教辅-高三数学考点复习：等差数列与等比数列

考点十一等差数列与等比数列1A卷PARTONE一、选择题1．(2020·山东淄博二模)在正项等比数列{an}中，若a3a7＝4，则(－2)a5＝()A．16B．8C．4D．2解析在正项等比数列{an}中，a50，由等比中项的性质可得a25＝a3a7＝4，∴a5＝2，因此，(－2)a5＝(－2)2＝4.故选C.答案解析2．(2020·湖南郴州一模)数列2an＋1是等差数列，且a1＝1，a3＝－13，那么a5＝()A.35B．－35C．5D．－5解析2a1＋1＝1，2a3＋1＝3，∵数列2an＋1是等差数列，设公差为d，∴3＝1＋2d，解得d＝1.∴2a5＋1＝1＋1×4＝5，解得a5＝－35.故选B.答案解析解析设等比数列{an}的公比为q，由a5－a3＝12，a6－a4＝24可得a1q4－a1q2＝12，a1q5－a1q3＝24，解得q＝2，a1＝1，所以an＝a1qn－1＝2n－1，Sn＝a11－qn1－q＝1－2n1－2＝2n－1.因此Snan＝2n－12n－1＝2－21－n.故选B.3．(2020·全国卷Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则Snan＝()A．2n－1B．2－21－nC．2－2n－1D．21－n－1答案解析4．(2020·海南中学高三摸底)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝10，S10＝40，则S15＝()A．80B．90C．100D．110解析根据等差数列前n项和的片段和的性质，可知S5，S10－S5，S15－S10也是等差数列，又S5＝10，S10＝40，故可得10,30,50成等差数列，故S15－S10＝50，解得S15＝90.故选B.答案解析解析由a2n＋1－an＋1an－2a2n＝0，得(an＋1＋an)(an＋1－2an)＝0，又{an}为正项数列，所以an＋1＝2an，所以数列{an}是等比数列，且公比q＝2，设首项为a1，则S5＝a11－251－2＝31a1，a3＝a1×22＝4a1，则S5a3＝314.故选A.5．(2020·山西大同市高三模拟)已知正项数列{an}满足a2n＋1－an＋1an－2a2n＝0，{an}的前n项和为Sn，则S5a3＝()A.314B．312C．154D．152答案解析解析设等比数列{an}的公比为q，则a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝1，a2＋a3＋a4＝a1q＋a1q2＋a1q3＝a1q(1＋q＋q2)＝q＝2，因此，a6＋a7＋a8＝a1q5＋a1q6＋a1q7＝a1q5(1＋q＋q2)＝q5＝32.故选D.答案解析6．(2020·全国卷Ⅰ)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝()A．12B．24C．30D．327．(多选)(2020·山东威海三模)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法正确的是()A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B．春分和秋分两个节气的晷长相同C．立冬的晷长为一丈五寸D．立春的晷长比立秋的晷长短答案解析由题意可知，夏至到冬至的晷长构成等差数列{an}，其中a1＝15寸，a13＝135寸，公差为d寸，则135＝15＋12d，解得d＝10(寸)，同理可知，冬至到夏至的晷长构成等差数列{bn}，首项b1＝135，末项b13＝15，公差d＝－10(单位都为寸)，故A正确；∵春分的晷长为b7，∴b7＝b1＋6d＝135－60＝75，∵秋分的晷长为a7，∴a7＝a1＋6d＝15＋60＝75，所以B正确；∵立冬的晷长为a10，∴a10＝a1＋9d＝15＋90＝105，即立冬的晷长为一丈五寸，C正确；∵立春的晷长、立秋的晷长分别为b4，a4，∴a4＝a1＋3d＝15＋30＝45，b4＝b1＋3d＝135－30＝105，∴b4a4，故D错误．故选ABC.解析8．(多选)(2020·山东潍坊高密二模)设正项等差数列{an}满足(a1＋a10)2＝2a2a9＋20，则()A．a2a9的最大值为10B．a2＋a9的最大值为210C.1a22＋1a29的最大值为15D．a42＋a49的最小值为200答案解析因为正项等差数列{an}满足(a1＋a10)2＝2a2a9＋20，所以(a2＋a9)2＝2a2a9＋20，即a22＋a29＝20.所以a2a9≤a22＋a292＝202＝10，当且仅当a2＝a9＝10时等号成立，故A正确；因为a2＋a922≤a22＋a292＝10，所以a2＋a92≤10，a2＋a9≤210，当且仅当a2＝a9＝10时等号成立，故B正确；解析因为1a22＋1a29＝a22＋a29a22·a29＝20a22·a29≥20a22＋a2922＝20102＝15，当且仅当a2＝a9＝10时等号成立，所以1a22＋1a29的最小值为15，故C错误；D项结合A项的结论，有a42＋a49＝(a22＋a29)2－2a22·a29＝400－2a22·a29≥400－2×102＝200，当且仅当a2＝a9＝10时等号成立，故D正确．故选ABD.解析答案n二、填空题9．(2020·四川成都石室中学一诊)若等差数列{an}满足：a1＝1，a2＋a3＝5，则an＝________.解析设等差数列{an}的公差为d，∵a1＝1，a2＋a3＝5，即2a1＋3d＝5，∴d＝1，∴an＝n.答案解析答案310．(2020·江苏南京金陵中学、南通海安高级中学、南京外国语学校第四次模拟)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S20－S10S30－S20＝1310，则数列{an}的公比为________．解析设正项等比数列{an}的公比为q.因为S20－S10＝a11＋a12＋…＋a20，S30－S20＝a21＋a22＋…＋a30＝q10(a11＋a12＋…＋a20)，故S20－S10S30－S20＝1q10，即1q10＝1310，因为等比数列{an}为正项数列，故q0，所以q＝3.答案解析答案3n2－2n11．(2020·新高考卷Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．解析因为数列{2n－1}是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列{3n－2}是以1为首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{an}是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以{an}的前n项和为n·1＋nn－12·6＝3n2－2n.答案解析答案101012．(2020·海南中学高三第六次月考)已知等差数列{an}的首项及公差均为正数，令bn＝an＋a2020－n(n∈N*，n2020)，当bk是数列{bn}的最大项时，k＝________.解析设an＝x，a2020－n＝y，根据基本不等式(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤x2＋y2＋x2＋y2＝2(x2＋y2)，又由等差数列{an}的首项及公差均为正数，得an＋a2020－n＝2a1010，所以b2n＝(an＋a2020－n)2≤2(an＋a2020－n)＝2(2a1010)＝4a1010，当且仅当an＝a2020－n时，bn取得最大值，此时n＝1010，所以k＝1010.答案解析三、解答题13．(2020·全国卷Ⅰ)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．(1)求{an}的公比；(2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和．解(1)设等比数列{an}的公比为q，∵a1为a2，a3的等差中项，∴2a1＝a2＋a3，即2a1＝a1q＋a1q2.∵a1≠0，∴q2＋q－2＝0.∵q≠1，∴q＝－2.解(2)设数列{nan}的前n项和为Sn，∵a1＝1，an＝(－2)n－1，∴Sn＝1×1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n(－2)n－1，①－2Sn＝1×(－2)＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋(n－1)(－2)n－1＋n(－2)n，②①－②，得3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n(－2)n＝1－－2n1－－2－n(－2)n＝1－1＋3n－2n3，∴Sn＝1－1＋3n－2n9.解解若选择①，因为2Sn＝(n＋1)an，n∈N*，所以2Sn＋1＝(n＋2)·an＋1，n∈N*，两式相减，得2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，整理，得nan＋1＝(n＋1)an，即an＋1n＋1＝ann，n∈N*.14．(2020·山东威海三模)从条件①2Sn＝(n＋1)an，②Sn＋Sn－1＝an(n≥2)，③an0，a2n＋an＝2Sn中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，________.若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求k的值．解所以ann为常数列．ann＝a11＝1，所以an＝n或由an＋1an＝n＋1n，利用累乘相消法，求得an＝n.所以ak＝k，Sk＋2＝k＋21＋k＋22＝k＋2k＋32，又a1，ak，Sk＋2成等比数列，所以(k＋2)(k＋3)＝2k2，所以k2－5k－6＝0，解得k＝6或k＝－1(舍去)，所以k＝6.若选择②，由Sn＋Sn－1＝an(n≥2)变形，得Sn＋Sn－1＝Sn－Sn－1，解所以Sn＋Sn－1＝(Sn＋Sn－1)(Sn－Sn－1)，易知Sn0，所以Sn－Sn－1＝1，所以{Sn}是公差为1的等差数列，又S1＝a1＝1，所以Sn＝n，Sn＝n2，所以an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，又n＝1时，a1＝1也满足上式，所以an＝2n－1.因为a1，ak，Sk＋2成等比数列，所以(k＋2)2＝(2k－1)2，解得k＝3或k＝－13，又k∈N*，所以k＝3.若选择③，解因为a2n＋an＝2Sn(n∈N*)，所以a2n－1＋an－1＝2Sn－1(n≥2)，两式相减，得a2n－a2n－1＋an－an－1＝2Sn－2Sn－1＝2an(n≥2)，整理，得(an－an－1)(an＋an－1)＝an＋an－1(n≥2)，因为an0，所以an－an－1＝1(n≥2)，所以{an}是首项为1，公差为1的等差数列，所以an＝1＋(n－1)×1＝n，Sk＋2＝k＋21＋k＋22＝k＋2k＋32，又a1，ak，Sk＋2成等比数列，所以(k＋2)(k＋3)＝2k2，所以k＝6或k＝－1，又k∈N*，所以k＝6.解2B卷PARTTWO解析由a5－a1＝a1q4－a1＝15，a4－a2＝a1q3－a1q＝6，解得a1＝1，q＝2或a1＝－16，q＝12(舍去)．故a3＝a1q2＝4.故选B.一、选择题1．(2020·山东省实验中学高三4月高考预测)在正项等比数列{an}中，a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3＝()A．2B．4C．12D．8答案解析2．(2020·吉林长春质量监测二)在等差数列{an}中，若3a5＝2a7，则此数列中一定为0的是()A．a1B．a3C．a8D．a10解析设等差数列{an}的公差为d.由于等差数列{an}中3a5＝2a7，所以3(a1＋4d)＝2(a1＋6d)，化简得a1＝0，所以a1为0.故选A.答案解析3．若等比数列的前n项和、前2n项和、前3n项和分别为A，B，C，则()A．A＋B＝CB．B2＝ACC．A＋B－C＝B3D．A2＋B2＝A(B＋C)解析由等比数列的性质可知，当公比q≠－1时，A，B－A，C－B成等比数列，所以(B－A)2＝A(C－B)，所以A2＋B2＝AC＋AB＝A(B＋C)，当q＝－1时，易验证此等式成立，故选D