教辅-高考数学大二轮专题复习-第三编中难解答突破训练(三)

特色专项增分练第三编讲应试3套中难解答突破训练中难解答突破训练(三)1.(2020·山东新高考质量测评联盟5月模拟)在①a＝3csinA－acosC，②(2a－b)sinA＋(2b－a)sinB＝2csinC这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝3且________．(1)求C；解(1)若选①，解答过程如下：因为a＝3csinA－acosC，所以sinA＝3sinCsinA－sinAcosC.因为sinA≠0，所以3sinC－cosC＝1，即sinC－π6＝12.因为0Cπ，所以－π6C－π65π6，故C－π6＝π6，即C＝π3.若选②，解答过程如下：因为(2a－b)sinA＋(2b－a)sinB＝2csinC，所以(2a－b)a＋(2b－a)b＝2c2，即a2＋b2－c2＝ab，所以cosC＝a2＋b2－c22ab＝12，又0Cπ，所以C＝π3.(2)求△ABC周长的最大值．解(2)由(1)可知，C＝π3.在△ABC中，由余弦定理得a2＋b2－2abcosC＝3，即a2＋b2－ab＝3，所以(a＋b)2－3＝3ab≤3（a＋b）24，所以a＋b≤23，当且仅当a＝b时取等号，所以a＋b＋c≤33，即△ABC周长的最大值为33.2．在①a2n＋1－a2n＝3(an＞0)；②a2n－anan－1－3an－1－9＝0；③Sn＝n2－2n＋2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．已知：数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，________．(1)求数列{an}的通项公式；解选①：(1)由题意，a21＝1，a2n＋1－a2n＝3，故数列{a2n}是以1为首项，3为公差的等差数列．∴a2n＝1＋3(n－1)＝3n－2，n∈N*.∵an＞0，∴an＝3n－2，n∈N*.(2)对大于1的自然数n，是否存在大于2的自然数m，使得a1，an，am成等比数列？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．解(2)由题意，假设对大于1的自然数n，存在大于2的自然数m，使得a1，an，am成等比数列，则a1·am＝a2n，即am＝3n－2.∵am＝3m－2，∴3m－2＝3n－2，整理，得m＝（3n－2）2＋23＝3n－232＋23.∵n1且n为整数，∴n＝2时，mmin＝6，即存在m使得a1，an，am成等比数列，且m的最小值为6.选②：(1)∵a2n－anan－1－3an－1－9＝0，∴(an＋3)(an－3)－an－1(an＋3)＝0，即(an＋3)(an－3－an－1)＝0，∵a1＝1，∴an－an－1＝3，∴{an}是首项为1，公差为3的等差数列，∴an＝1＋3×(n－1)＝3n－2，n∈N*.(2)若a1，an，am成等比数列，则a2n＝a1·am，即(3n－2)2＝3m－2，整理得m＝3n2－4n＋2＝3n2－43n＋49＋23＝3n－232＋23.∵n1且n为整数，∴n＝2时，mmin＝6，即存在m使得a1，an，am成等比数列，且m的最小值为6.选③：(1)∵Sn＝n2－2n＋2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－2n＋2－(n－1)2＋2(n－1)－2＝2n－3，当n＝1时，a1＝1不满足上式，∴an＝1，n＝1，2n－3，n≥2且n∈N*.(2)若a1，an，am成等比数列，且n1，m1，则a2n＝a1·am，即(2n－3)2＝2m－3，整理得m＝2n2－6n＋6＝2n2－3n＋94＋32＝2n－322＋32.∵n1且n为整数，∴n＝3时，mmin＝6，即存在m使得a1，an，am成等比数列，且m的最小值为6.3．如图，在直角梯形ABED中，AB∥DE，AB⊥BE，且AB＝2DE＝2BE，点C是AB的中点，现将△ACD沿CD折起，使点A到达点P的位置．(1)求证：平面PBC⊥平面PEB；解(1)证明：∵AB∥DE，AB＝2DE，点C是AB的中点，∴CB∥ED，CB＝ED，∴四边形BCDE为平行四边形，∴CD∥EB，又EB⊥AB，∴CD⊥AB，∴CD⊥PC，CD⊥BC，又PC∩BC＝C，∴CD⊥平面PBC，∴EB⊥平面PBC，又EB⊂平面PEB，∴平面PBC⊥平面PEB.(2)若PE与平面PBC所成的角为45°，求平面PDE与平面PBC所成锐二面角的余弦值．解(2)由(1)知EB⊥平面PBC，∴∠EPB即为PE与平面PBC所成的角，∴∠EPB＝45°，∵EB⊥平面PBC，∴EB⊥PB，∴△PBE为等腰直角三角形，∴EB＝PB＝BC＝PC，故△PBC为等边三角形，取BC的中点O，连接PO，则PO⊥BC，∵EB⊥平面PBC，又EB⊂平面BCDE，∴平面BCDE⊥平面PBC，又PO⊂平面PBC，平面BCDE∩平面PBC＝BC，∴PO⊥平面BCDE，以O为坐标原点，过点O与BE平行的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图.设BC＝2，则B(0，1，0)，E(2，1，0)，D(2，－1，0)，P(0，0，3)，从而DE→＝(0，2，0)，PE→＝(2，1，－3)，设平面PDE的一个法向量为m＝(x，y，z)，则由m·DE→＝0，m·PE→＝0，得2y＝0，2x＋y－3z＝0，令z＝2，得m＝(3，0，2)，又平面PBC的一个法向量n＝(1，0，0)，则cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝37＝217，∴平面PDE与平面PBC所成锐二面角的余弦值为217.4．近年来，我国大力发展新能源汽车工业，新能源汽车(含电动汽车)销量已跃居全球首位．某电动汽车厂新开发了一款电动汽车．并对该电动汽车的电池使用情况进行了测试，其中剩余电量y与行驶时间x(单位：小时)的测试数据如下表：x12345678910y2.7721.921.361.121.090.740.680.530.45(1)根据电池放电的特点，剩余电量y与行驶时间x之间满足经验关系式：y＝aebx，通过散点图可以发现y与x之间具有相关性．设w＝lny，利用表格中的前8组数据求相关系数r，并判断是否有99%的把握认为x与w之间具有线性相关关系；(当相关系数r满足|r|0.789时，则认为有99%的把握认为两个变量具有线性相关关系)解(1)由题意知，r＝∑8i＝1（xi－x－）（wi－w－）∑8i＝1（xi－x－）2∑8i＝1（wi－w－）2＝－8.3542×1.70≈－0.99.因为|r|≈0.990.789，所以有99%的把握认为x与w之间具有线性相关关系．(2)利用x与w的相关性及表格中前8组数据求出y与x之间的回归方程；(结果保留两位小数)解(2)对y＝aebx两边取对数得lny＝lna＋bx，设μ＝lna，又w＝lny，则w^＝b^x＋μ^，b^＝∑8i＝1（xi－x－）（wi－w－）∑8i＝1（xi－x－）2＝－8.3542≈－0.20，易知x－＝4.5，w－＝2.188≈0.27.μ^＝w－－b^x－≈0.27－(－0.20)×4.5＝1.17.所以w^＝－0.20x＋1.17.所以所求的回归方程为y^＝e－0.20x＋1.17，即y^＝3.22e－0.20x.(3)如果剩余电量不足0.8，电池就需要充电．从表格中的10组数据中随机选出8组，设X表示需要充电的数据组数，求X的分布列及数学期望．附：相关数据：42≈6.48，6≈2.45，1.70≈1.30，e1.17≈3.22.表格中前8组数据的一些相关量：∑8i＝1xi＝36，∑8i＝1yi＝11.68，∑8i＝1wi＝2.18，∑8i＝1(xi－x－)2＝42，∑8i＝1(yi－y－)2＝3.61，∑8i＝1(wi－w－)2＝1.70，∑8i＝1(xi－x－)(yi－y－)＝－11.83，∑8i＝1(xi－x－)(wi－w－)＝－8.35，相关公式：对于样本(vi，ui)(i＝1，2，3，…，n)，其回归直线u＝bv＋a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b^＝∑ni＝1（vi－v－）（ui－u－）∑ni＝1（vi－v－）2，a^＝u－－b^v－，相关系数r＝∑ni＝1（vi－v－）（ui－u－）∑ni＝1（vi－v－）2∑ni＝1（ui－u－）2.解(3)10组数据中需要充电的数据组数为4组，X的所有可能取值为2，3，4.P(X＝2)＝C24C66C810＝215，P(X＝3)＝C34C56C810＝815，P(X＝4)＝C44C46C810＝13.所以X的分布列为X234P21581513X的数学期望为E(X)＝2×215＋3×815＋4×13＝165＝3.2.本课结束