教辅-高考数学大二轮专题复习：解析几何之规范答题系列五

专题六解析几何第二编讲专题规范答题系列五解析几何类解答题(2020·山东省高三第一次仿真联考)(12分)在直角坐标系xOy中，已知F(1，0)，动点P到直线x＝6的距离等于2|PF|＋2，动点P的轨迹记为曲线C.(1)求曲线C的方程；解(1)设点P(x，y)，则由题意，得|x－6|＝2（x－1）2＋y2＋2(x6)，(2分)整理，得3x2＋4y2＝12，即x24＋y23＝1.故动点P的轨迹C的方程为x24＋y23＝1.(4分)(2)已知A(2，0)，过点F的动直线l与曲线C交于B，D两点，记△AOB和△AOD的面积分别为S1和S2，求S1＋S2的最大值．解题思路(1)设点P(x，y)，根据“动点P到直线x＝6的距离等于2|PF|＋2”建立等量关系，整理，得曲线C的方程；(2)先依据题意判断直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my＋1，将直线l的方程与轨迹C的方程联立消去x，设B(x1，y1)，D(x2，y2)，即可得y1＋y2，y1y2，进而表示|y1－y2|，依据S1＋S2＝12|OA|·|y1|＋12|OA|·|y2|＝12|OA|·|y1－y2|构建函数，利用基本不等式求函数的最大值．解(2)设B(x1，y1)，D(x2，y2)，由题意可知直线l的斜率不为0，则可设直线l的方程为x＝my＋1，联立x＝my＋1，x24＋y23＝1，整理，得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，(5分)Δ＝(6m)2－4×(3m2＋4)×(－9)＝144(m2＋1)0，所以y1＋y2＝－6m3m2＋4，y1y2＝－93m2＋4，(6分)则|y1－y2|＝（y1＋y2）2－4y1y2＝－6m3m2＋42＋363m2＋4＝12m2＋13m2＋4，(7分)故S1＋S2＝12|OA|·|y1|＋12|OA|·|y2|＝12|OA|·|y1－y2|＝12m2＋13m2＋4.(9分)设t＝m2＋1≥1，则m2＝t2－1，则S1＋S2＝12t3t2＋1＝123t＋1t.(10分)因为t≥1，所以3t＋1t≥4(当且仅当t＝1时，等号成立)，故S1＋S2＝123t＋1t≤3，即S1＋S2的最大值为3.(12分)1．设点P(x，y)，建立等量关系给2分．2．化简整理，得曲线C的方程给2分．3．直线l的方程与轨迹C的方程联立消元整理给1分．4．利用根与系数的关系用参数表示y1＋y2，y1y2给1分．5．用参数表示|y1－y2|给1分．6．依据S1＋S2＝12|OA|·|y1|＋12|OA|·|y2|＝12|OA|·|y1－y2|建立函数关系给2分．7．换元将所得函数关系式变形给1分．8．利用基本不等式求最值并作答给2分．1．求曲线方程时，将等量关系转化为方程时要注意正确利用有关公式，同时要注意一些细节．如本例中结合图形可判断x6，据此可化简方程．2．设直线方程时要注意讨论直线的斜率，同时也要根据情况灵活处理．如本例中，由于直线l的斜率不为0，可设其方程为x＝my＋1.3．写全得分步骤，直线方程和曲线方程联立后，要写出Δ＞0和根与系数的关系，这是解题过程中的得分点．4．巧妙构建函数关系．如本例中利用S1＋S2＝12|OA|·|y1|＋12|OA|·|y2|＝12|OA|·|y1－y2|建立函数关系较方便．5．注意配方、分离变量、换元等变形方法化简函数关系式．如本例中，设t＝m2＋1≥1，则S1＋S2＝12t3t2＋1＝123t＋1t，此时较容易求最值．[跟踪训练](2020·山东省威海市二模)(12分)已知P(2，3)是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)上一点，以点P及椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的面积为23.(1)求椭圆C的标准方程；解(1)由点P(2，3)在椭圆C上可得2a2＋3b2＝1，整理得2b2＋3a2＝a2b2.①(1分)S△PF1F2＝12×2c×3＝23，解得c＝2.(2分)所以a2＝b2＋c2＝b2＋4，代入①式整理得b4－b2－12＝0.(3分)解得b2＝4，a2＝8.所以椭圆C的标准方程为x28＋y24＝1.(4分)(2)过F2作斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，M是l1与C两交点的中点，N是l2与C两交点的中点，求△MNF2面积的最大值．解(2)由(1)可得F2(2，0)，所以设直线l1：x＝my＋2，联立直线l1与椭圆C的方程x＝my＋2，x28＋y24＝1，整理得(m2＋2)y2＋4my－8＝0，(6分)显然Δ0，所以直线l1与椭圆C的两交点的中点M的纵坐标yM＝y1＋y22＝2mm2＋2，同理直线l2与椭圆C的两交点的中点N的纵坐标yN＝－2m1m2＋2＝－2m2m2＋1，(8分)所以S△MNF2＝12|MF2|·|NF2|＝121＋m2·1＋1m2·|yM|·|yN|＝2m（1＋m2）2m4＋5m2＋2＝2m（1＋m2）2（m2＋1）2＋m2，(9分)将上式分子、分母同除m(1＋m2)可得，S△MNF2＝|22·m2＋1m＋m1＋m2|，(10分)不妨设m0，令m2＋1m＝t，t≥2，则S△MNF2＝22t＋1t，令f(t)＝2t＋1t，则f′(t)＝2t2－1t2，因为t≥2，所以f′(t)0，所以f(t)在[2，＋∞)上单调递增，(11分)所以当t＝2时，△MNF2的面积取得最大值Smax＝24＋12＝49.(12分)本课结束