教辅-高考数学大二轮专题复习：数列之规范答题系列三

专题四数列第二编讲专题规范答题系列三数列类解答题(12分)已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，满足Sn＝13a1(an－1).(1)求数列{an}的通项公式；解(1)当n＝1时，a1＝S1＝13a1(a1－1)＝13a21－13a1，∵a1≠0，∴a1＝4.(2分)∴Sn＝43(an－1)，∴当n≥2时，Sn－1＝43(an－1－1)，两式相减得an＝4an－1(n≥2)，(4分)∴数列{an}是首项为4，公比为4的等比数列，∴an＝4n.(6分)(2)设数列{bn}满足anbn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn89.解题思路(1)根据Sn－Sn－1＝an(n≥2)及递推关系式化简得an和an－1的关系式，从而求出an；(2)采用错位相减法求Tn，从而证明结论．解(2)证明：∵anbn＝log2an＝2n，∴bn＝2n4n，(7分)∴Tn＝241＋442＋643＋…＋2n4n，14Tn＝242＋443＋644＋…＋2n4n＋1，(8分)两式相减得34Tn＝24＋242＋243＋244＋…＋24n－2n4n＋1＝214＋142＋143＋144＋…＋14n－2n4n＋1＝2×141－14n1－14－2n4n＋1＝23－23×4n－2n4n＋1＝23－6n＋83×4n＋1.(10分)∴Tn＝89－6n＋89×4n89.(12分)1．正确求出a1的值给2分．2．利用an与Sn的关系构造等比数列给2分．3．写出数列{an}的通项公式给2分．4．求出数列{bn}的通项公式给1分．5．采取错位相减法给1分．6．两式相减后的正确化简计算给2分．7．放缩法证明不等式给2分．1．由an与Sn的关系求通项公式，易忽略条件n≥2而出错．2．错位相减法中两式相减后，一定成等比数列的有n－1项，整个式子共有n＋1项．3．放缩法证明不等式时，要注意放缩适度，放的过大或过小都不能达到证明的目的．[跟踪训练](2020·山东省临沂市二模)(12分)在①3Sn＋1＝Sn＋1，②a2＝19，③2Sn＝1－3an＋1三个条件中选择恰当的两个，补充在下面问题中，并给出解答．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足________，________；又知正项等差数列{bn}满足b1＝2，且b1，b2－1，b3成等比数列．(1)求{an}和{bn}的通项公式；解(1)方案一：选择①②，当n≥2时，由3Sn＋1＝Sn＋1得3Sn＝Sn－1＋1，(1分)两式相减，得3an＋1＝an，即an＋1an＝13(n≥2)，(2分)由①得3S2＝S1＋1，即3(a1＋a2)＝a1＋1，∴2a1＝1－3a2＝1－13＝23，得a1＝13，(3分)∴a2a1＝13，∴{an}为a1＝13，公比为13的等比数列，∴an＝13×13n－1＝13n.(4分)设等差数列{bn}的公差为d，d≥0，且b1，b2－1，b3成等比数列．b1b3＝(b2－1)2，即2(2＋2d)＝(1＋d)2，(5分)解得d＝3或d＝－1(舍去)，∴bn＝2＋3(n－1)＝3n－1.(6分)方案二：选择②③，当n≥2时，由③2Sn＝1－3an＋1，得2Sn－1＝1－3an，(1分)两式相减，得2an＝3an－3an＋1，∴an＋1an＝13(n≥2)，(2分)由2S1＝1－3a2，得a1＝13，(3分)∴a2a1＝13，∴{an}为a1＝13，公比为13的等比数列，∴an＝a1qn－1＝13×13n－1＝13n.(4分)以下同方案一．(6分)(2)证明：ab1＋ab2＋…＋abn326.解(2)证明：由(1)得abn＝a3n－1＝133n－1，(7分)则ab1＋ab2＋…＋abn＝132＋135＋…＋133n－1(8分)＝1321－133n1－133(10分)＝3261－133n(11分)326.(12分)本课结束