教辅-高考数学大二轮专题复习：数学文化与创新应用之新定义型、创新型、应用型试题突破

专题八数学文化与创新应用第二编讲专题第2讲新定义型、创新型、应用型试题突破「考情研析」本讲内容主要考查学生的阅读理解能力，信息迁移能力，数学探究能力以及创造性解决问题的能力．高考中一般会以选择题的形式出现，分值5分，题目新而不难，备考时要高度重视．1核心知识回顾PARTONE核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1.新定义型问题“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．对于此类题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求．但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．创新型问题创新型试题在命题的立意，背景的取材，情境的设置，设问的方式等方面新颖灵活，解题时要注意进行文字阅读训练，培养从冗长的或不熟悉的问题情境中获取重要信息的能力，加强数学语言——符号语言——图形语言相互转换的能力训练，善于把不熟悉的问题转化为熟悉的问题来加以解决．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业3．实际应用型问题将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，运用恰当的数学方法解模(如借助不等式、导数等工具加以解决).2热点考向探究PARTTWO核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向1新定义型问题例1(1)已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于∀(x1，y1)∈M，∃(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“互垂点集”．给出下列四个集合：M1＝{(x，y)|y＝x2＋1}；M2＝{(x，y)|y＝lnx}；M3＝{(x，y)|y＝ex}；M4＝{(x，y)|y＝sinx＋1}．其中是“互垂点集”集合的为()A．M1B．M2C．M3D．M4答案D核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析设点A(x1，y1)，B(x2，y2)是曲线上的两点，对于集合M1，当x1＝0时，y1＝1，x1x2＋y1y2＝y2＝x22＋1＝0不成立，所以集合M1不是“互垂点集”．对于集合M2，x0，当x1＝1时，y1＝0，x1x2＋y1y2＝x2＝0不成立，所以集合M2不是“互垂点集”．对于集合M3，当x1＝0时，y1＝1，x1x2＋y1y2＝y2＝ex2＝0不成立，所以集合M3不是“互垂点集”．排除A，B，C.故选D.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)(2020·湖南省郴州市高三一模)丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数f(x)在(a，b)上的导函数为f′(x)，f′(x)在(a，b)上的导函数为f″(x)，若在(a，b)上f″(x)0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“凸函数”．已知f(x)＝ex－xlnx－m2x2在(1，4)上为“凸函数”．则实数m的取值范围是()A．(－∞，2e－1]B．[e－1，＋∞)C．e4－14，＋∞D．(e，＋∞)答案C核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析∵f(x)＝ex－xlnx－m2x2在(1，4)上为“凸函数”，∴f′(x)＝ex－lnx－mx－1，∴f″(x)＝ex－1x－m0在(1，4)上恒成立，∵f″(x)＝ex－1x－m在(1，4)上单调递增，∴f″(x)e4－m－14，∵f″(x)0恒成立，∴e4－m－14≤0，∴m≥e4－14.故选C.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质．按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业定义两个实数间的一种新运算：x*y＝lg(10x＋10y)，x，y∈R.对任意实数a，b，c，给出如下结论：①(a*b)*c＝a*(b*c)；②a*b＝b*a；③(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)，其中正确的是()A．②B．①②C．②③D．①②③答案D核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析根据运算法则，可知(a*b)*c＝lg(10a＋10b＋10c)，a*(b*c)＝lg(10a＋10b＋10c)，所以(a*b)*c＝a*(b*c)，故①正确；结合相应式子的运算律，可知a*b＝b*a，故②正确；(a*b)＋c＝lg(10a＋10b)＋c.(a＋c)*(b＋c)＝lg(10a＋c＋10b＋c)＝lg[10c(10a＋10b)]＝lg(10a＋10b)＋c，所以(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)，故③正确．所以正确的是①②③，故选D.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向2创新型问题例2(2020·山东省济南市模拟)已知水平地面上有一半径为4的球，球心为O′，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C.如图椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，OE＝3.若光线与地面所成的角为θ，则sinθ＝，椭圆的离心率e＝．答案4535核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析连接OO′，在照射过程中，椭圆的短半轴长是球的半径，即b＝4，由图可知∠O′AB＋∠O′BA＝12(∠A′AB＋∠B′BA)＝12×180°＝90°，可得∠AO′B＝90°，由O是中点，故有球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴长，在直角三角形O′OE中，OO′2＝OE2＋O′E2＝32＋42＝52，即a＝5，e＝ca＝35，sinθ＝O′EO′O＝45.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业高中数学创新试题呈现的形式是多样化的，但是考查的知识和能力并没有太大的变化，解决创新型问题应注意认真审题，深刻理解题意，开阔思路，发散思维，注意知识的迁移和综合运用．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业在实数的原有运算法则(“·”“－”仍为通常的乘法和减法)中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝a；当ab时，a⊕b＝b2，则当x∈[－2，2]时，函数f(x)＝(1⊕x)·x－(2⊕x)的最大值为()A．－1B．1C．6D．12答案C核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析由已知，得1⊕x＝1（x≤1），x2（x1），2⊕x＝2（x≤2），x2（x2），所以f(x)＝x－2（x≤1），x3－2（1x≤2），x3－x2（x2），可求出当x≤1时，函数f(x)的最大值是－1；当1x≤2时，函数f(x)的最大值是6.所以当x∈[－2，2]时，函数f(x)＝(1⊕x)·x－(2⊕x)的最大值为6，选C.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向3实际应用型问题例3(2020·辽宁省渤大附中、育明高中高三五模)一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款(含利息)自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款(含利息)全部取回，则取回的钱的总数为()A．a(1＋r)17B．ar[(1＋r)17－(1＋r)]C．a(1＋r)18D．ar[(1＋r)18－(1＋r)]答案D核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析根据题意，当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1＋r)17，同理，孩子在2周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1＋r)16，孩子在3周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1＋r)15，…，孩子在17周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1＋r)，可以看成是以a(1＋r)为首项，(1＋r)为公比的等比数列的前17项的和，此时将存款(含利息)全部取回，则取回的钱的总数S＝a(1＋r)17＋a(1＋r)16＋…＋a(1＋r)＝a（1＋r）[（1＋r）17－1]1＋r－1＝ar[(1＋r)18－(1＋r)].故选D.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业求解应用题的一般步骤(四步法)(1)读题：读懂和深刻理解题意，并译为数学语言，找出主要关系；(2)建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；(3)求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)评价：对结果进行验证或评估，对误差加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业某网店是一家以销售袜子为主的店铺，该网店月销量L(x)(单位：千双)是关于销售单价x(单位：元)的函数．已知销售单价不低于1元．当月销售量最少为0.205千双时，该店才会正常营业，否则会亏本停业；当销售单价为20元时，月销售量恰好可以保证该店正常营业；当销售单价不超过4元时，月销售量为2.125千双．研究表明：当4≤x≤20时，月销售量L(x)与销售单价x的函数关系为L(x)＝ax2＋b(a，b为常数).记月销售额(单位：千元)为f(x)＝x·L(x)，为使f(x)达到最大值，则销售单价x应为()核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业A．1元B．2元C．3元D．4元答案D解析由题意得，当1≤x≤4时，L(x)＝2.125；当x＝20时，L(x)＝0.205；当4≤x≤20时，L(x)＝ax2＋b(a，b为常数)，则L（4）＝2.125，L（20）＝0.205，即a42＋b＝2.125，a202＋b＝0.205，解得a＝32，b＝18，核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业所以L(x)＝32x2＋18，故函数L(x)的表达式为L(x)＝2.125，1≤x≤4，32x2＋18，4x≤20.故f(x)＝x·L(x)＝2.125x，1≤x≤4，32x＋x8，4x≤20.当1≤x≤4时，f(x)为增函数，故当x＝4时，f(x)的最大值为8.5；当4x≤20时，可知函数f(x)＝32x＋x8在区间(4，16]上单调递减，在区间[16，20]上单调递增，又f(4)＝8.5，f(20)＝4.1，所以f(x)的最大值为8.5.综上，当x＝4，即当销售单价为4元时，月销售额可以达到最大值，故选D.3真题VS押题PARTTHREE核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业『真题检验』1．(2020·全国卷Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝K1＋e－0.23（t－53），其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln19≈3)()A．60B．63C．66D．69答案C核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析因为I(t)＝K1＋e－0.23（t－53），所以I(t*)＝K1＋e－0.23（t*－53）＝0.95K，则e0.23(t*－53)＝19，所以0.23(t*－53)＝ln19≈3，解得t*≈30.23＋53≈66.故选C.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．(2020·新高考卷Ⅰ)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的