教辅-高考数学大二轮专题复习：数列之数列求和问题

专题四数列第二编讲专题第2讲数列求和问题「考情研析」1.从具体内容上，高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现转化与化归的思想．2.从高考特点上，难度稍大，一般以解答题为主．1核心知识回顾PARTONE核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业常见的求和方法(1)公式法：适合求等差数列或等比数列的前n项和．对等比数列利用公式法求和时，一定要注意．(2)错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是．(3)裂项相消法：把数列和式中的各项分别裂项后，消去一部分从而计算和的方法，适用于求通项为的数列的前n项和．□01公比q是否取1□02等差数列和等比数列□031anan＋1核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(4)分组求和法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列，，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并．(5)并项求和法：当一个数列为摆动数列，形如的形式，通常分，观察相邻两项是否构成新数列.□04适当拆开□05重新组合□06(－1)nan□07奇、偶2热点考向探究PARTTWO核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向1分组转化法求和例1(2020·山东省泰安市模拟)在①Sn＝n2＋n，②a3＋a5＝16，S3＋S5＝42，③an＋1an＝n＋1n，S7＝56这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．设等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，________，b1＝a1，b2＝a1a22.求数列1Sn＋bn的前n项和Tn.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解选①，当n＝1时，a1＝S1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，又n＝1满足an＝2n，所以an＝2n.设{bn}的公比为q，因为a1＝2，a2＝4，由b1＝a1，b2＝a1a22，得b1＝2，q＝2，所以bn＝2n.由数列{bn}的前n项和为2－2n＋11－2＝2n＋1－2，又可知1Sn＝1n2＋n＝1n（n＋1）＝1n－1n＋1，核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业数列1Sn的前n项和为1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1，故Tn＝2n＋1－2＋1－1n＋1＝2n＋1－1n＋1－1.选②，设等差数列{an}的公差为d，由a3＋a5＝16，S3＋S5＝42，得2a1＋6d＝16，8a1＋13d＝42，解得a1＝2，d＝2，所以an＝2n，Sn＝n2＋n.下同选①.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业选③，由an＋1an＝n＋1n，得an＋1n＋1＝ann，所以ann＝a11，即an＝a1n，S7＝7a4＝28a1＝56，所以a1＝2，所以an＝2n，Sn＝n2＋n.下同选①.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业若一个数列是由两个或多个等差、等比数列的和差形式组成，或这个数列可以分解成两个或多个等差、等比数列的和差形式，则可以根据数列的结构对原数列求和式的各部分重新组合，进而使用等差、等比数列的求和公式进行求和．解题的关键是观察结构、巧分组.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；解(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，则由a1＝3，b1＝1及b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3，得q＋6＋d＝10，3＋4d－2q＝3＋2d，解得d＝2，q＝2，所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝2n－1.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)令cn＝2Sn，n为奇数，bn，n为偶数，设数列{cn}的前n项和为Tn，求T2n.解(2)由a1＝3，an＝2n＋1，得Sn＝n(n＋2).则cn＝2n（n＋2），n为奇数，2n－1，n为偶数，即cn＝1n－1n＋2，n为奇数，2n－1，n为偶数，T2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n)核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业＝1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＋(2＋23＋…＋22n－1)＝1－12n＋1＋2（1－4n）1－4＝2n2n＋1＋23(4n－1).核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向2裂项相消法求和例2(2020·山东省潍坊市模拟)在①a2，a3，a4－4成等差数列，②S1，S2＋2，S3成等差数列中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．在公比为2的等比数列{an}中，________．(1)求数列{an}的通项公式；解方案一：选条件①，(1)由题意，得a2＝2a1，a3＝4a1，a4－4＝8a1－4，∵a2，a3，a4－4成等差数列，∴2a3＝a2＋a4－4，即8a1＝2a1＋8a1－4，解得a1＝2，∴an＝2·2n－1＝2n，n∈N*.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)若bn＝(n＋1)log2an，求数列4n＋2b2n的前n项和Tn.解(2)由(1)知，bn＝(n＋1)log2an＝(n＋1)log22n＝n(n＋1)，记cn＝4n＋2b2n，则cn＝4n＋2b2n＝4n＋2n2（n＋1）2＝21n2－1（n＋1）2，∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝2112－122＋2122－132＋…＋21n2－1（n＋1）2核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业＝2112－122＋122－132＋…＋1n2－1（n＋1）2＝2112－1（n＋1）2＝2－2（n＋1）2.方案二：选条件②，(1)由题意，得S1＝a1，S2＋2＝3a1＋2，S3＝7a1，∵S1，S2＋2，S3成等差数列，∴2(S2＋2)＝S1＋S3，即2(3a1＋2)＝a1＋7a1，解得a1＝2，∴an＝2·2n－1＝2n，n∈N*.(2)同方案一第(2)问解答过程．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和．常用于数列canan＋1的求和，其中数列{an}是各项不为0的等差数列，c为常数．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2020·山东省泰安市四模)已知等差数列{an}的公差d＞0，a2＝7，且a1，a6，5a3成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；解(1)∵a1，a6，5a3成等比数列，∴a26＝5a3·a1，∴(a1＋5d)2＝5a1·(a1＋2d)，整理得4a21＝25d2，∴a1＝52d或a1＝－52d.当a1＝52d时，核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业由a1＝52d，a2＝7，解得a1＝5，d＝2，满足题意．当a1＝－52d时，由a1＝－52d，a2＝7，解得d＝－143，不符合题意，∴an＝5＋2(n－1)＝2n＋3.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)若数列{bn}满足1bn＋1－1bn＝an(n∈N*)，且b1＝13，求数列{bn}的前n项和Tn.解(2)由(1)知，当n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝（n－1）（5＋2n＋1）2＝n2＋2n－3.∵1bn＋1－1bn＝an，∴当n≥2时，1bn－1bn－1＝an－1，a1＋a2＋…＋an－1＝1b2－1b1＋1b3－1b2＋…＋1bn－1bn－1＝1bn－1b1＝n2＋2n－3.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业又b1＝13，∴1bn＝n2＋2n，∴bn＝1n（n＋2）(n≥2)，当n＝1时，b1＝11×（1＋2）＝13，∴bn＝1n（n＋2），n∈N*，∴bn＝1n（n＋2）＝121n－1n＋2，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝121－13＋12－14＋…＋1n－1n＋2＝1232－1n＋1－1n＋2＝3n2＋5n4（n＋1）（n＋2）.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向3错位相减法求和例3(2020·山东省烟台市模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，2S2＝a2＋a3.(1)求数列{an}的通项公式；解(1)设正项等比数列{an}的公比为q(q0)，因为2S2＝a2＋a3，所以2a1＋a2＝a3，所以2a1＋a1q＝a1q2，所以q2－q－2＝0，得q＝2.所以an＝2n.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)设bn＝2n－1an＋2log2an，求数列{bn}的前n项和．解(2)由题意得bn＝(2n－1)12n＋2n.令cn＝(2n－1)12n，其前n项和为Pn，则Pn＝1×12＋3×122＋…＋(2n－1)×12n，12Pn＝1×122＋3×123＋…＋(2n－3)×12n＋(2n－1)×12n＋1，两式相减得核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业12Pn＝12＋2122＋123＋…＋12n－(2n－1)×12n＋1＝12＋2×141－12n－11－12－(2n－1)×12n＋1＝32－12n－1－(2n－1)×12n＋1，所以Pn＝3－(2n＋3)12n，而2(1＋2＋…＋n)＝2×n（n＋1）2＝n(n＋1)，所以数列{bn}的前n项和Tn＝3－(2n＋3)12n＋n(n＋1).核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业错位相减法适用于由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积构成的数列的求和．但要注意相减后得到部分等比数列，求和时一定要弄清其项数；另外还要注意首项与末项．(2020·湖北省华中师范大学第一附中模拟)在数列{an}，{bn}中，an＝bn＋n＋1，bn＝－an＋1.(1)证明：数列{an＋3bn}是等差数列；核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解(1)证明：由题意，将bn＝－an＋1代入an＝bn＋n＋1，可得an＝－an＋1＋n＋1，即2an＝n＋2，∴an＝n＋22，∴bn＝－an＋1＝－n＋22＋1＝－n2，∴an＋3bn＝n＋22－3n2＝1－n.∵an＋1＋3bn＋1－(an＋3bn)＝1－(n＋1)－(1－n)＝－1，∴数列{an＋3bn}是以－1为公差的等差数列．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)求数列an＋3bn2n的前n项和Sn.解(2)由(1)知，an＋3bn2n＝1－n2n，则Sn＝02＋－122＋…＋1－n2n，12Sn＝022＋－123＋…＋1－n2n＋1，两式相减，得核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业12Sn＝－122＋－123＋…＋－12n－1－n2n＋1＝－141－12n－11－12－1－n2n＋1＝－12＋12n－1－n2n＋1＝n＋12n＋1－12，所以Sn＝n＋12n－1.3真题VS押题PARTTHREE核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1．(2020·全国卷Ⅰ)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．(1)求{an}的公比；解(1)设等比数列{an}的公比为q，∵a1为a2，a3的等差中项，∴2a1＝a2＋a3，即2a1＝a1q＋a1q2.∵a1≠0，∴q2＋q－2＝0.∵q≠1，∴q＝