2018-2019学年九年级数学下册 第二十八章 锐角三角函数 28.2 解直角三角形及其应用 28

1课时作业(二十一)[28.2.2第2课时仰角、俯角与解直角三角形]一、选择题1．2018·长春如图K－21－1，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道(点A，B在同一水平面上)．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为()图K－21－1A．800sinα米B．800tanα米C.800sinα米D.800tanα米2．聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标．如图K－21－2，点O是摩天轮的圆心，长为110米的AB是其垂直地面的直径，小莹在地面上的点C处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为33°，测得圆心O的仰角为21°，则小莹所在点C到直径AB所在直线的距离约为(tan33°≈0.65，tan21°≈0.38)()图K－21－2A．169米B．204米C．240米D．407米3．如图K－21－3，在一个20米高的楼顶上有一信号塔DC，某同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测得信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了8米到达B处，又测得信号塔顶端C的仰角为45°，CD⊥AB于点E，点E，B，A在一条直线上，则信号塔CD的高度为()图K－21－3A．203米B．(203－8)米C．(203－28)米D．(203－20)米24．如图K－21－4，在湖边高出水面50m的山顶A处看见一艘飞艇停留在湖面上空某处，观察到飞艇底部标志P处的仰角为45°，又观察到其在湖中的像P′的俯角为60°，则飞艇距离湖面的高度为链接听课例题归纳总结()图K－21－4A．(253＋75)mB．(503＋50)mC．(753＋75)mD．(503＋100)m二、填空题5．2017·山西如图K－21－5，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10m的点E处，测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE＝1.5m，则这棵树的高度为________m．(结果保留小数点后一位．参考数据：sin54°≈0.8090，cos54°≈0.5878，tan54°≈1.3764)图K－21－56．如图K－21－6所示，李敏同学在学校某建筑物的点C处测得旗杆顶部点A的仰角为30°，旗杆底部点B的俯角为45°.若旗杆底部点B到建筑物的水平距离BE＝9米，旗杆台阶高1米，则旗杆顶点A离地面的高度为________米(结果保留根号)．图K－21－6三、解答题7．2017·潍坊如图K－21－7，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度．该楼底层为车库，高2.5m；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5m，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB＝14m．求该居民楼的高度(精确到0.1m，参考数据：3≈1.73)．3图K－21－78．如图K－21－8，某无人机于空中A处探测到目标B，D的俯角分别是30°，60°，此时无人机的飞行高度AC为60m，随后无人机从A处继续水平飞行303m到达A′处．(1)求A，B之间的距离；(2)求无人机在A′处看目标D的俯角的正切值．链接听课例题归纳总结图K－21－89．2017·荆门金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高．如图K－21－9，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°.已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶的坡角为30°，且点E，F，D在同一直线上．求旗杆AB的高．(计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)图K－21－9410．如图K－21－10，一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行，在航线AB的正下方有两个山头C，D.飞机在A处时，测得山头C，D在飞机的前方，俯角分别为60°和30°.飞机飞行了6km到B处时，往后测得山头C的俯角为30°，而山头D恰好在飞机的正下方．求山头C，D之间的距离．图K－21－10转化思想如图K－21－11，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°(点B，C，E在同一水平直线上)，已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离(结果精确到0.1m，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)．图K－21－115详解详析[课堂达标]1．[解析]D在Rt△ABC中，∵∠CAB＝90°，∠ABC＝α，AC＝800米，∴tanα＝ACAB，∴AB＝ACtanα＝800tanα米．故选D.2．[解析]B如图，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D.在Rt△ACD中，AD＝CD·tan∠ACD＝CD·tan33°，在Rt△DCO中，OD＝CD·tan∠DCO＝CD·tan21°.∵AB＝110米，∴AO＝55米，∴AO＝AD－OD＝CD·tan33°－CD·tan21°＝55米，∴CD＝55tan33°－tan21°≈550.65－0.38≈204(米)．故小莹所在点C到直径AB所在直线的距离约为204米．3．[解析]C根据题意，得AB＝8米，DE＝20米，∠A＝30°，∠EBC＝45°.在Rt△ADE中，AE＝3DE＝203米，∴BE＝AE－AB＝(203－8)米．在Rt△BCE中，CE＝BE·tan45°＝(203－8)×1＝(203－8)米．∴CD＝CE－DE＝203－8－20＝(203－28)米．4．[解析]D设AE＝xm．在Rt△AEP中，∠PAE＝45°，则∠P＝45°，∴PE＝AE＝xm.∵山顶A处高出水面50m，∴OE＝50m，∴OP′＝OP＝PE＋OE＝(x＋50)m.∵∠P′AE＝60°，∴P′E＝tan60°·AE＝3xm，∴OP′＝P′E－OE＝(3x－50)m.∴x＋50＝3x－50，解得x＝50(3＋1)，∴OP＝PE＋OE＝50(3＋1)＋50＝(503＋100)m.5．[答案]15.3[解析]过点C作CD⊥AB，垂足为D，则四边形CEBD是矩形，BD＝CE＝1.5m.在Rt△ACD中，CD＝EB＝10m，∠ACD＝54°.∵tan∠ACD＝ADCD，∴AD＝CD·tan∠ACD≈10×1.3764＝13.764(m)，∴AB＝AD＋BD≈13.764＋1.5≈15.3(m)．6.()10＋337．[解析]设每层高度为xm，则可表示出EC′与DC′的长，然后通过解Rt△DC′A′与Rt△EC′B′，用含x的式子表示出C′B′与C′A′的长，其差即为AB的长14米，由此构建方程求解．解：设每层高度为xm，由题意，得MC′＝MC－CC′＝2.5－1.5＝1(m)，则DC′＝(5x＋1)m，EC′＝(4x＋1)m.6在Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°，∴C′A′＝DC′tan60°＝33(5x＋1)m.在Rt△EC′B′中，∠EB′C′＝30°，∴C′B′＝EC′tan30°＝3(4x＋1)m.∵C′B′－C′A′＝A′B′＝AB，AB＝14m，∴3(4x＋1)－33(5x＋1)＝14，解得x≈3.18.∴该居民楼的高度约为5×3.18＋2.5＝18.4(米)．8．解：(1)∵∠BAC＝90°－30°＝60°，AC＝60m，∴在Rt△ABC中，AB＝ACcos∠BAC＝60cos60°＝120(m)．即A，B之间的距离为120m.(2)如图，过点D作DE⊥AA′于点E，连接A′D.∵∠DAC＝90°－60°＝30°，AC＝60m，∴在Rt△ADC中，CD＝AC·tan∠DAC＝60×tan30°＝203(m)．∵∠AED＝∠EAC＝∠C＝90°，∴四边形ACDE是矩形．∵ED＝AC＝60m，EA＝CD＝203m，∴在Rt△A′ED中，tan∠EA′D＝EDEA′＝EDEA＋AA′＝60203＋303＝235.即无人机在A′处看目标D的俯角的正切值为235.9．解：过点C作CM⊥AB于点M，则四边形CMED是矩形，且△AMC是等腰直角三角形．设AM＝x米，则ED＝MC＝x米，AE＝AM＋ME＝AM＋CD＝(x＋3)米．在Rt△AEF中，EF＝AEtan∠AFE＝x＋33米．在Rt△CFD中，FD＝CDtan∠CFD＝33米．∵ED＝MC，∴x＝x＋33＋33，解得x＝63＋6.∴AB＝AM＋ME－BE＝63＋6＋3－1＝63＋8≈6×1.73＋8≈18.4(米)．答：旗杆AB的高约为18.4米．10．解：如图，过点D作DE⊥BC于点E.∵∠BAC＝60°，∠ABC＝30°，∴∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，∵AB＝6km，∴AC＝3km，BC＝33km.7在Rt△ABD中，∵AB＝6km，∠BAD＝30°，∴BD＝AB·tan30°＝23km.∵∠DBE＝∠ABD－∠ABC＝60°，∠DEB＝90°，∴BE＝3km，DE＝3km，∴CE＝BC－BE＝23km.在Rt△CDE中，CD＝CE2＋DE2＝21km.答：山头C，D之间的距离是21km.[素养提升]解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H.则DE＝BF＝CH＝10m.在Rt△ADF中，∵AF＝AB－BF＝80－10＝70(m)，∠ADF＝45°，∴DF＝AF＝70m.在Rt△CDE中，∵DE＝10m，∠DCE＝30°，∴CE＝DEtan30°＝1033＝103(m)，∴BC＝BE－CE＝DF－CE＝70－103≈70－17.32≈52.7(m)．答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7m.