2018-2019学年九年级数学上册 第二十二章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程知能综合

122.2二次函数与一元二次方程知能演练提升能力提升1.(2017·江苏徐州中考)若函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点,则b的取值范围是()A.b1,且b≠0B.b1C.0b1D.b12.根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值,判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)一个解x的取值范围是()x6.176.186.196.20ax2+bx+c-0.03-0.010.020.04A.6x6.17B.6.17x6.18C.6.18x6.19D.6.19x6.203.(2017·贵州安顺中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,给出下列四个结论:①4ac-b20;②3b+2c0;③4a+c2b;④m(am+b)+ba(m≠1),其中结论正确的个数是()A.1B.2C.3D.44.二次函数y=ax2+bx的图象如图,若关于x的一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,则m的最大值为()A.-3B.3C.-6D.95.若二次函数y=x2-4x+c的图象与x轴没有交点,其中c为整数,则c=(写一个即可).6.已知二次函数的图象如图,则:2(1)这个二次函数的解析式为;(2)当x=时,y=3;(3)根据图象回答:当x时,y0;当x时,y0.7.对于二次函数y=x2-2mx-3,有下列说法:①它的图象与x轴有两个公共点;②若当x≤1时y随x的增大而减小,则m=1;③若将它的图象向左平移3个单位长度后过原点,则m=-1;④若当x=4时的函数值与当x=2012时的函数值相等,则当x=2016时的函数值为-3.其中正确的说法是.(填序号)8.已知抛物线y=mx2+(3-2m)x+m-2(m≠0)与x轴有两个不同的交点.(1)求m的取值范围;(2)判断点P(1,1)是否在抛物线上;(3)当m=1时,求抛物线的顶点Q及点P关于抛物线的对称轴对称的点P'的坐标.9.已知函数y=mx2-6x+1(m是常数).(1)求证:不论m为何值,该函数的图象都经过y轴上的一个定点;(2)若该函数的图象与x轴只有一个交点,求m的值.3★10.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+2过B(-2,6),C(2,2)两点.(1)试求抛物线的解析式;(2)记抛物线顶点为D,求△BCD的面积;(3)若直线y=-1x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B,C)部分有两个交点,求b的取值范围.创新应用★11.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(2,0),且与函数y=-x+3的图象相交于B,C两点,点B在x轴上,点C在y轴上.(1)求该二次函数的解析式.(2)如果P(x,y)是线段BC上的动点,O为坐标原点,试求△AOP的面积S△AOP与x之间的函数解析式,并求自变量x的取值范围.(3)是否存在这样的点P,使PO=AO?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.4参考答案能力提升1.A∵函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点,∴{--解得b1,且b≠0.故选A.2.C3.B由题目中图象与x轴有两个交点,可知方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,故b2-4ac0,即4ac-b20,①正确;∵-=-1,∴b=2a,∵a+b+c0,∴1b+b+c0,3b+2c0,②正确;当x=-2时,y0,∴4a-2b+c0,∴4a+c2b,③错误;由题目中图象可知x=-1时该二次函数取得最大值,故a-b+cam2+bm+c(m≠-1),得m(am+b)a-b.④错误.综上所述,正确的有①②两个.故选B.4.B因为抛物线的开口向上,顶点纵坐标为-3,所以a0,-=-3,即a0,b2=12a.因为一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,5所以Δ=b2-4am≥即12a-4am≥即12-4m≥解得m≤.所以m的最大值为3.5.答案不唯一,只要满足c4即可,如5等二次函数y=x2-4x+c的图象与x轴没有交点,则一元二次方程x2-4x+c=0的判别式Δ=16-4c0,即c4,因此,只要满足c4的任何一个整数值均可.6.(1)y=(x-1)2-1(2)-1或3(3)小于0或大于2大于0且小于27.①④因为(-2m)2-4×1×(-3)=4m2+120,所以二次函数y=x2-2mx-3的图象与x轴有两个公共点,说法①正确;显然,说法②是错误的;因为y=x2-2mx-3=(x-m)2-m2-3,所以将其图象向左平移3个单位长度后的函数解析式为y=(x-m+3)2-m2-3,若平移后的图象过原点,则(-m+3)2-m2-3=0,解得m=1,说法③错误;由“当x=4时的函数值与当x=2012时的函数值相等”可得,42-2m×4-3=20122-2m×2012-3,解得m=1008,所以当x=2016时,y=20162-2×1008×2016-3=-3,说法④正确.8.解(1)由题意可知抛物线对应的一元二次方程的判别式Δ0,且m≠0,即b2-4ac=(3-2m)2-4m(m-2)0,且m≠0,解得m,且m≠0.(2)当x=1时,由题意得m+(3-2m)+m-2=1,符合函数解析式,所以点P(1,1)在抛物线上.(3)因为m=1,所以y=x2+x-1=(1).所以Q(-1-).根据对称性可得P'(-2,1).9.分析(1)由于函数的常数项为1,故x=0时,y=1,得证.(2)考虑一次函数和二次函数两种情况.当m=0时函数为一次函数,与x轴有一个交点.当m≠0时函数为二次函数,与x轴有一个交点要求对应的一元二次方程有两个相等的实数根,即根的判别式等于0,也可以考虑二次函数顶点的纵坐标为0来求解.(1)证明因为当x=0时,y=1,所以不论m为何值,函数y=mx2-6x+1的图象经过y轴上的一个定点(0,1).(2)解①当m=0时,函数y=-6x+1的图象与x轴只有一个交点;②当m≠0时,若函数y=mx2-6x+1的图象与x轴只有一个交点,则方程mx2-6x+1=0有两个相等的实数根,所以(-6)2-4m=0,m=9.综上所述,若函数y=mx2-6x+1的图象与x轴只有一个交点,则m的值为0或9.610.解(1)把B(-2,6),C(2,2)代入y=ax2+bx+2,得{-解得{1-1故y=1x2-x+2.(2)如图所示,抛物线y=1x2-x+2的对称轴为x=-=--11=1,顶点D(1).设BC交对称轴于点E,直线BC的解析式为y=kx+m,把B(-2,6),C(2,2)代入,得{-解得{-1故y=-x+4.当x=1时,y=-1+4=3,∴E(1,3).∴DE=3-.S△BCD=S△BED+S△CED=1DE·3+1DE·1=1DE·4=1×4=3.(3)直线y=-1x向上平移b个单位所得的直线为y=-1x+b,当它与抛物线y=1x2-x+2只有一个交点时,方程-1x+b=1x2-x+2有两个相等的实数根,整理,得x2-x+4-2b=0,此时Δ=1-4(4-2b)=0,解得b=1.把B(-2,6)代入y=-1x+b,得6=-1×(-2)+b,b=5.把C(2,2)代入y=-1x+b,得2=-1+b,b=3.故当直线y=-1x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B,C)部分有两个交点时,b的取值范围为1b≤.创新应用711.解(1)由题意可知,函数y=-x+3的图象与x轴交于点B(4,0),与y轴交于点C(0,3).所以c=3.把A(2,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+3,得{1解得{-所以所求函数的解析式为y=x2-x+3.(2)如图所示,S△AOP=1OA·y=1×2·y=y=-x+≤x4).(3)不存在这样的点P,使PO=AO.理由:设存在这样的点P(x0,y0),满足PO=AO,则PO=2.如图,PO=√,所以=4.又因为y0=-x0+3,所以25-72x0+80=0.因为b2-4ac=(-72)2-4×25×80=-28160,所以此一元二次方程无解.故不存在这样的点P,使PO=AO.