教辅-高考数学大二轮专题复习：三角函数与解三角形之三角恒等变换与解三角形

专题三三角函数与解三角形第二编讲专题第2讲三角恒等变换与解三角形「考情研析」三角恒等变换和利用正弦定理、余弦定理解三角形问题是高考的必考内容.1.三角恒等变换主要考查：①两角和与差的正弦、余弦、正切公式；②二倍角公式、半角公式的应用；③辅助角公式的应用．2.解三角形问题主要考查：①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关参数的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．1核心知识回顾PARTONE核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)＝；cos(α±β)＝；tan(α±β)＝．□01sinαcosβ±cosαsinβ□02cosαcosβ∓sinαsinβ□03tanα±tanβ1∓tanαtanβ核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝；cos2α＝＝＝；tan2α＝；cos2α＝，sin2α＝．3．辅助角公式asinα＋bcosα＝．□012sinαcosα□02cos2α－sin2α□032cos2α－1□041－2sin2α□052tanα1－tan2α□061＋cos2α2□071－cos2α2□01a2＋b2sin(α＋φ)tanφ＝ba核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业4．正弦定理在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，则．变形：a＝，b＝，c＝．sinA＝，sinB＝，sinC＝．a∶b∶c＝．□01asinA＝bsinB＝csinC＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)□022RsinA□032RsinB□042RsinC□05a2R□06b2R□07c2R□08sinA∶sinB∶sinC核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业5．余弦定理a2＝，b2＝，c2＝．推论：cosA＝，cosB＝，cosC＝．6．面积公式S△ABC＝＝＝．□01b2＋c2－2bccosA□02a2＋c2－2accosB□03a2＋b2－2abcosC□04b2＋c2－a22bc□05a2＋c2－b22ac□06a2＋b2－c22ab□0112bcsinA□0212acsinB□0312absinC核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业7．常用结论(1)三角形内角和；(2)abc⇔⇔；(3)sin(A＋B)＝，cos(A＋B)＝．□01A＋B＋C＝π□02ABC□03sinAsinBsinC□04sinC□05－cosC2热点考向探究PARTTWO核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向1三角恒等变换与求值例1(1)已知θ∈(0，π)，且sinθ－π4＝210，则tan2θ＝()A．43B．34C．－247D．247答案C核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析∵sinθ－π4＝22(sinθ－cosθ)＝210，∴sinθ－cosθ＝15.∵θ∈(0，π)，且sin2θ＋cos2θ＝1，∴sinθ＝45，cosθ＝35，∴tanθ＝43，tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝－247.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)(2020·辽宁省沈阳市三模)被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比m＝5－12的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则m4－m22cos227°－1＝()A．4B．5＋1C．2D．5－1答案C核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析由题意，2sin18°＝m＝5－12，∴m2＝4sin218°，则m4－m22cos227°－1＝2sin18°·4－4sin218°cos54°＝2sin18°·2cos18°cos54°＝2sin36°cos54°＝2.故选C.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(3)(2020·山东省泰安市高三一模)已知α，β∈3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sinβ－π4＝1213，则cosα＋π4＝________．答案－5665核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析已知α，β∈3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sinβ－π4＝1213，α＋β∈3π2，2π，β－π4∈π2，3π4，∴cos(α＋β)＝45，cosβ－π4＝－513，∴cosα＋π4＝cos（α＋β）－β－π4＝cos(α＋β)cosβ－π4＋sin(α＋β)sinβ－π4＝45×－513＋－35×1213＝－5665.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(1)三角恒等变换的常用技巧是“化异为同”，即“化异名为同名”“化异次为同次”“化异角为同角”，其中涉及sin2α2，cos2α2时，常逆用二倍角的余弦公式降幂．(2)常见的“变角”技巧：α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，π4＋α＝π2－π4－α，α＝π4－π4－α等，使用“变角”技巧时，应根据已知条件中的角，选择恰当变角技巧．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1．已知tanα＋π4＝12，且－π2α0，则2sin2α＋sin2αcosα－π4等于()A．－255B．－3510C．－31010D．255答案A核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析由tanα＋π4＝tanα＋11－tanα＝12，得tanα＝－13.又－π2α0，所以sinα＝－1010.故2sin2α＋sin2αcosα－π4＝2sinα（sinα＋cosα）22（sinα＋cosα）＝22sinα＝－255.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．(2020·河北省石家庄模拟)若cosα(1＋3tan10°)＝1，则α的一个可能值为()A．70°B．50°C．40°D．10°答案C核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析∵cosα(1＋3tan10°)＝1，∴cosα＝11＋3tan10°＝cos10°cos10°＋3sin10°＝cos10°2sin40°＝sin80°2sin40°＝cos40°，∴α的一个可能值为40°.故选C.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向2正弦定理与余弦定理的应用例2(1)(2020·山东省潍坊市模拟)在△ABC中，∠A＝π2，点D在线段AC上，且满足AC＝2CD，cosC＝35，则sin∠CBD＝________．答案1273365核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析如图，设Rt△ABC的边AC＝6，因为cosC＝ACBC＝35，则BC＝10，AB＝8，又AC＝2CD，所以AD＝DC＝3，则BD＝AB2＋AD2＝73，由cosC＝35，0＜C＜π2，得sinC＝45，核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业在△BCD中，BDsinC＝CDsin∠CBD，即7345＝3sin∠CBD，所以sin∠CBD＝1273365.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)(2020·山东省日照市模拟)在①a＝2，②B＝π4，③c＝3b这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决该问题．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足(b－a)(sinB＋sinA)＝c(3sinB－sinC).(ⅰ)求A的大小；解(ⅰ)∵(b－a)(sinB＋sinA)＝c(3sinB－sinC)，∴由正弦定理可得，(b－a)(b＋a)＝c(3b－c)，即b2＋c2－a2＝3bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝3bc2bc＝32，∵0＜A＜π，∴A＝π6.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(ⅱ)已知________，________，若△ABC存在，求△ABC的面积；若△ABC不存在，说明理由．解(ⅱ)方案一：选择条件①和②，由正弦定理asinA＝bsinB，可得b＝asinBsinA＝22，可得△ABC的面积S＝12absinC＝12×2×22×sin7π12＝22sinπ4＋π3＝3＋1.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业方案二：选择条件①和③，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得4＝b2＋3b2－3b2，可得b＝2，可得c＝23，△ABC的面积S＝12bcsinA＝12×2×23×12＝3.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业方案三：选择条件②和③，这样的三角形不存在，理由如下：在三角形中，由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，由②和③可得cb≠sinCsinB，∴这样的三角形不存在．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(1)利用正、余弦定理解三角形时，涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理．(2)涉及边a，b，c的齐次式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形．(3)涉及正、余弦定理与三角形面积综合问题，求三角形面积时用S＝12absinC形式的面积公式．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1．(2020·湖南省邵阳市模拟)在△ABC中，若cos2A－cos2B－cos2C＝cosAcosB＋cosC－cos2B，且AB＝6，则S△ABC的最大值为________．答案33核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析设三角形内角A，B，C对应的三边为a，b，c，∵cos2A－cos2B－cos2C＝cosAcosB＋cosC－cos2B，∴(1－sin2A)－(1－sin2B)－(1－sin2C)＝cosAcosB－cos(A＋B)－(1－2sin2B)，∴可得sinAsinB＋sin2B＋sin2A－sin2C＝0，∴由正弦定理可得ab＋b2＋a2－c2＝0，由余弦定理可得ab＋2abcosC＝0，解得cosC＝－12，可得sinC＝32，∵AB＝c＝6，核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业∴由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，可得36＝a2＋b2＋ab，∴36≥2ab＋ab＝3ab，即ab≤12，当且仅当a＝b时取等号.∴S△ABC＝12absinC≤12×12×32＝33，即S△ABC的最大值为33.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．(2020·北京市昌平区模拟)已知△ABC中，cb＜cosA.(1)求证：B是钝角；解(1)证明：因为cb＜cosA，由正弦定理可得sinCsinB＜cosA，在三角形中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，且sinB＞0，所以不等式整理为sinAcosB＋cosAsinB＜sinBcosA，即sinAcosB＜0，在三角形中可得sinA＞0，所以cosB＜0，所以得证B为钝角．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)若△ABC同时满足下列四个条件中的三个：①sinA＝22；②a＝2；③c＝2；④sinC＝32.请指出这三个条件，说明理由，并求出b的值．解(2)(ⅰ)若满足①②③，则由正弦定理可得asinA＝csinC，即222＝2sinC，所以sinC＝12，核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业又a＞c，所以A＞C，在三角形中，sinA＝22，所以A＝π4或A＝3π4，而由(1)可得A＝π4，所以可得C＝π6，B＝π－A－C＝π－π4－π6＝7π12，所以b＝a2＋c2－2accosB＝4＋2－2×2×2×