教辅-高考数学大二轮专题复习-第三编中难解答突破训练(一)

特色专项增分练第三编讲应试3套中难解答突破训练中难解答突破训练(一))1．在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝3.(1)若a，b，c成等比数列，求证：B≤60°；解(1)证明：因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac.而cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－ac2ac＝12ac＋ca－1≥12(当且仅当a＝c时取等号)，又因为B为三角形的内角，所以B≤60°.(2)若cos2A＝－13(A为锐角)，sinC＝13.求△ABC中AB边上的高h.解(2)在△ABC中，因为cos2A＝1－2sin2A＝－13，所以sinA＝63.又因为c＝3，sinC＝13，所以由正弦定理asinA＝csinC，解得a＝32.解法一：由sinA＝63，0Aπ2得cosA＝33.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2－2b－15＝0.解得b＝5或b＝－3(舍去)，所以AB边上的高h＝bsinA＝5×63＝563.解法二：由sinA＝63，0Aπ2得cosA＝33.又因为sinC＝13，所以cosC＝±223，所以sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝63×223＋33×13＝539或sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝63×－223＋33×13＝－339(舍去)(或因为a＝32c＝3，且0Aπ2，所以C为锐角，又因为sinC＝13，所以cosC＝223，所以sinB＝sin（A＋C）＝sinAcosC＋cosAsinC＝63×223＋33×13＝539)，所以AB边上的高h＝asinB＝32×539＝563.2．已知数列{an}是公比为2的等比数列，其前n项和为Sn.(1)在①S1＋S3＝2S2＋2，②S3＝73，③a2a3＝4a4这三个条件中任选一个，补充到上述题干中，求数列{an}的通项公式，并判断此时数列{an}是否满足条件P：任意m，n∈N*，aman均为数列{an}中的项，说明理由；解(1)选①，因为S1＋S3＝2S2＋2，所以S3－S2＝S2－S1＋2，即a3＝a2＋2，又数列{an}是公比为2的等比数列，所以4a1＝2a1＋2，解得a1＝1，因此an＝1×2n－1＝2n－1.此时任意m，n∈N*，aman＝2m－1·2n－1＝2m＋n－2，由于m＋n－1∈N*，所以aman是数列{an}的第m＋n－1项，因此数列{an}满足条件P.选②，因为S3＝73，即a1＋a2＋a3＝73，数列{an}是公比为2的等比数列，所以a1＋2a1＋4a1＝73，解得a1＝13，因此an＝13×2n－1.此时a1a2＝29a1≤an，即a1a2不是数列{an}中的项，因此数列{an}不满足条件P.选③，因为a2a3＝4a4，数列{an}是公比为2的等比数列，所以2a1×4a1＝4×8a1，又a1≠0，故a1＝4，因此an＝4×2n－1＝2n＋1.此时任意m，n∈N*，aman＝2m＋1·2n＋1＝2m＋n＋2，由于m＋n＋1∈N*，所以aman是数列{an}的第m＋n＋1项，因此数列{an}满足条件P.(2)设数列{bn}满足bn＝nan＋1ann－1，n∈N*，求数列{bn}的前n项和Tn.解(2)因为数列{an}是公比为2的等比数列，所以an＋1an＝2，因此bn＝n×2n－1.所以Tn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1，则2Tn＝1×21＋2×22＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n，两式相减得－Tn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n×2n＝1－2n1－2－n×2n＝(1－n)2n－1，所以Tn＝(n－1)2n＋1.3.如图，点C是以AB为直径的圆上的动点(异于A，B)，已知AB＝2，AE＝7，EB⊥平面ABC，四边形BEDC为平行四边形．(1)求证：BC⊥平面ACD；解(1)证明：因为四边形BEDC为平行四边形，所以CD∥BE.因为BE⊥平面ABC，所以CD⊥平面ABC，所以CD⊥BC.因为∠ACB是以AB为直径的圆上的圆周角，所以BC⊥AC，又AC∩CD＝C，所以BC⊥平面ACD.(2)当三棱锥A－BCE的体积最大时，求平面ADE与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．解(2)△ABC中，设AC＝x，BC＝4－x2(0x2)，所以S△ABC＝12AC·BC＝12x·4－x2，因为AE＝7，AB＝2，所以BE＝3，所以VA－BCE＝VE－ABC＝13S△ABC·BE＝36x·4－x2＝36·x2（4－x2）≤36·x2＋4－x22＝33，当且仅当x2＝4－x2，即x＝2时，三棱锥A－BCE的体积有最大值，为33.解法一：以C为坐标原点，以CA，CB，CD所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则C(0，0，0)，A(2，0，0)，D(0，0，3)，E(0，2，3)，所以AD→＝(－2，0，3)，DE→＝(0，2，0)，平面ABC的法向量为n1＝(0，0，3)，设平面ADE的法向量为n2＝(x，y，z)，则n2·AD→＝0，n2·DE→＝0，即－2x＋3z＝0，2y＝0，令x＝3，得n2＝(3，0，2)，所以cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1||n2|＝63×5＝105.解法二：因为DE∥BC，BC⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，所以DE∥平面ABC，设平面ADE∩平面ABC＝l，则l∥DE，又BC∥DE，所以l∥BC，又点A是平面ADE与平面ABC的公共点，所以l过点A，过点A在圆内作AF∥BC交圆于点F，则直线AF与l重合，所以AF为平面ADE与平面ABC的交线，因为AF∥BC，AC⊥BC，所以AC⊥AF，又因为BC⊥平面ACD，所以BC⊥AD，所以AD⊥AF，所以∠DAC为两个平面所成的锐二面角的平面角，在Rt△ACD中，易求得cos∠DAC＝105，所以平面ADE与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为105.4．网络购物已经成为人们的一种生活方式．某购物平台为了给顾客提供更好的购物体验，为入驻商家设置了积分制度，每笔购物完成后，买家可以根据物流情况、商品质量等因素对商家作出评价，评价分为好评、中评和差评．平台规定商家有50天的试营业时间，期间只评价不积分，正式营业后，每个好评给商家计1分，中评计0分，差评计－1分，某商家在试营业期间随机抽取100单交易调查了其商品的物流情况以及买家的评价情况，分别制成了图1和图2.(1)通常收件时间不超过四天认为是物流迅速，否则认为是物流迟缓；请根据题目所给信息完成下面2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为“获得好评”与物流速度有关？好评中评或差评合计物流迅速物流迟缓30合计解(1)由题意可得好评中评或差评合计物流迅速50555物流迟缓301545合计8020100K2＝100×（50×15－30×5）255×45×80×20＝100116.635，所以有99%的把握认为“获得好评”与物流速度有关．(2)从正式营业开始，记商家在每笔交易中得到的评价得分为X.该商家将试营业50天期间的成交情况制成了频数分布表(表1)，以试营业期间成交单数的频率代替正式营业时成交单数发生的概率．表1成交单数363027天数102020①求X的分布列和数学期望；解(2)①由题意可知，X的取值可能是1，0，－1，每位买家给商家作出好评、中评、差评的概率分别为0.8，0.1，0.1，所以X的分布列为X10－1P0.80.10.1E(X)＝1×0.8＋0×0.1＋(－1)×0.1＝0.7.②平台规定，当积分超过10000分时，商家会获得“诚信商家”称号，请估计该商家从正式营业开始，1年内(365天)能否获得“诚信商家”称号．附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635解②解法一：设商家每天的成交量为Y，则Y的取值可能为27，30，36，所以Y的分布列为Y273036P0.40.40.2所以E(Y)＝27×0.4＋30×0.4＋36×0.2＝30，所以商家每天能获得的平均积分为30×0.7＝21，商家一年能获得的积分为21×365＝766510000，所以该商家在1年内不能获得“诚信商家”称号．解法二：商家每天的平均成交量为36×10＋30×20＋27×2050＝30，所以商家每天能获得的平均积分为30×0.7＝21，商家一年能获得的积分为21×365＝766510000，所以该商家在1年内不能获得“诚信商家”称号．本课结束