教辅-高考数学大二轮专题复习-第三编仿真模拟(二)

特色专项增分练第三编讲应试2套仿真模拟仿真模拟(二)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U为实数集R，已知集合M＝{x|x2－40}，N＝{x|x2－4x＋30}，则图中阴影部分所表示的集合为()A．{x|x－2}B．{x|x3}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x≥3或x－2}答案D解析由题可得M＝{x|x2－40}＝{x|x2或x－2}，N＝{x|x2－4x＋30}＝{x|1x3}，又图中阴影部分所表示的集合是(∁UN)∩M，即为{x|x≥3或x－2}，故选D.2．已知i为虚数单位，则i＋i2＋i3＋…＋i2021等于()A．iB．1C．－iD．－1答案A解析由于i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0，且in(n∈N*)的周期为4，2021＝4×505＋1，所以原式＝i.故选A.3．槟榔原产于马来西亚，中国主要分布在云南、海南及台湾等热带地区．槟榔是重要的中药材，其果实被部分少数民族制作成为一种咀嚼嗜好品，但它也被世界卫生组织国际癌症研究机构列为致癌物清单Ⅰ类致癌物．云南某民族中学为了解A，B两个少数民族班的学生咀嚼槟榔的情况，分别从这两个班中随机抽取5名学生进行调查，将他们平均每周咀嚼槟榔的颗数作为样本，样本数据如下：A班：9，11，14，20，31；B班：11，12，21，25，26.现在从A班不超过19的样本数据中随机抽取一个数据记为a，从B班不超过21的样本数据中随机抽取一个数据记为b，则a≥b的概率是()A．15B．13C．23D．25答案B解析由题意可得，A班不超过19的样本数据有9，11，14，共3个，B班不超过21的样本数据有11，12，21，共3个，现在从A班不超过19的样本数据中随机抽取一个数据记为a，从B班不超过21的样本数据中随机抽取一个数据记为b，基本事件(a，b)的总数n＝3×3＝9，a≥b包含的基本事件(a，b)有(11，11)，(14，11)，(14，12)，共3个，则a≥b的概率P＝39＝13.故选B.4．《周髀算经》是我国古代的天文学和数学著作．其中有一个问题大意为：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同).二十四个节气及晷长变化如图所示，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(注：一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至后的那个节气(小暑)晷长为()A．五寸B．二尺五寸C．三尺五寸D．四尺五寸答案B解析设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{an}，公差为d，a1＝15，a13＝135，则15＋12d＝135，解得d＝10.∴a2＝15＋10＝25，∴《周髀算经》中所记录的小暑的晷长是25寸，即二尺五寸．故选B.5．当a0时，关于x的不等式x2－4ax＋3a20的解集是(x1，x2)，则b＝x1＋x2＋ax1x2取得最值的充分条件是()A．有最大值，b≤－1B．有最小值，b≥－43C．有最大值，b≤－5D．有最小值，b≤－433答案C解析依题意得，x1＋x2＝4a，x1x2＝3a2，∴b＝x1＋x2＋ax1x2＝4a＋13a＝－（－4a）＋1－3a≤－2（－4a）·1－3a＝－433，当且仅当a＝－36时取等号，由于需要选择充分条件，故C符合题意．故选C.6．已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为()A．23B．49C．269D．827答案B解析设圆锥底面圆的半径为R，球的半径为r，由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R的等边三角形，球的大圆是该等边三角形的内切圆，如图所示，所以r＝33R，S球＝4πr2＝4π·33R2＝4π3R2，S圆锥＝πR·2R＋πR2＝3πR2，所以球与圆锥的表面积之比为S球S圆锥＝4π3R23πR2＝49，故选B.7．维数是几何对象中一个点的位置所需的独立坐标的数目．普通几何学研究的对象一般都具有整数的维数，比如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的空间等．为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测量的角度引入了维数的概念，将维数从整数扩大到分数，其中比较容易理解的是相似性维数：如果某图形是由原图的线段长度缩小为原来的1λ(λ1)的k个相似图形所组成，则k＝λD，D即是维数．例如一个边长为1的正方形，将它的边长二等分，原图的线段长度缩小为原来的12，原图相应地被等分为4个相似的小正方形，经过计算，可得正方形的维数为D＝2.已知一块海绵G缩小为原来的12，则该海绵相应地被等分为3个相似的小海绵，则海绵G的维数约为(参考数据：lg3≈0.48，lg2≈0.30)()A．1.2B．1.5C．1.6D．1.8答案C解析由题意，得k＝3，λ＝2；由k＝λD，得D＝logλk＝lgklgλ＝lg3lg2≈0.480.30＝1.6，故选C.8．已知点A，B，C均在半径为2的圆上，若|AB|＝2，则AC→·BC→的最大值为()A．3＋22B．2＋22C．4D．2答案B解析根据圆O半径为2，|AB|＝2，得到OA⊥OB，以OB，OA为x，y轴建立平面直角坐标系，则A(0，2)，B(2，0)，设C(2cosθ，2sinθ)，则AC→·BC→＝(2cosθ，2sinθ－2)·(2cosθ－2，2sinθ)＝2－22sinθ＋π4，当sinθ＋π4＝－1时有最大值为2＋22.故选B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．若方程x25－t＋y2t－1＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是()A．若1t5，则C为椭圆B．若t1，则C为双曲线C．若C为双曲线，则焦距为4D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3t5答案BD解析当t＝3时，表示圆，所以A错误；当t1时，5－t0，t－10，表示双曲线，B正确；当t＝0时，表示双曲线，焦距不为4，所以C错误；若表示焦点在y轴上的椭圆，则t－15－t0，即3t5，所以D正确．故选BD.10.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且BC→＝3EC→，F为AE的中点，则()A.BC→＝－12AB→＋AD→B．AF→＝13AB→＋13AD→C．BF→＝－23AB→＋13AD→D．CF→＝16AB→－23AD→答案ABC解析由AB＝2AD＝2DC知，∵BC→＝BA→＋AD→＋DC→，∴BC→＝－AB→＋AD→＋12AB→＝－12AB→＋AD→，故A正确；又AF→＝12AE→＝12(AB→＋BE→)，∴AF→＝12AB→＋12×23BC→＝12AB→＋13BC→＝13AB→＋13AD→，故B正确；∵BF→＝BA→＋AF→＝－AB→＋13AB→＋13AD→，∴BF→＝－23AB→＋13AD→，故C正确；∵CF→＝CD→＋DA→＋AF→＝－12AB→－AD→＋13AB→＋13AD→＝－16AB→－23AD→，D错误．故选ABC.11.如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值，则下面的四个值中为定值的是()A．点P到平面QEF的距离B．三棱锥P－QEF的体积C．直线PQ与平面PEF所成的角D．二面角P－EF－Q的大小答案ABD解析A中，因为平面QEF也就是平面A1B1CD，显然点P到平面A1B1CD的距离是定值，所以点P到平面QEF的距离为定值；B中，因为△QEF的面积是定值(EF为定长，点Q到EF的距离就是点Q到CD的距离，也是定长，即底和高都是定值)，再根据A的结论，即点P到平面QEF的距离也是定值，所以三棱锥P－QEF的高也是定值，所以三棱锥P－QEF的体积是定值；C中，因为Q是动点，PQ的长不固定，而Q到平面PEF的距离为定值，所以PQ与平面PEF所成的角不是定值；D中，因为A1B1∥CD，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，所以二面角P－EF－Q的大小即为二面角P－CD－A1的大小，为定值．故选ABD.12．已知函数f(x)＝||cosx|－|sinx||，则下列结论中，正确的有()A．π是f(x)的最小正周期B．f(x)在π4，π2上单调递增C．f(x)的图象的对称轴为直线x＝π4＋kπ(k∈Z)D．f(x)的值域为[0，1]答案BD解析由f(－x)＝f(x)，知函数为偶函数，又fx＋π2＝f(x)，知π2是f(x)的周期，当x∈0，π4时，f(x)＝cosx－sinx＝－2sinx－π4，画出f(x)的图象如图所示．由图知，f(x)的最小正周期是π2，A错误；f(x)在π4，π2上单调递增，B正确；f(x)的图象的对称轴为x＝kπ4(k∈Z)，C错误；f(x)的值域为[0，1]，D正确．故选BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.x－1x(1－x)4的展开式中x3的系数为________．答案5解析(1－x)4的展开式的通项为Tr＋1＝Cr414－r(－x)r＝(－1)rCr4xr，令r＝2，此时x3的系数为(－1)2C24＝6；令r＝4，此时x3的系数为－(－1)4C44＝－1，则x3的系数为6－1＝5.14．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝x2－2x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为________．答案(－3，0)∪(3，＋∞)解析设x0，则－x0，由题意可得－f(x)＝f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，∴f(x)＝－x2－2x，故当x0时，f(x)＝－x2－2x.由不等式f(x)x，可得x0，x2－2xx或x0，－x2－2xx，求得x3或－3x0.15．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－2n＋1，若不等式2n2－n－3＜(5－λ)an对∀n∈N*恒成立，则整数λ的最大值为________．答案4解析当n＝1时，S1＝2a1－22，得a1＝4；当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2n，两式相减得an＝2an－2an－1－2n，得an＝2an－1＋2n，∴an2n－an－12n－1＝1.又a12＝2，∴数列an2n是以2为首项，1为公差的等差数列，an2n＝n＋1，即an＝(n＋1)·2n.∵an＞0，∴不等式2n2－n－3＜(5－λ)an等价于5－λ＞2n－32n.记bn＝2n－32n，当n≥2时，bn＋1bn＝2n－12n＋12n－32n＝2n－14n－6.∴n≥3时，bn＋1bn＜1，(bn)max＝b3＝38.∴5－λ＞38，即λ＜5－38＝378，∴整数λ的最大值为4.16．已知lnx1－x1－y1＋2＝0，x2＋2y2－4－2ln2＝0，记M＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2，则M的最小值为________，当M取最小值时，x2＝________．45125解析设f(x)＝lnx－x＋2，g(x)＝－12x＋ln2＋2，则A(x1，y1)，B(x2，y2)分别为函数f(x)，g(x)上的点，则M＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2表示点A与点B距离的平方，由f′(x)＝1x－1＝1－xx，易知f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且x→0时，f(x)→－∞，x→＋∞时，f(x)→－∞，f(x)max＝f(1)＝1，函数g(x)为一条直线，作出函数f(x)与直线x＋2y－4－2ln2＝0的图象如下，设与直线x＋2y－4－2ln2＝0平行且与函数f(x)相切的直线为x＋2y＋c＝0，切点为(a，b)，则1－aa＝－12，解得a＝2，则b＝ln2，即切点为(2，ln2)，切点(2，ln2)到直线x＋2y－4－2l