2018-2019学年九年级数学上册 第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质同步课件

教学课件数学九年级上册RJ版第二十二章二次函数22.1二次函数的图象和性质1、如果一个正方形的边长为5，那这个正方形的面积为什么？2、如果一个正方体的边长为4，那么这个正方体的表面积为多少？5s96446s22.1二次函数的图象和性质性质3、如果一个正方体的边长为，这个正方体的表面积为y，你可以列出y关于x的表达式吗？26xy问题1：n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数与球队数有什么关系？(1)每个队要与其他的队比赛多少场？怎么用来表示？n每个队要与其他（n-1）个队比赛，所以每队应该是比（n-1）场。(2)把每个队要比赛的场次数相加，是不是就是总场数？有重复场次吗？现在你能得出什么关系式吗？)1(21nnmnnm2121226xynnm212122040202xxy你能看出这三个式子又什么特点吗？这三个式子都是等式，最高次是2次，有两个未知数，并且其中一个未知数随另一个未知数变化而变化。观察一般地，形如)0,,(2acbacbxaxy是常数，的函数，叫做二次函数。这些式子和一次函数有什么区别和联系呢？仿照一次函数，你能给这样的式子下个定义吗？（1）在这个二次函数中，哪个是自变量，哪个是函数？的函数是是自变量，xyx（2）你能说出二次项系数，一次项系数，常数项吗？cba常数项是，一次项系数是二次项系数是,（3）二次项系数、一次项系数和常数项能为0吗？二次项系数不能为0，否则就是一次函数了，一次项系数和常数项可以为0。一个长方形的周长为36，其中一边长为x，写出函数y与x的关系式，并说出二次项系数，一次项系数，常数项。0181-18),18(-182，常数项是，一次项系数是它的二次项系数是整理得：系式：这样就可以列出函数关），，那另一边长是（分析：其中一边长为xxyxxyxx的值是二次函数，求的函数关于mxmyxmm2)1(01,010.10222mmmmmmm由此，，即二次项系数不能为或，解得即次，为二次函数，所以最高次分析：因为所给式子为拓展(1)一次函数的图象是一条_____，反比例函数的图象是________.(2)通常怎样画一个函数的图象？直线双曲线(3)二次函数的图象是什么形状呢？列表、描点、连线结合图象讨论性质是数形结合的研究函数的重要方法．我们得从最简单的二次函数开始逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质．二次函数y=ax2的图象和性质1.列表：在y=x2中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：x···－3－2－10123···y=x2······2.根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）画最简单的二次函数y=x2的图象－3336901491493.如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2的图象．二次函数y=x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线y=x2－33369二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下．一般地，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．y轴是抛物线y=x2的对称轴，抛物线y=x2与它的对称轴的交点（0，0）叫做抛物线y=x2的顶点，它是抛物线y=x2的最低点．函数的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？相同点：开口都向上，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是y轴不同点：a要越大，抛物线的开口越小．观察你画出的图象与图中相同吗？探究画出函数的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．2222,21,xyxyxy－22－2－4－64－4－8对比抛物线，y=x2和y=－x2.它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线y=ax2和y=－ax2呢？二次函数y=ax2的性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值根据图形填下表：2xy2xy抛物线y=x2y=-x2顶点坐标（0，0）（0，0）对称轴y轴y轴位置在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方(除顶点外)开口方向向上向下增减性在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小最值当x=0时,最小值为0当x=0时,最大值为0.一般地，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点．当a0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小，在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a0时，抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越小．在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.归纳例在同一直角坐标系中，画出二函数的图象．解：先列表：x···－3－2－10123···y=x2＋1······y=x2－1······1,122xyxy2二次函数y=ax2+k图象（2）抛物线与抛物线有什么关系？1,122xyxy1,122xyxy2xy4－22246－4810－2y=x2＋1y=x2－1开口方向都向上，对称轴为y轴，y=x2＋1的顶点坐标是（0，1），y=x2－1的顶点坐标是（0，－1）如右图所示（1）抛物线的开口方向、对称轴、顶点各是什么？2xy把抛物线y=2x2向上平移5个单位，会得到哪条抛物线？向下平移3．4个单位呢？思考一般地抛物线y=ax2+k有如下性质：二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k），是由抛物线y=ax2的图象向上（k＞0）或向下（k＜0）平移k的绝对值个单位得到的。当a＞0时，抛物线y=ax2+k的开口向上,在对称轴的左边，即x＜0时，曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小；在对称轴的右边，即x＞0时，曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大。顶点是抛物线的最低点，此时，函数y取得最小值，即当x=0时，y最小值=k。当a＜0时，抛物线y=ax2+k的开口向下,在对称轴的左边，即x＜0时，曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大；在对称轴的右边，即x＞0时，曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小。顶点是抛物线的最高点，此时，函数y取得最大值，即当x=0时，y最大值=k。在同一直角坐标系中，画出下列二处函数的图象：观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴及顶点．你能说出抛物线的开口方向、对称轴及顶点吗？它与抛物线有什么关系？222111,2,2222yxyxyx212yxk212yx练习在同一直角坐标系中连线函数y=-(x-2)2的图象可由y=-x2的图象沿x轴向右平移2个单位长度得到.函数y=-(x+3)2的图象可由y=-x2的图象沿x轴向左平移3个单位长度得到.图象向左移还是向右移,移多少个单位长度,有什么规律吗?y=-(x+3)2y=-x2y=-(x-2)2这两个函数的图象有什么关系？这两个函数的图象开口方向相同但是对称轴和顶点坐标不同函数y=ax2(a≠0)和函数y=a（x-h)2(a≠0)的图象形状相同，只是位置不同；当h0时，函数y=a(x-h)2的图象可由y=ax2的图象向左平移h个单位得到，当h0时，函数y=a(x-h)2的图象可由y=ax2的图象向右平移h个单位得到。在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象：2122yx2122yx212yx观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴及顶点．例(1)画出函数的图象，解：作函数的图象：21112yx21112yx－22－2－4－64－4（2）指出它的开口方向、对称轴及顶点；抛物线的开口方向向下、对称轴是x=－1，顶点是（－1，－1）．21112yx把抛物线向下平移1个单位，再身左平移1个单位，就得到抛物线212yx21112yx(3)抛物线经过怎样的变换可以得到抛物线212yx21112yx－22－2－4－64－4二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)22424bacbyaxaa另24,24bacbhkaa＝所以，有y=a(x－h)2+k配方因此，任何一个二次函数都可以通过将y=ax2进行平移得到－222464－48当h0向左平移h个单位，当h0向右平移|h|个单位，当k0时，向上移k个单位，当k0时，向下移k个单位，就可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．例如，y=2x2－8x＋12,通过配方得y=2(x－2)2＋4就可以通过平移y=2x2得到，如演示所示抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点:(1)当a0时,开口向上;当a0时，开口向下;(2)对称轴是直线x=h;(3)顶点是(h,k).说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：（1）y=2(x+3)2+5;（2）y=－3(x－1)2－2;（3）y=4(x－3)2+7;（4）y=－5(x+2)2－6.解：（1）a=20开口向上，对称轴为x=－3，顶点坐标为（－3，5）;（2）a=－30开口向下，对称轴为x=1，顶点坐标为（1,－2）;（3）a=40开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（3,7）;（4）a=－50开口向下，对称轴为x=－2，顶点坐标为（－2,－6）.我们来画的图象，并讨论一般地怎样画二次函数的图象．20yaxbxca216212yxx我们知道，象这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点为（h,k)，二次函数也能化成这样的形式吗？khxay2216212xxy二次函数y=ax+bx+c的图象和性质接下来，利用图象的对称性列表（请填表）配方可得由此可知，抛物线的顶点是（6，3），对称轴是直线x=6216212xxy36212x216212xxy用配方法因此，抛物线的对称轴是顶点坐标是一般地，我们可以用配方求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点与对称轴cbxaxy2abacabxa44222cbxaxy2abx224,24bacbaa这是确定抛物线顶点与对称轴的公式矩形场地的周长是60m，一边长为l，则另一边长为，场地的面积用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，当l是多少时，场地的面积S最大？即可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数的图象的最高点，也就是说，当l取顶点的横坐标时，这个函数有最大值．由公式可求出顶点的横坐标．ml260分析：先写出S与l的函数关系式，再求出使S最大的l值．S＝l(30－l)S＝－l2+30l(0l30)lsO51010020015202530也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大（S＝225m2）因此，当时，S有最大值，S＝－l2+30l(0l30)写出抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x为何值时y的值最小（大）？xxy232xxy228822xxy34212xxy（4）（3）（2）（1）