝264.整理，得x2－25x＋84＝0.解得x1＝4，x2＝21(不符合题意，舍去)．答：剪掉的正方形的边长为4cm.22．(本题12分)古希腊数学家丢番图(公元250年前后)在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如x2＋ax＝b2(a＞0，b＞0)的方程的图解法是：如图，以a2和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝a2，则AD的长就是所求方程的解．(1)请用含字母a，b的代数式表示AD的长；(2)请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处．解：(1)∵∠C＝90°，BC＝a2，AC＝b，6∴AB＝b2＋a24.∴AD＝b2＋a24－a2＝4b2＋a2－a2.(2)用求根公式求得：x1＝－4b2＋a2－a2；x2＝4b2＋a2－a2正确性：AD的长就是方程的正根．遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．23．(本题13分)某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．(1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．解：(1)设该果农今年收获樱桃x千克．根据题意，得400－x≤7x.解得x≥50.答：该果农今年收获樱桃至少50千克．(2)由题意，得100(1－m%)×30＋200(1＋2m%)×20(1－m%)＝100×30＋200×20.令m%＝y，原方程可化为3000(1－y)＋4000(1＋2y)(1－y)＝7000.整理，得8y2－y＝0.解得y1＝0，y2＝0.125.∴m1＝0(舍去)，m2＝12.5.答：m的值为12.5.