2018-2019学年九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 专题训练(二)解直角三角形应用中

1专题训练(二)解直角三角形应用中的六种基本模型►模型一“独立”型1．如图2－ZT－1，一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后，救援船在海岛C处恰好遇见渔船，那么救援船航行的速度为()图2－ZT－1A．103海里/时B．30海里/时C．203海里/时D．303海里/时2．2017·台州如图2－ZT－2是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)图2－ZT－2►模型二“背靠背”型3．如图2－ZT－3，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为()图2－ZT－3A．1603mB．1203m2C．300mD．1602m4．如图2－ZT－4，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部有一点A，某人在岸边的点B处测得点A在点B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4千米到达点C处，再次测得点A在点C的北偏西45°的方向上(其中点A，B，C在同一平面上)．求这个标志性建筑物底部上的点A到岸边BC的最短距离．图2－ZT－4►模型三“母抱子”型5．如图2－ZT－5，某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在点C处仰望建筑物顶端A处，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达点D处，测得建筑物顶端A的仰角为64°，求建筑物的高度．(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：sin48°≈710，tan48°≈1110，sin64°≈910，tan64°≈2)图2－ZT－56．2017·内江如图2－ZT－6，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．(结果保留根号)图2－ZT－63►模型四“拥抱”型7．如图2－ZT－7，梯子斜靠在与地面垂直(垂足为O)的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO＝60°；当梯子底端向右滑动1m(即BD＝1m)到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO＝51°18′，求梯子的长．(参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248)图2－ZT－7►模型五梯形类8．如图2－ZT－8，梯形ABCD是拦水坝的横断面示意图，图中i＝1∶3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比，∠B＝60°，AB＝6，AD＝4，求拦水坝的横断面ABCD的面积．(结果精确到0.1.参考数据：3≈1.732，2≈1.414)图2－ZT－84►模型六“斜截”型9．“蘑菇石”是贵州省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚点B处先乘坐缆车到达与BC平行的观景平台DE处观景，然后再沿着坡角为29°的斜坡由点E步行到达“蘑菇石”点A处，“蘑菇石”点A到水平面BC的垂直距离为1790m．如图2－ZT－9，DE∥BC，BD＝1700m，∠DBC＝80°，求斜坡AE的长度．(结果精确到0.1m，参考数据：sin80°≈0.9848，sin29°≈0.4848)图2－ZT－95详解详析1．[解析]D由“B在海岛A的南偏东20°方向”和“海岛C在海岛A的南偏西10°方向”得∠BAC＝30°，同理得∠ABC＝60°，∴∠ACB＝90°.∵AB＝20海里，∴BC＝10海里，AC＝103海里，再由“救援船由海岛A开往海岛C用时20分钟”可求得救援船航行的速度为303海里/时．故选D.2．解：车门不会碰到墙．理由如下：如图，过点A作AC⊥OB，垂足为C.在Rt△ACO中，∵∠AOC＝40°，AO＝1.2米，∴AC＝AO·sin∠AOC≈1.2×0.64＝0.768(米)．∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，0.80.768，∴车门不会碰到墙．3．[解析]A过点A作AD⊥BC于点D，则∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120m.在Rt△ABD中，BD＝AD·tan30°＝120×33＝403(m)．在Rt△ACD中，CD＝AD·tan60°＝120×3＝1203(m)，∴BC＝BD＋CD＝403＋1203＝1603(m)．4．解：过点A作AD⊥BC于点D，则AD的长度就是点A到岸边BC的最短距离．在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，设AD＝x千米，则CD＝AD＝x千米．在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，因为tan∠ABD＝ADBD，即tan60°＝xBD，所以BD＝xtan60°＝33x千米．又因为BC＝4千米，所以BD＋CD＝4千米，即33x＋x＝4，6解得x＝6－23，所以这个标志性建筑物底部上的点A到岸边BC的最短距离为(6－23)千米．5．解：根据题意，得∠ADB＝64°，∠ACB＝48°.在Rt△ADB中，tan64°＝ABBD，则BD＝ABtan64°≈12AB，在Rt△ACB中，tan48°＝ABCB，则CB＝ABtan48°≈1011AB，∴CD＝CB－BD，即6＝1011AB－12AB，解得AB＝1329≈14.7(米)，∴建筑物的高度约为14.7米．6．[解析]先求出∠DBE＝30°，∠BDE＝30°，得出BE＝DE，设EC＝x，则BE＝2x，DE＝2x，DC＝3x，BC＝3x，再根据∠DAC＝45°，可得AC＝DC，列出方程求出x的值，即可求出塔DE的高度．解：由题意知，∠DBC＝60°，∠EBC＝30°，∴∠DBE＝∠DBC－∠EBC＝60°－30°＝30°.又∵∠BCD＝90°，∴∠BDC＝90°－∠DBC＝90°－60°＝30°，∴∠DBE＝∠BDE，∴BE＝DE.设EC＝xm，则DE＝BE＝2EC＝2xm，DC＝EC＋DE＝3xm，BC＝BE2－EC2＝3xm.由题意可知，∠DAC＝45°，∠DCA＝90°，AB＝60m，∴△ACD为等腰直角三角形，∴AC＝DC，∴3x＋60＝3x.解得x＝30＋103.答：塔ED的高度为(30＋103)m.7．解：设梯子的长为xm.在Rt△ABO中，cos∠ABO＝OBAB，∴OB＝AB·cos∠ABO＝x·cos60°＝12xm.在Rt△CDO中，cos∠CDO＝ODCD，∴OD＝CD·cos∠CDO＝x·cos51°18′≈0.625xm.∵BD＝OD－OB，∴0.625x－12x＝1，解得x＝8.答：梯子的长约为8m.8．解：过点A作AF⊥BC，垂足为F.在Rt△ABF中，∠B＝60°，AB＝6，∴AF＝ABsinB＝6sin60°＝33，BF＝ABcosB＝6cos60°＝3.∵AD∥BC，AF⊥BC，DE⊥BC，7∴四边形AFED是矩形，∴DE＝AF＝33，FE＝AD＝4.在Rt△CDE中，i＝DECE＝13，∴CE＝3DE＝3×33＝9，∴BC＝BF＋FE＋CE＝3＋4＋9＝16，∴S梯形ABCD＝12(AD＋BC)·DE＝12×(4＋16)×33≈52.0.答：拦水坝的横断面ABCD的面积约为52.0.9．解：过点D作DF⊥BC于点F，延长DE交AC于点M，由题意，得EM⊥AC，∴四边形DMCF为矩形，∴DF＝MC.在Rt△DFB中，sin80°＝DFBD，则DF＝BD·sin80°＝1700×sin80°(m)，∴AM＝AC－MC＝AC－DF＝(1790－1700×sin80°)m.在Rt△AME中，sin29°＝AMAE，则AE＝AMsin29°＝1790－1700×sin80°sin29°≈238.9(m)．答：斜坡AE的长度约为238.9m.