2018-2019学年九年级数学下册 第2章 圆 2.5 直线与圆的位置关系 2.5.3 切线长定理

12.5.3切线长定理知|识|目|标1．通过画图、折纸操作，理解切线长的概念及切线长定理．2．在理解切线长定理的基础上，能运用切线长定理解决有关问题.目标一理解切线长的概念与切线长定理例1教材补充例题如图2－5－13所示，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，连接PO，交⊙O于点D，交AB于点C，根据以上条件，请写出三个你认为正确的结论，并对其中的一个结论给予证明．图2－5－13【归纳总结】切线长定理中的基本图形：如图2－5－14，PA，PB为⊙O的切线，此图形中含有：图2－5－14(1)两个等腰三角形(△PAB，△OAB)；(2)一条特殊的角平分线(OP平分∠APB和∠AOB)；(3)三个垂直关系(OA⊥PA,OB⊥PB，OP⊥AB)．目标二能运用切线长定理解决有关问题例2高频考题如图2－5－15所示，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，Q为AB︵上一点，过点Q作⊙O的切线，分别交PA，PB于点E，F.已知PA＝12cm，∠P＝70°.求：(1)△PEF的周长；(2)∠EOF的度数．2图2－5－15【归纳总结】运用切线长定理解决有关问题：(1)在解决有关圆的切线长问题时，往往需要构建基本图形：①连接圆心和切点；②连接两个切点；③连接圆心和两切线的交点．(2)在运用切线长定理解决问题时，要注意分解、提炼出切线长定理的基本图形，挖掘图形中的常见几何关系：①线段相等、弧相等；②角相等、角的互余关系；③线段的垂直关系；④全等三角形与相似三角形．知识点切线长的概念与切线长定理(1)切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长．(2)切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．[注意]切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能量度；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以量度．如图2－5－16，PA，PB，CD分别切⊙O于点A，B，E，CD交PA，PB于C，D两点，若∠P＝40°，则∠PAE＋∠PBE的度数为()图2－5－16A．140°B．62°C．66°D．70°答案：A以上答案是否正确？若不正确，请给出正确答案．3教师详解详析【目标突破】例1解：答案不唯一，如图所示，结论：①∠3＝∠4或∠7＝∠8或∠1＝∠5或∠2＝∠6；②OP⊥AB；③AC＝BC.选择证明②：∵PA，PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.在Rt△OAP与Rt△OBP中，∵OA＝OB，OP＝OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP，∴PA＝PB，∠1＝∠2，∴OP⊥AB.例2解：(1)∵PA，PB，EF是⊙O的切线，∴PA＝PB，EA＝EQ，FQ＝FB，∴△PEF的周长＝PE＋PF＋EQ＋FQ＝PA＋PB＝24(cm)．(2)连接OA，OB，OQ.∵PA，PB，EF是⊙O的切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB，EF⊥OQ，∠AEO＝∠QEO，∠QFO＝∠BFO，∴∠AOE＝∠QOE，∠BOF＝∠QOF.又∵∠AOB＝180°－∠P＝110°，∴∠EOF＝12∠AOB＝55°.[备选例题]已知：如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上一点，以点O为圆心，OB长为半径的圆与AB交于点E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.证明：如图，连接BD.∵∠ABC＝90°，OB为⊙O的半径，∴CB是⊙O的切线．∵AC是⊙O的切线，D是切点，∴CD＝CB，∠1＝∠2，∴OC⊥BD.∵BE是⊙O的直径，∴DE⊥BD，∴DE∥OC.【总结反思】[反思]不正确．正解：∵PA，PB，CD分别切⊙O于点A，B，E，CD交PA，PB于C，D两点，∴CE＝CA，DE＝DB，4∴∠CAE＝∠CEA，∠DEB＝∠DBE，∴∠PCD＝∠CAE＋∠CEA＝2∠CAE，∠PDC＝∠DEB＋∠DBE＝2∠DBE，∴∠CAE＝12∠PCD，∠DBE＝12∠PDC，即∠PAE＝12∠PCD，∠PBE＝12∠PDC.∵∠P＝40°，∴∠PAE＋∠PBE＝12∠PCD＋12∠PDC＝12(∠PCD＋∠PDC)＝12(180°－∠P)＝70°.故选D.