教辅-高考数学大二轮专题复习：三角函数与解三角形之规范答题系列二

专题三三角函数与解三角形第二编讲专题规范答题系列二三角函数与解三角形类解答题(2020·新高考卷Ⅰ)(10分)在①ac＝3，②csinA＝3，③c＝3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA＝3sinB，C＝π6，________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解题思路解法一：先用正弦定理化“角”为“边”，推出a与b的关系．进而结合余弦定理用同一字母表示a，b，c.若选①可直接列方程求m.若选②可先用余弦定理求cosA，再求sinA，由csinA＝3求出c.若选③，则发现c＝3b与所推出的b，c关系矛盾，此时三角形不存在．解法二：先利用sinB＝sin(A＋C)和已知条件推出只有A的关系式，求出A.进而求出B，C.若选①，可推出a，b，c之间的比例关系，结合ac＝3可求c.若选②，可直接列方程求c.若选③，则发现c＝3b与所推出的b，c关系矛盾，此时三角形不存在．解解法一：由sinA＝3sinB可得ab＝3，(3分)不妨设a＝3m，b＝m(m0)，则c2＝a2＋b2－2abcosC＝3m2＋m2－2×3m×m×32＝m2，即c＝m.(6分)选择条件①：据此可得ac＝3m×m＝3m2＝3，∴m＝1，此时c＝m＝1.(10分)选择条件②：据此可得cosA＝b2＋c2－a22bc＝m2＋m2－3m22m2＝－12，则sinA＝1－－122＝32，此时csinA＝m×32＝3，则c＝m＝23.(10分)选择条件③：由题意可得cb＝mm＝1，c＝b，与条件c＝3b矛盾，则问题中的三角形不存在．(10分)解法二：∵sinA＝3sinB，B＝π－(A＋C)，∴sinA＝3sin(A＋C)，(2分)又C＝π6，∴sinA＝3sinA＋π6＝3sinA·32＋3cosA·12，(4分)∴sinA＝－3cosA，∴tanA＝－3，(6分)∴A＝2π3，∴B＝C＝π6.(7分)选择条件①：由正弦定理，得ac＝sinAsinC＝3212＝3，∴a＝3c，∴3c2＝3，∴c＝1.(10分)选择条件②：由csinA＝3，得3c2＝3，c＝23.(10分)选择条件③：由B＝C可得b＝c，与条件c＝3b矛盾，则问题中的三角形不存在．(10分)(解法一)1．边角互化：用正弦定理化“角”为“边”，给3分．2．推三边关系：用余弦定理和所得条件用m表示a，b，c，给3分．3．选条件求c：选不同的条件，得到不同的判断，若三角形存在，求出c，给4分．(解法二)1．消角：根据A＋B＋C＝π，用诱导公式消去角B，给2分．2．变形：用两角和的正弦公式变形，给2分．3．求值：用同角三角函数关系求tanA，给2分．4．求角：求角A，B，C，给1分．5．选条件求c：选不同的条件，得到不同的判断，若三角形存在求出c，给3分．1．发现差异：观察角、函数运算的差异，即进行所谓的“差异分析”．2．寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系．3．合理转化：选择恰当的公式促使差异的转化．4．恰当选择条件：根据已知条件推出有关信息，要注意选择容易利用的条件，从而节约时间．[跟踪训练](2020·山东省德州市一模)(10分)在条件①2cosA·(bcosC＋ccosB)＝a，②csinB＋C2＝asinC，③(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题的解答．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＝7，b－c＝2，________．求BC边上的高．注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解若选①，因为2cosA(bcosC＋ccosB)＝a，由正弦定理，得2cosA(sinBcosC＋sinCcosB)＝sinA，(2分)即2cosAsin(B＋C)＝sinA，cosA＝12.(4分)因为0Aπ，所以A＝π3.(5分)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，所以b2＋c2－bc＝7，b－c＝2，化简，得c2＋2c－3＝0，(7分)所以c＝－3(舍去)或c＝1，(8分)从而b＝3.设BC边上的高是h，所以12bcsinA＝12ah，所以h＝32114.(10分)若选②，由题设及正弦定理，得sinCsinB＋C2＝sinAsinC.因为sinC≠0，所以sinB＋C2＝sinA．(2分)由A＋B＋C＝π，可得sinB＋C2＝cosA2，故cosA2＝2sinA2cosA2.(4分)因为cosA2≠0，故sinA2＝12，因此A＝π3.(5分)下同选①.(10分)若选③，由已知，得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，故由正弦定理，得b2＋c2－a2＝bc.(2分)由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.(4分)因为0Aπ，所以A＝π3.(5分)下同选①.(10分)本课结束