2018-2019学年九年级数学下册 第3章 投影与视图本章总结提升同步练习 （新版）湘教版

1投影与视图本章总结提升问题1投影的应用什么是中心投影、平行投影？什么是正投影？当平面图形分别平行、倾斜和垂直于投影面时，它的正投影有什么性质？例1图3－T－1是住宅区内的两幢楼的示意图，它们的高AB＝CD＝30m，两楼间的距离AC＝30m，现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况．(1)当太阳光与水平面的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高(精确到0.1m，3≈1.73)；(2)若要甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上，此时太阳光与水平面的夹角为多少度？图3－T－1【归纳总结】投影的应用：投影有平行投影与中心投影，由于平行投影的光线是平行的，因此它常与平行、相似等知识综合考查．中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，可以构成位似图形．2问题2简单物体的三视图什么是三视图？它是怎样得到的？画三视图要注意什么？例2画出如图3－T－2所示的立体图形的三视图．图3－T－2【归纳总结】简单物体的三视图：画一个几何体的三视图时，要从三个方向观察几何体，具体画法如下：(1)确定主视图的位置，画出主视图；(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”．几何体因被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线．问题3由三视图描述几何体立体图形与三视图、展开图之间有何关系？例3在平整的地面上有若干个完全相同的小正方体堆成的一个几何体，如图3－T－3所示．(1)请画出这个几何体的三视图；(2)如果此时在这个几何体的表面喷上黄色的漆，则在所有的小正方体中，有________个正方体只有一个面是黄色，有________个正方体只有两个面是黄色，有________个正方体只有三个面是黄色；(3)若现在还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加几个小正方体？图3－T－3【归纳总结】由三视图描述几何体：3由三视图想象几何体的形状可从如下途径分析：(1)根据主、俯、左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高．(2)由实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线．问题4直棱柱、圆锥的侧面展开图常见的直棱柱、圆锥的侧面展开图分别是怎样的？例4阅读材料：图3－T－4如图3－T－4，将一个直角三角形AOB绕其一条直角边AO所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作圆锥．圆锥的底面是以OB为半径的一个圆形．圆锥的侧面展开图是一个以点A为圆心，斜边AB的长为半径的扇形，Rt△AOB的斜边AB称为圆锥的一条母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长．S圆锥表面＝S圆锥的侧面＋S圆锥的底面．阅读后，请解答下面的问题：从卡纸上剪下半径是30cm(母线长l＝30cm)的扇形，做一个圆锥形纸盒，圆锥的底面⊙O的直径是20cm(如图3－T－5所示)．(1)求圆锥的底面⊙O的周长；(2)求剪下的扇形的圆心角的度数；(3)求圆锥的表面积．图3－T－5【归纳总结】计算圆锥全面积的“四个关键点”：(1)分析清楚几何体表面的构成；(2)弄清圆锥与其侧面展开图(扇形)各元素之间的对应关系；(3)圆锥的母线长l，底面圆的半径r和圆锥的高h的关系为l2＝r2＋h2；4(4)圆锥的全面积等于其侧面积与底面积的和．问题5三视图在实际生活中的应用根据三视图求物体的表面积和体积的关键是什么？如何根据三视图描述几何体？例5图3－T－6是一个物体的三视图，根据设计图纸上标明的尺寸(单位：mm)计算物体的表面积和体积．图3－T－6【归纳总结】三视图在实际生活中的应用：根据设计图纸中三视图及尺寸求零件的表面积和体积，这是三视图在实际生活中的主要应用，也是日常生产中经常遇到的问题．解决这类问题的方法是首先由三视图想象出几何体的形状，再画出其表面展开图，然后根据图中尺寸利用相应公式进行计算．5教师详解详析【整合提升】例1[解析](1)如图，通过投影的知识，结合题意构造Rt△BEF，设BF＝xm，解此直角三角形可得x的值；由此可得EC的长，即甲楼的影子在乙楼上的高度．(2)要使甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上，易得△ABC为等腰三角形，且AC＝30m，容易求得当太阳光与水平面夹角为45°时，甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上．解：(1)如图所示，延长QB交DC于点E，过点E作EF⊥AB，交AB于点F，则EF＝AC＝30m.在Rt△BEF中，∵∠FEB＝30°，∴BE＝2BF.设BF＝xm，则BE＝2xm.根据勾股定理，得BE2＝BF2＋EF2，∴(2x)2＝x2＋302，∴x1＝103，x2＝－103(舍去)，∴x≈17.3.因此，EC≈30－17.3＝12.7(m)．即甲楼的影子在乙楼上的高度约为12.7m.(2)如图，当甲楼楼顶的影子刚好落在点C处时，△ABC为等腰三角形，因此，当太阳光与水平面的夹角为45°时，甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上．例2[解析]该几何体的主视图是长方形中间挖去一个小长方形，左视图是长方形(中间带一条虚线)，俯视图是圆(中间有两条实线)．解：如图所示．[点评]画一个物体的三视图，其位置规定：主视图在左上方，它正下方是俯视图，左视图放在主视图的右边．例3[解析](2)只有一个面是黄色的应该是第一列正方体中最底层中间那个，共1个；有2个面是黄色的应是第一列最底层最后面那个和第二列最后面那个，共2个；只有三个面是黄色的应是第一列第二层最后面的那个，第二列最前面那个，第三列最底层那个，共3个．解：(1)如图所示：6(2)123(3)最多可以再添加4个小正方体．例4解：(1)由题意可得，圆锥的底面⊙O的周长是20πcm.(2)设剪下的扇形的圆心角是n°，由题意，得nπ×30180＝20π，解得n＝120，即剪下的扇形的圆心角的度数是120°.(3)由题意可得，圆锥的表面积是π×2022＋120π×302360＝400π(cm2)，即圆锥的表面积是400πcm2.例5[解析]由三视图可看出：物体是由上、下两个半径不同的圆柱组成的，其立体图形如图所示．解：物体形状如图所示．上面小圆柱的底面直径为4mm，高为2mm，下面大圆柱的底面直径为8mm，高为8mm.物体体积V＝π×822×8＋π×422×2＝136π(mm3)，物体表面积S表＝8π×8＋4π×2＋2×π×822＝104π(mm2)．即物体的表面积为104πmm2，体积为136πmm3.