2018-2019学年八年级数学上册 第十二章 全等三角形 12.3 角的平分线的性质教案 （新版）

1EvaluationWarning:ThedocumentwascreatedwithSpire.Docfor.NET.12.3角的平分线的性质（第1课时）教学目标（一）教学知识点角平分线的画法、角平分线的性质1．（二）能力训练要求1．掌握角平分线的性质12．会用尺规作一个已知角的平分线．（三）情感与价值观要求在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．教学重点利用尺规作已知角的平分线．角平分线的性质1．教学难点角的平分线的性质1教学过程：一．提出问题，创设情境问题：图中哪条线段的长可以表示点P到直线l的距离？导入新课，明确学习目标如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮忙设计一个作角的平分线的操作方案吗？二．合作交流探究新知探究1想一想：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？教师活动：播放多媒体课件，演示角平分仪器的操作过程，使学生直观了解得到射线AC的方法．学生活动：观看多媒体课件，讨论操作原理．分析：要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB．∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了．我们看看条件够不够．ABADBCDCACAC所以△ABC≌△ADC（SSS）．所以∠CAD=∠CAB．即射线AC就是∠DAB的平分线．2原来用三角形全等，就可以解决角相等或线段相等的一些问题．看来温故是可以知新的．试一试：老师再提出问题：通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）讨论结果展示：作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．（3）作射线OC，射线OC即为所求．（教师根据学生的叙述，作多媒体课件演示，使学生能更直观地理解画法，提高学习数学的兴趣）．点拨：1．在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN的长”这个条件行吗？2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯）学生讨论结果总结：1．去掉“大于12MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．2．若分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制条件缺一3不可．4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．探究2：做一做1请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？点拨：角的平分线除了有平分角的性质，还有其他性质，今天我们就来研究这个问题．做一做2角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．操作：1．折出如图所示的折痕PD、PE．2．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求．画一画：按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？拿出两名同学的画图，请大家评一评，以达明确概念的目的．教师提出问题：你能叙述所画图形的性质吗？生回答后，教师进一步引导:观察操作得到的结论有时并不可靠，你能否用推理的方法验证你的结论呢？证一证：引导学生证明角平分线的性质1，分清题设、结论，将文字变成符号并加以证明（一生板演）说一说:引导学生结合图形从文字和符号的角度分别叙述问题1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？让学生得出：角平分线上的点到角的两边的距离相等．4问题2：（出示）能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．学生通过讨论作出下列概括：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．三、巩固提升:1、已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC.2、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，求证：D到AB、AC的距离相等.DCBA项目教学内容说明课题12.3角的平分线的性质（第2课时）教材P49-50相关内容教学目标1．探索并证明角平分线的性质定理的逆定理.2．会用角平分线的性质定理的逆定理解决问题．重点角平分线的性质定理的逆定理及其应用.难点灵活应用两个性质解决问题．BAEDCF5使用多媒体多媒体课件教学过程教师活动学生活动说明或设计意图复习旧知，导入新课1．角的平分线的性质定理是怎样叙述的？2．用数学语言怎样描述？师作出草图帮助理解．3．反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？已知：如右图（1）,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．求证：点P在∠AOB的平分线上．这节课我们就来探究这个问题.出示课题并板书课题.1.集体回答：角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。2．看图说出数学语言：∵OC平分∠AOB，点P在OC上，且PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE。3．讨论，证明．图（1）合作探1．如上右图（1），点P是否在∠AOB的平分线上呢？首先我们要作出辅助线，怎么做呢？怎样证明呢？教师巡视，引导证明．通过证明，你得到什么结论？这就是角的平分线的性质定理的逆定理，也叫做角的平分线的判定定理．1．前后桌同学讨论．并试着给出证明．证明:经过点P作射线OC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中PO＝PO，PD=PE，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）,∴∠POD＝∠POE，∴点P在∠AOB的平分线上,即OC平分∠AOB.结论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,P6究，解决问题这个定理用数学语言如何表示呢？2．角的平分线的性质定理与判定定理有什么区别呢？出示课件加以说明．老师点拨．3．随堂练习．填空：如右图（2）。(1)∵∠1=∠2,DC⊥AC,DE⊥AB，∴___________。(__________________________)(２)∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE，∴__________。(______________________________)4．解决问题：（课本第49页思考题）如下图（3），要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）图（3）5.教学例1：已知：如右图（5）,在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。求证：AD是∠BAC的角平分线.分析：∴OP平分∠AOB．即点P在∠AOB的平分线上.2．通过老师的点拨，得出：它们的题设与结论刚好相反，是一对互逆定理，它们在应用上也不相同，角的平分线的性质可用来证明线段相等；而角的平分线的判定定理是用来判定角的平分线．3．看图回答问题．图（2）4．动手试一试，解决问题.解：如下图（4），作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm,D即为所求。图（4）图（5）5.按照老师的分析写出解题步骤.（步骤略）DABCEsOACDEB12sDC7AD是∠BAC的平分线DE＝DF△BDE≌△CDF学生如有困难，板书解题过程.6.教学例题2.如下图（6），△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.图（6）点拨：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F。想一想：点P也在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？6.根据老师的提示思考并尝试证明.证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上（已知）,∴PD=PE.（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、CA的距离相等.思考并回答：点P也在∠A的平分线上，三角形三条角平分线相交于一点．课堂练习，巩固提1.练习.（教材P50练习第2题）如右图（7），△ABC的∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P..求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等。2.已知：如右图（8），BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于D，BD=CD.求证：AD平分∠BAC.1.同桌讨论并解题.（解题步骤略）图（7）图（8）ABCFEDABCDEF12ABCPNMP8PAOBCED12升图（9）3、变式：已知：如上图（9）,在△ABC中，BD＝CD,∠1=∠2.求证：AD平分∠BAC.巡视，对有困难的学生给予帮助.待学生做完后讲评.2与3学生画出草图，自己解题.个别学生上台板演.课堂小结1．这节课你有什么收获和体会？2．这节课我们学习了哪些知识要点？３．怎样用数学语言表达角的平分线的判定定理？４．你还有哪些困惑？释疑.自主回答，畅所欲言.提出疑问，当堂解决.板书设计12.3角的平分线的性质（第2课时）角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。（如下图）∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，∴OP平分∠AOB．即点P在∠AOB的平分线上，∴PD=PE（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）例1：例2：练习讲评：１．如图，已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE相交于点F,CF=BF,求证:点F在∠A9AFAAADNEBFMC作业设计的平分线上.第1题图第2题图2.如图，要在S区建一个广告牌P，使它到两条公路和一条铁路的距离都相等．这个广告牌P应建在何处？3、如图所示，BF与CE相交于D，BD=CD，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E。求证：点D在∠BAC的平分线上。第3题图第4题图4、如图，已知PA=PB，∠1+∠2=180°，求证：OP平分∠AOB.5、如图，在△ABC中，点O是∠BAC与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长.第5题图CBAEDOAOBP12EF┌┌EABDCF公路公路铁路S