教辅-高考数学大二轮专题复习：函数与导数之函数的图象与性质

专题二函数与导数第二编讲专题第1讲函数的图象与性质「考情研析」1.对函数图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决有关函数性质的问题．2.求函数零点所在的区间、零点的个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选填题的形式出现．1核心知识回顾PARTONE核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1.函数的单调性单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔⇔f(x)在[a，b]上是减函数．□01f（x1）－f（x2）x1－x2＞0□02f（x1）－f（x2）x1－x2＜0核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有成立，则f(x)为奇函数(都有成立，则f(x)为偶函数).(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值，若f(x＋T)＝(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期．□01f(－x)＝－f(x)□02f(－x)＝f(x)□03f(x)核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业3．关于函数的周期性、对称性的结论(1)函数的周期性①若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)为周期函数，是它的一个周期．②设f(x)是R上的偶函数，且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，是它的一个周期.③设f(x)是R上的奇函数，且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，是它的一个周期.□012a□022a□034a核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)函数图象的对称性①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线对称.②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点对称．③若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线对称．□04x＝a□05(a，0)□06x＝a＋b2核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业4．函数与方程(1)零点定义：x0为函数f(x)的零点⇔⇔(x0，0)为f(x)的图象与x轴的交点．(2)确定函数零点的三种常用方法①解方程判定法：解方程f(x)＝0.②零点存在性定理法：根据连续函数y＝f(x)满足f(a)·f(b)＜0，判定函数在区间(a，b)内存在零点．③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解．□01f(x0)＝02热点考向探究PARTTWO核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向1函数的性质例1(1)(2020·广东省广州市天河区一模)已知x1＝ln12，x2＝e－12，x3满足e－x3＝lnx3，则下列各选项正确的是()A．x1x3x2B．x1x2x3C．x2x1x3D．x3x1x2答案B核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析依题意，因为y＝lnx为(0，＋∞)上的增函数，所以x1＝ln12ln1＝0.因为y＝ex为R上的增函数，且ex0，所以0x2＝e－12e0＝1.x3满足e－x3＝lnx3，所以x30，所以e－x30，所以lnx30＝ln1，又因为y＝lnx为(0，＋∞)上的增函数，所以x31.综上，x1x2x3.故选B.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)(2020·东北三省三校高三第三次联合模拟考试)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log3(x＋1)＋ax2－a＋1(a为常数)，则不等式f(3x＋4)－5的解集为()A．(－∞，－1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－2)D．(－2，＋∞)答案D解析因为f(x)在R上是奇函数，所以f(0)＝0，解得a＝1，所以当x≥0时，f(x)＝log3(x＋1)＋x2，且x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，显然f(x)在R上单调递增，因为f(2)＝5，f(－2)＝－5，故有3x＋4－2，得x－2.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(3)(多选)(2020·山东省潍坊市一模)已知函数f(x)对任意x∈R，满足f(x)＝－f(6－x)，f(x＋1)＝f(－x＋1)，若f(a)＝－f(2020)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上为单调函数，则下列结论正确的是()A．f(3)＝0B．a＝8C．f(x)是周期为4的周期函数D．y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称答案AB核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析∵f(x)对任意x∈R，满足f(x)＝－f(6－x)，f(x＋1)＝f(－x＋1)，∴f(x)＝－f(6－x)＝－f(－(x－5)＋1)＝－f(x－5＋1)＝－f(x－4)，∴f(x)＝－f(x－4)，∴f(x－8)＝f(x－4－4)＝－f(x－4)＝f(x)，故f(x)的周期为T＝8，故C错误；f(a)＝－f(2020)＝－f(252×8＋4)＝－f(4)＝－f(3＋1)＝－f(－2)＝－[－f(6－(－2))]＝f(8)，又a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调，易得a＝8，故B正确；∵f(x)＝－f(6－x)⇒f(3)＝－f(6－3)＝－f(3)⇒f(3)＝0，A正确；∵f(x＋1)＝f(－x＋1)，∴x＝1为函数f(x)的对称轴，故D错误．故选AB.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(1)函数奇偶性的判断主要是根据定义，涉及奇偶性与单调性相结合的问题应明确奇、偶函数的单调性特征，将所研究的问题转化为同一个单调区间，涉及偶函数的单调性应注意f(x)＝f(－x)＝f(|x|)的应用．(2)含参数奇、偶函数问题，应根据奇偶函数的定义列出关于参数的方程，而对原点处有定义的奇函数，可直接用f(0)＝0列式求参数．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1．(2020·河北省邯郸市一模)函数f(x)＝lg(x2－1)－lg(x－1)在[2，9]上的最大值为()A．0B．1C．2D．3答案B解析因为f(x)＝lgx2－1x－1＝lg(x＋1)在[2，9]上单调递增，所以f(x)max＝f(9)＝lg10＝1.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(－1)＝－1，则f(2020)＋f(2021)＝()A．－2B．－1C．0D．1答案D核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析由题意，奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，则f(－x＋1)＝f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数，f(2020)＝f(505×4)＝f(0)＝0，f(2021)＝f(505×4＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝1，则f(2020)＋f(2021)＝0＋1＝1.故选D.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业3．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x＋2)5的解集是________．答案(－7，3)解析∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|).又x≥0时，f(x)＝x2－4x，∴不等式f(x＋2)5⇒f(|x＋2|)5⇒|x＋2|2－4|x＋2|5⇒(|x＋2|－5)(|x＋2|＋1)0⇒|x＋2|－50⇒|x＋2|5⇒－5x＋25⇒－7x3.故解集为(－7，3).核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向2函数的图象例2(1)(2020·广东省茂名市二模)将函数f(x)＝x－12x－x2的图象向左平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的图象大致是()答案B核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析g(x)＝f(x＋1)＝x＋1－12（x＋1）－（x＋1）2＝x1－x2.因为g(x)＝－g(－x)，且g(x)的定义域关于原点对称，所以g(x)为奇函数，排除A；g(x)有唯一的零点，排除C；g12＝230，排除D；只有B符合条件．故选B.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是()核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业答案B核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析函数h＝f(t)是关于t的减函数，故排除C，D；一开始，h随着时间t的变化而减小，且减小速度越来越慢，超过一半时，h随着时间t的变化而减小，且减小速度越来越快，故对应的图象为B，故选B.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业知式选图问题的求解方法：根据图象与坐标轴的交点及图象的左、右、上、下分布特征、变化趋势，再结合函数的单调性、奇偶性等性质分析解析式与图象的对应关系，同时要注意特殊点的应用．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1.下列四个函数中，图象如图所示的只能是()核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业A．y＝x＋lgxB．y＝x－lgxC．y＝－x＋lgxD．y＝－x－lgx答案B核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析特殊值法：当x＝1时，由图象可知y＞0，而C，D中，y＜0，故排除C，D.又当x＝110时，由图象可知y＞0，而A中y＝110＋lg110＝－910＜0，排除A，故选B.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．(2020·东北三省三校高三第三次联合模拟考试)已知函数f(x)满足当x≤0时，2f(x－2)＝f(x)，且当x∈(－2，0]时，f(x)＝|x＋1|－1；当x0时，f(x)＝logax(a0，且a≠1).若函数f(x)的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是()A．(625，＋∞)B．(4，64)C．(9，625)D．(9，64)答案C核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析先作出函数f(x)在(－∞，0]上的部分图象(图略)，再作出该部分图象关于原点对称的图象，如图所示.若函数f(x)的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则函数f(x)＝logax的图象与所作的图象恰好有3个交点，所以a1，loga312，loga514，解得9a625.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向3函数的零点例3(1)函数y＝lgx－sinx在(0，＋∞)上的零点个数为()A．1B．2C．3D．4答案C核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析画出函数y＝lgx与y＝sinx的图象，如图，易知两函数图象在(0，＋∞)上有3个交点，即函数y＝lgx－sinx在(0，＋∞)上有3个零点，故选C.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)(2020·江西省吉安、抚州、赣州市高三一模)设函数f(x)＝ex＋2x－4的零点a∈(m，m＋1)，函数g(x)＝lnx＋2x2－5的零点b∈(n，n＋1)，其中m∈N，n∈N，若过点A(m，n)作圆(x－2)2＋(y－1)2＝1的切线l，则l的方程为()A．y＝±33x＋1B．y＝±3x＋1C．y＝1D．x＝0，y＝1答案A核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析依题意，f(0)＝－30，f(1)＝e－20，且函数f(x)是增函数，因此函数f(x)的零点a∈(0，1)，g(1)＝－30，g(2)＝ln2＋30，且函数g(x)在(0，＋∞)上是增函数，因此函数g(x)的零点b∈(1，2)，于是m＝0，n＝1，A(0，1).设切线l的方程为y＝kx