2018-2019学年九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程 21.2.4 一元二次方程的根与系数

121.2.4一元二次方程的根与系数的关系01基础题知识点1利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值1．(钦州中考)若x1，x2是一元二次方程x2＋10x＋16＝0的两个根，则x1＋x2的值是(A)A．－10B．10C．－16D．162．(怀化中考)若x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则x1x2的值是(D)A．2B．－2C．4D．－33．(凉山中考)已知x1，x2是一元二次方程3x2＝6－2x的两根，则x1－x1x2＋x2的值是(D)A．－43B.83C．－83D.434．(眉山中考)已知一元二次方程x2－3x－2＝0的两个实数根为x1，x2，则(x1－1)(x2－1)的值是－4．5．已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：(1)x1＋x2；解：x1＋x2＝3.(2)x1x2；解：x1x2＝－1.(3)x21＋x22；解：x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝32－2×(－1)＝11.(4)1x1＋1x2；解：1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝3－1＝－3.(5)(x1－1)(x2－1)；解：(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋12＝－1－3＋1＝－3.(6)x2x1＋x1x2.解：x2x1＋x1x2＝x21＋x22x1x2＝11－1＝－11.知识点2利用根与系数的关系求方程中待定字母的值6．(雅安中考)已知x1，x2是一元二次方程x2＋2x－k－1＝0的两根，且x1x2＝－3，则k的值为(B)A．1B．2C．3D．47．(新疆中考)已知关于x的方程x2＋x－a＝0的一个根为2，则另一个根是(A)A．－3B．－2C．3D．68．已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为－3和－1，则p，q的值分别为4，3．9．已知关于x的一元二次方程x2＋(4m＋1)x＋2m－1＝0.(1)求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)设方程的两根分别为x1，x2，且满足1x1＋1x2＝－12，求m的值．解：(1)证明：∵a＝1，b＝4m＋1，c＝2m－1，∴Δ＝(4m＋1)2－4(2m－1)＝16m2＋8m＋1－8m＋4＝16m2＋5.∵16m2≥0，∴Δ＞0.∴不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．(2)根据题意，得x1＋x2＝－(4m＋1)，x1x2＝2m－1，∵1x1＋1x2＝－12，3∴x1＋x2x1x2＝－12.∴－（4m＋1）2m－1＝－12，∴m＝－12.易错点忽视隐含条件10．若关于x的方程x2＋(a－1)x＋a2＝0的两个根互为倒数，求a的值．解：因为方程的两根互为倒数，所以两根的积为1．由根与系数的关系，得a2＝1．解得a＝±1．当a＝1时，原方程化为x2＋1＝0，根的判别式Δ0，此方程没有实数根，所以舍去a＝1．所以a＝－1．02中档题11．(易错题)下列一元二次方程两实数根和为－4的是(D)A．x2＋2x－4＝0B．x2－4x＋4＝0C．x2＋4x＋10＝0D．x2＋4x－5＝012．(烟台中考)若x1，x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的两个根，且x1＋x2＝1－x1x2，则m的值为(D)A．－1或2B．1或－2C．－2D．113．(达州中考)设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2018＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n＝2__016．14．在解某个关于x的一元二次方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为－9，－1；乙看错了常数项，得出的两个根为8，2，则这个方程为x2－10x＋9＝0．15．已知实数m，n满足3m2＋6m－5＝0，3n2＋6n－5＝0，且m≠n，则nm＋mn＝－225．16．(十堰中考)已知关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2.(1)求实数k的取值范围；(2)若x1，x2满足x21＋x22＝16＋x1x2，求实数k的值．解：(1)∵关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2，4∴Δ＝(2k－1)2－4(k2－1)＝－4k＋5≥0，解得k≤54.∴实数k的取值范围为k≤54.(2)∵关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2，∴x1＋x2＝1－2k，x1x2＝k2－1.∵x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16＋x1x2，∴(1－2k)2－2(k2－1)＝16＋(k2－1)，即k2－4k－12＝0，解得k＝－2或k＝6(不符合题意，舍去)．∴实数k的值为－2.17．已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋4k－3＝0.(1)求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；(2)当Rt△ABC的斜边长a为31，且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．解：(1)证明：Δ＝[－(2k＋1)]2－4(4k－3)＝4k2－12k＋13＝(2k－3)2＋4.∵(2k－3)2≥0，∴(2k－3)2＋4＞0，即Δ＞0，∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根．(2)∵b，c是方程x2－(2k＋1)x＋4k－3＝0的两个根，∴b＋c＝2k＋1，bc＝4k－3.∵a2＝b2＋c2，a＝31，∴k2－k－6＝0.∴k1＝3，k2＝－2.∵b，c均为正数，∴4k－3＞0.∴k＝3.此时原方程为x2－7x＋9＝0，∴b＋c＝7.∴△ABC的周长为7＋31.503综合题18．(换元思想)阅读材料：材料1若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.材料2已知实数m、n满足m2－m－1＝0，n2－n－1＝0，且m≠n，求nm＋mn的值．解：由题知m，n是方程x2－x－1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m＋n＝1，mn＝－1.∴nm＋mn＝m2＋n2mn＝（m＋n）2－2mnmn＝1＋2－1＝－3.根据上述材料解决下面的问题：(1)一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝4，x1x2＝－3；(2)已知实数m，n满足2m2－2m－1＝0，2n2－2n－1＝0，且m≠n，求m2n＋mn2的值；(3)已知实数p，q满足p2＝3p＋2，2q2＝3q＋1，且p≠2q，求p2＋4q2的值．解：(2)∵m，n满足2m2－2m－1＝0，2n2－2n－1＝0，∴m，n可看作方程2x2－2x－1＝0的两实数根．∴m＋n＝1，mn＝－12.∴m2n＋mn2＝mn(m＋n)＝－12×1＝－12.(3)设t＝2q，代入2q2＝3q＋1化简为t2＝3t＋2，则p与t(即2q)为方程x2－3x－2＝0的两实数根，∴p＋2q＝3，p·2q＝－2，∴p2＋4q2＝(p＋2q)2－2p·2q＝32－2×(－2)＝13.