2018-2019学年度九年级数学下册 第5章 二次函数 专题训练（二）二次函数与其他知识的六种综合

1专题训练(二)二次函数与其他知识的六种综合应用►类型之一二次函数与一次函数的综合应用1．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一直角坐标系中的图像可能是()图2－ZT－12．二次函数y＝ax2＋bx＋c和正比例函数y＝23x的图像如图2－ZT－2所示，则方程ax2＋(b－23)x＋c＝0的两根之和()图2－ZT－2A．大于0B．等于0C．小于0D．不能确定►类型之二二次函数与反比例函数的综合应用3．二次函数y＝－ax2＋a与反比例函数y＝ax的图像大致是()图2－ZT－34．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c与反比例函数y＝bx的图像在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y＝bx＋ac的图像可能是()图2－ZT－45．春秋季属于传染病易发期，某住宅小区的活动室坚持天天消毒，如图2－ZT－5是某次消毒时活动室内空气中消毒液浓度y(单位：毫克/立方米)随时间x(单位：分)的变化情况．从开始喷药到喷药结束的10分钟内(包括第10分钟)，y是x的二次函数；喷药结束后(从第10分钟开始)，y是x的反比例函数．(1)如果点A是图中二次函数图像的顶点，求二次函数和反比例函数的表达式(要求写出2自变量的取值范围)；(2)已知空气中消毒液浓度y不小于15毫克/立方米且持续时间不少于8分钟才能有效消毒，通过计算，请你回答这次消毒是否有效．图2－ZT－5►类型之三二次函数与三角形的综合应用6．已知直线y＝－3x＋3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y＝－13(x－3)2＋4上，能使△ABP为等腰三角形的点P有()A．3个B．4个C．5个D．6个7．如图2－ZT－6，已知直线l过A(4，0)和B(0，4)两点，它与二次函数y＝ax2的图像在第一象限内交于点P.若S△AOP＝92，求该二次函数的表达式．图2－ZT－6►类型之四二次函数与平行四边形的综合应用8．已知二次函数y＝23x2的图像如图2－ZT－7，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，3An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，Bn在二次函数位于第一象限的图像上，点C1，C2，C3，…，Cn在二次函数位于第二象限的图像上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3，…，四边形An－1BnAnCn都是菱形，∠A0B1A1＝∠A1B2A2＝∠A2B3A3＝…＝∠An－1BnAn＝60°，菱形An－1BnAnCn的周长为________．图2－ZT－79．2018·温州如图2－ZT－8，抛物线y＝ax2＋bx交x轴正半轴于点A，直线y＝2x经过抛物线的顶点M.已知该抛物线的对称轴为直线x＝2，交x轴于点B.(1)求a，b的值；(2)P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP.设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，记K＝Sm，求K关于m的函数表达式及K的取值范围．图2－ZT－8►类型之五二次函数与圆的综合应用10．如图2－ZT－9，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0，c＜0)交x轴于点A，B，交y轴于点C.设过A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D.已知点A，B，C的坐标分别为(－2，0)，(8，0)，(0，－4)．(1)求此抛物线相应的函数表达式与点D的坐标；(2)若M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值．4图2－ZT－9►类型之六二次函数与图形变换11．如图2－ZT－10，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线y＝a1x2＋b1x＋c1，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①b＞0；②a－b＋c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c＝－1，则b2＝4a.图2－ZT－1012．如图2－ZT－11，一段抛物线：y＝－x(x－2)(0≤x≤2)记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于点A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于点A3；……如此进行下去，直至得到C6.若点P(11，m)在第6段抛物线C6上，则m＝________．图2－ZT－115详解详析1．[解析]AA项，由抛物线开口向上可知a＞0，由抛物线对称轴为直线x＝－b2a＞0，得b＜0，由直线可知a＞0，b＜0，故本选项正确；B项，由抛物线开口向下可知a＜0，由直线可知a＞0，故本选项错误；C项，由抛物线开口向下可知a＜0，由抛物线对称轴为直线x＝－b2a＞0，得b＞0，由直线可知a＜0，b＜0，故本选项错误；D项，由抛物线可知a＞0，b＜0，由直线可知a＞0，b＞0，故本选项错误．2．[解析]A由二次函数的图像可知a＞0，－b2a＞0，则－ba0.设方程ax2＋(b－23)x＋c＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－b－23a＝－ba＋23a.∵a＞0，∴23a＞0，∴x1＋x2＞0.3．[解析]A当a＞0时，抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，双曲线位于第一、三象限，故选项C、D错误；当a＜0时，抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，双曲线位于第二、四象限，故选项B错误，选项A正确．4．[解析]B由题意可知，二次函数与反比例函数的图像的交点坐标为(1，b)，且b0，则a＋b＋c＝b，即a＋c＝0，所以a与c异号，所以一次函数y＝bx＋ac的图像经过第一、三、四象限．故选B.5．解：(1)依题意可知A(10，20)为抛物线的顶点．设二次函数的表达式为y＝a(x－10)2＋20.把O(0，0)代入，得100a＋20＝0，解得a＝－15，∴二次函数的表达式为y＝－15(x－10)2＋20(0≤x≤10)．设反比例函数的表达式为y＝kx.将点A的坐标代入，得k＝xy＝200，∴反比例函数的表达式为y＝200x(x＞10)．(2)有效．把y＝15代入y＝－15(x－10)2＋20，得－15(x－10)2＋20＝15，解得x＝5或x＝15(舍去)．把y＝15代入y＝200x，得x＝403.∵403－5＞8，∴这次消毒有效．6．[解析]A如图，以点B为圆心，线段AB长为半径作圆，交抛物线于点C，M，N，连接AC，BC.令一次函数y＝－3x＋3中的x＝0，则y＝3，∴点A的坐标为(0，3)．6令一次函数y＝－3x＋3中的y＝0，则－3x＋3＝0，解得x＝3，∴点B的坐标为(3，0)，∴AB＝23.∵抛物线的对称轴为直线x＝3，∴点C与点A关于抛物线的对称轴对称，∴点C的坐标为(23，3)，∴AC＝23＝AB＝BC，∴△ABC为等边三角形．设抛物线与x轴的交点分别为P，Q.令y＝－13(x－3)2＋4中的y＝0，则－13(x－3)2＋4＝0，解得x＝－3或x＝33，∴点P的坐标为(－3，0)，点Q的坐标为(33，0)，∴BP＝BQ＝23，∴点M与点P重合，点N与点Q重合，∴点M的坐标为(－3，0)，点N的坐标为(33，0)，∴△ABC为等边三角形．△ABP为等腰三角形的情况分三种：①当AB＝BP时，以点B为圆心，AB长为半径作圆，与抛物线交于C，M，N三点；②当AB＝AP时，以点A为圆心，AB长为半径作圆，与抛物线交于C，M两点；③当AP＝BP时，作线段AB的垂直平分线，与抛物线交于C，M两点．综上所述，能使△ABP为等腰三角形的点P有3个．故选A.7．解：设直线l所对应的函数表达式为y＝kx＋b.∵直线l过A(4，0)和B(0，4)两点，∴4k＋b＝0，b＝4，解得k＝－1，b＝4.∴y＝－x＋4.∵S△AOP＝92，∴12×4×yP＝92，∴yP＝94.将y＝94代入y＝－x＋4，解得x＝74，∴P(74，94)．把点P的坐标(74，94)代入y＝ax2，解得a＝3649，∴二次函数的表达式为y＝3649x2.8．4n9．解：(1)将x＝2代入y＝2x，得y＝4，∴点M的坐标是(2，4)．由题意，得－b2a＝2，4a＋2b＝4，解得a＝－1，b＝4.7(2)如图，过点P作PH⊥x轴于点H.∵点P的横坐标为m，抛物线的函数表达式为y＝－x2＋4x，∴PH＝－m2＋4m.∵B(2，0)，∴OB＝2，∴S＝12×2×(－m2＋4m)＝－m2＋4m，∴K＝Sm＝－m＋4.由题意，得A(4，0)．∵M(2，4)，∴2m4.∵K随着m的增大而减小，∴0K2.10．[解析](1)把点A，B，C的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋c得方程组，从而可以求出a，b，c的值；运用勾股定理的逆定理判断△ABC的形状，结合垂径定理可求点D的坐标．(2)设点M(m，14m2－32m－4)，过点M作MH⊥y轴于点H，利用面积割补关系，即S△BDM＝S△DOB＋S梯形BMHO－S△DHM，构建函数表达式，可以求△BDM面积的最大值．解：(1)由题意，得4a－2b＋c＝0，64a＋8b＋c＝0，c＝－4，解得a＝14，b＝－32，c＝－4，∴y＝14x2－32x－4.如图，连接AC，BC.∵点A，B，C的坐标分别为(－2，0)，(8，0)，(0，－4)，∴AC2＝20，BC2＝80，AB2＝100，∴AC2＋BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴AB是圆的直径．∵AB⊥CD，∴DO＝CO＝4，∴D(0，4)．(2)如图，过点M作MH⊥y轴于点H.设点M的坐标为(m，14m2－32m－4)，∴S△BDM＝S△DOB＋S梯形BMHO－S△DHM＝12×4×8＋12(m＋8)(－14m2＋32m＋4)－12m(4－14m2＋32m＋4)＝－m2＋4m＋32＝－(m－2)2＋36，8∴△BDM面积的最大值为36.11．[答案]③④[解析]∵抛物线开口向上，∴a＞0.又∵－b2a＞0，∴b＜0，∴结论①不正确；∵当x＝－1时，y＞0，∴a－b＋c＞0，∴结论②不正确；∵抛物线向右平移了2个单位长度，函数y＝ax2＋bx＋c的最小值是y＝－2，∴阴影部分的面积是2×2＝4，∴结论③正确；∵4ac－b24a＝－2，c＝－1，∴b2＝4a，∴结论④正确．12．[答案]－1[解析]∵y＝－x(x－2)＝－(x－1)2＋1(0≤x≤2)，∴C1的顶点坐标为(1，1)，∴点A1的坐标为(2，0)．∵C2由C1旋转得到，∴A1A2＝OA1，即C2的顶点坐标为(3，－1)，A2(4，0)．照此类推可得C3的顶点坐标为(5，1)，A3(6，0)；C4的顶点坐标为(7，－1)，A4(8，0)；C5的顶点坐标为(9，1)，A5(10，0)；C6的顶点坐标为(11，－1)，A6(12，0)．∴m＝－1.