2018-2019学年度九年级数学下册 第5章 二次函数 5.2 二次函数的图像和性质 5.2.3

1第3课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质知|识|目|标1．通过对比二次函数图像，能够总结出抛物线y＝ax2与y＝a(x＋h)2＋k之间的平移规律．2．会作函数y＝a(x＋h)2＋k的图像，能正确说出y＝a(x＋h)2＋k的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标．3．通过类比用配方法解一元二次方程的过程，会将二次函数的一般式化成顶点式．4．通过将二次函数的一般式化成顶点式，在理解并掌握二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图像和性质的基础上，理解并掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与性质．目标一掌握二次函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图像的平移规律例1教材补充例题在同一直角坐标系中，画出函数y＝－12x2，y＝－12x2－1，y＝－12(x＋1)2－1的图像，列表比较这三条抛物线的对称轴、顶点坐标，并总结它们的平移规律．【归纳总结】抛物线y＝a(x＋h)2＋k的平移方法(1)规律法：首先要化平移后抛物线的函数表达式为顶点式，然后按照“左加右减，上加下减”的平移规律，确定平移的方法．(2)图像法：画出抛物线进行比较，得出平移方法．(3)顶点法：转化成顶点的平移，根据顶点的平移方法确定抛物线的平移方向和平移距离．目标二掌握二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图像和性质例2教材补充例题已知二次函数y＝2(x－3)2＋1.下列说法：①其图像的开口向下；②其图像的对称轴为直线x＝－3；③其图像顶点的坐标为(3，－1)；④当x＜3时，y随x的增大而减小．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【归纳总结】确定抛物线y＝a(x＋h)2＋k的顶点坐标和对称轴的技巧注意抛物线y＝a(x＋h)2＋k顶点的横坐标为－h，对称轴为直线x＝－h，不要弄错符号．目标三会将二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x＋h)2＋k的形式例3教材补充例题用配方法将函数y＝12x2－2x＋1化为y＝a(x＋h)2＋k的形式是()A．y＝12(x－2)2－1B．y＝12(x－1)2－1C．y＝12(x－2)2－32D．y＝12(x－1)2－3目标四掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像及其性质例4教材例题针对训练已知抛物线y＝－2x2－5x＋7.(1)求出抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)当x取何值时，y有最大值？最大值是多少？(3)当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？【归纳总结】确定抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴、顶点坐标的两种方法(1)配方法，即y＝ax2＋bx＋c＝a(x＋b2a)2＋4ac－b24a.(2)公式法，即抛物线的对称轴为直线x＝－b2a，顶点坐标为(－b2a，4ac－b24a知识点一二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图像一般地，函数y＝a(x＋h)2＋k(a，h，k为常数，a≠0)的图像可以由函数y＝ax2(a≠0)的图像沿y轴________平移|k|个单位长度，沿x轴________平移|h|个单位长度而得到，平移时遵循“上加下减，左加右减”的规律．知识点二二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图像和性质y＝a(x＋h)2＋ka0a0顶点坐标________________对称轴直线________直线________位置由h和k的符号确定由h和k的符号确定开口方向________________增减情况在对称轴的左侧，y随x的增大而________；在对称轴的右侧，y随x的增大而________在对称轴的左侧，y随x的增大而________；在对称轴的右侧，y随x的增大而________最值当x＝________时，函数有最______值，为________当x＝________时，函数有最______值，为________知识点三二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点式y＝ax2＋bx＋c＝ax＋b2a2＋4ac－b24a.知识点四二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)a0a03图像示例二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)a0a0开口方向________________顶点坐标－b2a，4ac－b24a－b2a，4ac－b24a函数的增减性当x＜－b2a时，y随x的增大而________；当x＞－b2a时，y随x的增大而________当x＜－b2a时，y随x的增大而________；当x＞－b2a时，y随x的增大而________最值当x＝________时，函数有最______值，为________当x＝________时，函数有最______值，为________若二次函数y＝mx2＋4x＋m－1的图像有最高点，且最高点的纵坐标为－4，试求m的值．某同学的解题过程如下：由抛物线的顶点坐标公式－b2a，4ac－b24a，得最高点的纵坐标为4ac－b24a，所以4m（m－1）－424m＝－4，即m2＋3m－4＝0，解得m1＝－4，m2＝1，所以m的值为－4或1.你认为上述解答正确吗？如果不正确，请说明理由，并给出正确的解答过程．4详解详析【目标突破】例1解：列表如下：xy＝－12x2y＝－12x2－1y＝－12(x＋1)2－1－4－8－9－5.5－3－4.5－5.5－3－2－2－3－1.5－1－0.5－1.5－100－1－1.51－0.5－1.5－32－2－3－5.53－4.5－5.5－9描点、连线略．抛物线对称轴顶点坐标y＝－12x2直线x＝0(0，0)y＝－12x2－1直线x＝0(0，－1)y＝－12(x＋1)2－1直线x＝－1(－1，－1)抛物线y＝－12x2向下平移1个单位长度得到抛物线y＝－12x2－1，抛物线y＝－12x2－1向左平移1个单位长度得到抛物线y＝－12(x＋1)2－1.例2[解析]A∵a＝2＞0，∴抛物线开口向上，∴①错误．∵形如y＝a(x＋h)2＋k的抛物线的对称轴是直线x＝－h，顶点坐标是(－h，k)，∴抛物线y＝2(x－3)2＋1的对称轴是直线x＝3，顶点坐标为(3，1)，∴②③错误．∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝3，∴当x＜3时，y随x的增大而减小，∴④正确．故选A.例3[解析]Ay＝12x2－2x＋1＝12(x2－4x＋2)＝12[(x－2)2－2]＝12(x－2)2－1.例4[解析]求抛物线的顶点坐标有两种方法，一是利用配方法将一般式化为顶点式y＝a(x＋h)2＋k，则顶点坐标为(－h，k)；二是利用顶点坐标公式直接求．以对称轴为分界线，可知函数的增减性．解：(1)∵a＝－2，b＝－5，c＝7，∴－b2a＝－－52×（－2）＝－54，4ac－b24a＝4×（－2）×7－（－5）24×（－2）＝818，∴抛物线y＝－2x2－5x＋7的对称轴是直线x＝－54，顶点坐标是－54，818.5(2)∵抛物线y＝－2x2－5x＋7的顶点坐标是－54，818，且开口向下，∴当x＝－54时，y取得最大值，最大值为818.(3)∵a0，∴抛物线的开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∴当x－54时，y随x的增大而增大，当x－54时，y随x的增大而减小．【总结反思】[小结]知识点一上下左右知识点二(－h，k)(－h，k)x＝－hx＝－h向上向下减小增大增大减小－h小k－h大k知识点四向上向下减小增大增大减小－b2a小4ac－b24a－b2a大4ac－b24a[反思]不正确．理由：本题中有几个关键性的字，即“最高点”，这意味着抛物线的开口是向下的，即二次项的系数是负值，而当m＝1时，原函数图像的开口向上，有最低点而没有最高点，故不符合题意，应舍去．正解：根据题意，得4m（m－1）－424m＝－4，且m＜0，解得m＝－4.