2018-2019学年度八年级数学上册 第13章 轴对称 13.3 等腰三角形 13.3.2 等边三

113.3.2等边三角形学校：___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共12小题）1．如图，△AOB是边长为2的等边三角形，顶点A的坐标是（）A．（，）B．（，﹣1）C．（﹣1，）D．（，﹣1）2．平面上，若点P与A、B、C三点中的任意两点均构成等腰三角形，则称点P是A、B、C三点的巧妙点．若A、B、C三点构成三角形，也称点P是△ABC的巧妙点．则平面上等边△ABC的巧妙点有（）个．A．7B．8C．9D．103．在△ABC中，AB=BC=AC=6，则△ABC的面积为（）A．9B．18C．9D．184．下列几种三角形：①有一个角为60°的等腰三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上的中线的三角形；④有一外角为120°的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．等腰△ABC的顶角A为120°，过底边上一点D作底边BC的垂线交AC于E，交BA的延长线于F，则△AEF是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰但非等边三角形6．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是（）2A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状7．下面给出几种三角形：（1）有两个角为60°的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为60°的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．在下列结论中：（1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个9．已知：在△ABC中，∠A=60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：①如果添加条件“AB=AC”，那么△ABC是等边三角形；②如果添加条件“∠B=∠C”，那么△ABC是等边三角形；③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．上述说法中，正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个10．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°．若BE=6cm，DE=2cm，则BC的长为（）A．4cmB．6cmC．8cmD．12cm11．如图，在四边形ABCD中，AB=AC，∠ABD=60°，∠ADB=78°，∠BDC=24°，则∠DBC=（）3A．18°B．20°C．25°D．15°12．在下列结论中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④有一个角是60°，且是轴对称的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题（共8小题）13．如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=．14．将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC，设点A表示的数为x﹣3，点B表示的数为2x+1，点C表示的数为﹣4，若将△ABC向右滚动，则x的值等于，数字2012对应的点将与△ABC的顶点重合．15．如图，∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1=1，则△AnBnAn+1的边长为．416．下列三角形：（1）有两个角等于60°；（2）有一个角等于60°的等腰三角形；（3）三个外角都相等的三角形；（4）一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有．17．在直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（0，），B（﹣1，0），C（1，0）．（1）△ABC为三角形．（2）若△ABC三个顶点的纵坐标不变，横坐标分别加3，则所得的图形与原来的三角形相比，主要的变化是．18．如果三角形的三边a、b、c适合（a2﹣2ac）（b﹣a）=c2（a﹣b），则a、b、c之间满足的关系是；有同学分析后判断△ABC是等边三角形，你的判断是．19．如图，AB=AC，DB=DC，若∠ABC为60°，BE=3cm，则AB=cm．20．如图是两块完全一样的含30°角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C．已知AC=5，则这块直角三角板顶点A、A′之间的距离等于．三．解答题（共5小题）21．已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，求：∠B、∠C的度数，△ABC是什么三角形？522．如图，在等边△ABC中，AC=6，点O在AC上，且AO=2，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是多少？23．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．（1）判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由；（2）若∠C=30°，图中是否存在等边三角形？若存在，请写出来并证明；若不存在，请说明理由．624．如图一，AB=AC，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB．问：（答题时，注意书写整洁）（1）图一中有几个等腰三角形？（写出来，不需要证明）（2）过D点作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，如图二，图中现在增加了几个等腰三角形，选一个进行证明．（3）如图三，若将题中的△ABC改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？（写出来，不需要证明）线段EF与BE、CF有什么关系，并证明．25．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求7出此时M、N运动的时间．8参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，∵△AOB是等边三角形，∴AE⊥OB，∠OAE=30°，∴OE=OA=1，AE=．∵点A位于第二象限，∴（﹣1，）．故选：C．2．解：（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心，（2）点P在三角形外部时，一个对称轴上有三个点，如图：共有9个点符合要求，∴具有这种性质的点P共有10个．故选：D．93．解：如图，作AD⊥BC于D，∵AB=BC=AC=6，∵AD为BC边上的高，则D为BC的中点，∴BD=DC=3，∴AD=，∴等边△ABC的面积=BC•AD=×6×3=9．故选：C．4．解：因为有三角都是60°，或有三边相等的三角形是等边三角形，那么可由①，②，④推出等边三角形，而③只能得出这个三角形是等腰三角形．故选：B．105．解：如图，∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠AEF=∠DEC=90°﹣∠C，∠F=90°﹣∠B，∴∠AEF=∠F．又∠A=120°，∴∠FAE=60°．∴△AEF是等边三角形．故选：A．6．解：∵△ABC为等边三角形∴AB=AC∵∠1=∠2，BE=CD∴△ABE≌△ACD∴AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°∴△ADE是等边三角形．故选：B．7．解：有三角都是60°，或有三边相等的三角形是等边三角形，那么可由（1），（2），（4）推出等边三角形，而（3）只能得出这个三角形是等腰三角形．故选：B．118．解：（1）：因为外角和与其对应的内角的和是180°，已知有一个外角是120°，即是有一个内角是60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形．该结论正确．（2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误．（3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误．（4）若每一个角各取一个外角，则所有内角相等，即三角形是等边三角形；若一个顶点取2个的话，就不成立，该结论错误．故选：D．9．解：①若添加的条件为AB=AC，由∠A=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC为等边三角形；②若添加条件为∠B=∠C，又∵∠A=60°，∴∠B=∠C=60°，∴∠A=∠B=∠C，则△ABC为等边三角形；③若添加的条件为边AB、BC上的高相等，如图所示：已知：∠BAC=60°，AE⊥BC，CD⊥AB，且AE=CD，求证：△ABC为等边三角形．证明：∵AE⊥BC，CD⊥AB，∴∠ADC=∠AEC=90°，在Rt△ADC和Rt△CEA中，，12∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL），∴∠ACE=∠BAC=60°，∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°，∴AB=AC=BC，即△ABC为等边三角形，综上，正确的说法有3个．故选：A．10．解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE=6cm，DE=2cm，∴DM=4cm，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=30°，∴NM=2cm，∴BN=4cm，∴BC=2BN=8cm．故选：C．1311．解：如图延长BD到M使得DM=DC，∵∠ADB=78°，∴∠ADM=180°﹣∠ADB=102°，∵∠ADB=78°，∠BDC=24°，∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=102°，∴∠ADM=∠ADC，在△ADM和△ADC中，，∴△ADM≌△ADC，∴AM=AC=AB，∵∠ABD=60°，∴△AMB是等边三角形，∴∠M=∠DCA=60°，∵∠DOC=∠AOB，∠DCO=∠ABO=60°，∴∠BAO=∠ODC=24°，∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，∴24°+2（60°+∠CBD）=180°，∴∠CBD=18°，故选：A．12．14解：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形，正确；②有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，错误；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，错误；④有一个角是60°，且是轴对称的三角形是等边三角形，正确．故选：C．二．填空题（共8小题）13．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC．又点D是边BC的中点，∴∠BAD=∠BAC=30°．故答案是：30°．14．解：∵将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC，设点A表示的数为x﹣3，点B表示的数为2x+1，点C表示的数为﹣4，∴﹣4﹣（2x+1）=2x+1﹣（x﹣3）；∴﹣3x=9，x=﹣3．故A表示的数为：x﹣3=﹣3﹣3=﹣6，点B表示的数为：2x+1=2×（﹣3）+1=﹣5，即等边三角形ABC边长为1，数字2012对应的点与﹣4的距离为：2012+4=2016，∵2016÷3=672，C从出发到2012点滚动672周，∴数字2012对应的点将与△ABC的顶点C重合．故答案为：﹣3，C．15．15解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵