教辅-高考数学大二轮专题复习：函数与导数之导数及其应用

专题二函数与导数第二编讲专题第2讲导数及其应用「考情研析」1.导数的几何意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点．2.利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见题型．1核心知识回顾PARTONE核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1.导数的几何意义(1)函数y＝f(x)在就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，即k＝．(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为．□01x＝x0处的导数f′(x0)□02f′(x0)□03y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．函数的单调性(1)在某个区间(a，b)内，如果，那么函数y＝f(x)在这个区间内．(2)利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：①确定函数；②求；③在函数f(x)的定义域内；④根据③的结果确定函数f(x)的．□01f′(x)＞0(f′(x)0)□02单调递增(单调递减)□03f(x)的定义域□04导数f′(x)□05解不等式f′(x)0或f′(x)0□06单调区间核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业3．导数与极值函数f(x)在x0处的导数且f′(x)在x0附近“”⇔f(x)在x0处取得；函数f(x)在x0处的导数且f′(x)在x0附近“”⇔f(x)在x0处取得．4．求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤(1)求函数y＝f(x)在[a，b]内的；(2)比较函数y＝f(x)的与的函数值，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．□01f′(x0)＝0□02左正右负□03极大值□04f′(x0)＝0□05左负右正□06极小值□01极值□02各极值□03端点处□04f(a)，f(b)的大小2热点考向探究PARTTWO核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向1导数的几何意义例1(1)(2020·山东省青岛一中模拟)已知函数f(x)是偶函数，当x0时，f(x)＝xlnx＋1，则曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线方程为()A．y＝－xB．y＝－x＋2C．y＝xD．y＝x－2答案A解析当x0时，f(x)＝f(－x)＝－xln(－x)＋1，f(－1)＝1，f′(x)＝－ln(－x)－1，f′(－1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线方程为y－1＝－(x＋1)，即y＝－x，故选A.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)(多选)(2020·辽宁省大连市模拟)若点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)是函数f(x)＝－ex＋1，x≤1，lnx，x1的图象上任意两点，且函数f(x)在点A和点B处的切线互相垂直，则下列结论正确的是()A．x10B．0x11C．x2x1的最小值为eD．x1x2的最大值为e答案CD核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f′(x1)，点B处的切线的斜率为f′(x2)，函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直时，有f′(x1)f′(x2)＝－1，由(1－ex)′＝－ex，(lnx)′＝1x，可得－ex1·1x2＝－1，即x2＝ex1，由x21，可得0x1≤1，故A，B错误；由x2x1＝ex1x1，设g(x)＝exx(0x≤1)，可得g′(x)＝ex（x－1）x2，核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业在x∈(0，1]，g′(x)≤0，可得g(x)在(0，1]上单调递减，可得g(x)有最小值g(1)＝e，故C正确；x1x2＝x1ex1，设h(x)＝xex(0x≤1)，可得h′(x)＝(x＋1)ex0，即h(x)在(0，1]上单调递增，可得h(x)有最大值e，故D正确．故选CD.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(3)已知曲线y＝13x3＋43，则曲线在点P(2，4)处的切线方程为____________；曲线过点P(2，4)的切线方程为_________________________．4x－y－4＝04x－y－4＝0或x－y＋2＝0核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析①∵P(2，4)在曲线y＝13x3＋43上，y′＝x2，∴在点P(2，4)处的切线的斜率为y′|x＝2＝4.∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.②设曲线y＝13x3＋43与过点P(2，4)的切线相切于点Ax0，13x30＋43，则切线的斜率为y′|x＝x0＝x20.∴切线方程为y－13x30＋43＝x20(x－x0)，核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业即y＝x20·x－23x30＋43.∵点P(2，4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43，即x30－3x20＋4＝0，∴x30＋x20－4x20＋4＝0，∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业函数在某点的导数值就是对应曲线在该点处切线的斜率，这是导数的几何意义，所以与导数有关的问题常涉及求导数、求斜率、求切点坐标、求切线方程、求参数值等．注意切点既在原函数的图象上又在切线上这一条件的应用．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1．设直线y＝12x＋b是曲线y＝lnx(x＞0)的一条切线，则实数b的值为()A．ln2－1B．ln2－2C．2ln2－1D．2ln2－2答案A解析设切点坐标为(x0，lnx0)，则1x0＝12，即x0＝2，∴切点坐标为(2，ln2)，又切点在直线y＝12x＋b上，∴ln2＝1＋b，即b＝ln2－1.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．若点P是函数f(x)＝x2－lnx上任意一点，则P到直线x－y－2＝0的最小距离为()A．22B．2C．12D．3答案B核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析由f′(x)＝2x－1x＝1得x＝1(负值舍去)，故曲线f(x)＝x2－lnx上切线斜率为1的切点是(1，1)，所以点P到直线x－y－2＝0的最小距离为|1－1－2|2＝2，故选B.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业3．(2020·湖南省雅礼中学高三5月质检)已知奇函数f(x)的定义域为R，且当x0时，f(x)＝ln(1－3x)，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为________．答案－34解析由题意得，奇函数f(x)的图象关于原点对称，∴f′(1)＝f′(－1).当x0时，f′(－1)＝－34，则f′(1)＝－34.即曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－34.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向2利用导数研究函数的单调性例2(1)已知函数f(x)＝x2－5x＋2lnx，则函数f(x)的单调递增区间是()A．0，12和(1，＋∞)B．(0，1)和(2，＋∞)C．0，12和(2，＋∞)D．(1，2)答案C解析函数f(x)＝x2－5x＋2lnx的定义域是(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－5＋2x＝2x2－5x＋2x＝（x－2）（2x－1）x＞0，解得0＜x＜12或x＞2，故函数f(x)的单调递增区间是0，12和(2，＋∞).核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)已知函数f(x)＝12x2＋alnx，若对任意两个不等的正数x1，x2，都有f（x1）－f（x2）x1－x24恒成立，则a的取值范围为()A．[4，＋∞)B．(4，＋∞)C．(－∞，4]D．(－∞，4)答案A核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析令g(x)＝f(x)－4x，因为f（x1）－f（x2）x1－x24，所以g（x1）－g（x2）x1－x20，即g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故g′(x)＝x＋ax－4≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a≥4x－x2，令h(x)＝4x－x2，x∈(0，＋∞)，则h(x)＝4x－x2≤h(2)＝4，h(x)max＝4，即a的取值范围为[4，＋∞).核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(3)(2020·海南省高三阶段性测试)定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若f′(x)2f(x)，则不等式e4f(－x)e－8xf(3x＋2)的解集是()A．－12，＋∞B．－∞，12C．－12，1D．－1，12答案A核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析因为f′(x)2f(x)，所以e2xf′(x)－2e2xf(x)0.令g(x)＝f（x）e2x，则g′(x)＝e2xf′（x）－2e2xf（x）（e2x）20，所以g(x)在R上单调递减，又g(－x)＝f（－x）e－2x，g(3x＋2)＝f（3x＋2）e6x＋4，所以e4f(－x)e－8xf(3x＋2)的解集等价于g(－x)g(3x＋2)的解集，所以有－x3x＋2，即x－12.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(1)大多数试题中确定函数的单调性需要分类讨论，讨论的标准是导数的零点在定义域内的分布情况，根据导数的零点把定义域划分为若干区间，在各个区间上确定导数值的符号．(2)研究函数单调性时要注意函数的定义域，要从函数本身确定函数定义域，不要求导后从导数上确定函数的定义域．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1．函数f(x)＝ex－ex，x∈R的单调递增区间是()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(－∞，1)D．(1，＋∞)答案D解析由题意知，f′(x)＝ex－e，令f′(x)＞0，解得x＞1，故选D.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．(2020·河北省邯郸市一模)已知定义域为R的函数f(x)满足f12＝12，f′(x)＋4x0，其中f′(x)为f(x)的导函数，则不等式f(sinx)－cos2x≥0的解集为()A．－π3＋2kπ，π3＋2kπ，k∈ZB．－π6＋2kπ，π6＋2kπ，k∈ZC．π3＋2kπ，2π3＋2kπ，k∈ZD．π6＋2kπ，5π6＋2kπ，k∈Z答案D核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析令g(x)＝f(x)＋2x2－1，则g′(x)＝f′(x)＋4x0，故g(x)在R上单调递增．又f(sinx)－cos2x＝f(sinx)＋2sin2x－1，且g12＝0，故原不等式可转化为g(sinx)≥g12，所以sinx≥12，解得π6＋2kπ≤x≤5π6＋2kπ，k∈Z.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业3．设f(x)＝－13x3＋12x2＋2ax.若f(x)在23，＋∞上存在单调递增区间，则a的取值范围为________．答案a＞－19解析由f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－x－122＋14＋2a，当x∈23，＋∞时，f′(x)的最大值为f′23＝29＋2a；令29＋2a＞0，得a＞－19，所以，当a＞－19时，f(x)在23，＋∞上存在单调递增区间.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向3利用导数研究函数的极值、最值例3(1)已知函数f(x)＝xex－13ax3－12ax2有三个极值点，则a的取值范围是()A．(0，e)B．0，1eC．(e，＋∞)D．1e，＋∞答案C核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析由题意，函数的导数f′(x)＝ex＋xex－ax2－ax，若函数f(x)＝xex－13ax3－12ax2有三个极值点，等价于f′(x)＝ex＋xex－ax2－ax＝0有三个不同的实根．(1＋x)