教辅-高三数学考点复习：复数

考点三复数1A卷PARTONE一、选择题1．(2020·新高考卷Ⅰ)2－i1＋2i＝()A．1B．－1C．iD．－i解析2－i1＋2i＝2－i1－2i1＋2i1－2i＝－5i5＝－i，故选D.答案解析2．(2020·海南中学高三摸底)i是虚数单位，则复数z＝2－ii在复平面上对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析z＝2－ii＝2－iii2＝2i＋1－1＝－1－2i，在复平面上对应的点(－1，－2)位于第三象限．故选C.答案解析3．(2020·青海西宁检测(一))已知a＋bi(a，b∈R)是1－i1＋i的共轭复数，则a＋b＝()A．－1B．－12C．12D．1解析1－i1＋i＝1－i21＋i1－i＝－2i2＝－i，∴a＋bi＝－(－i)＝i，∴a＝0，b＝1，∴a＋b＝1.故选D.答案解析4．(2020·全国卷Ⅰ)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝()A．0B．1C．2D．2解析z2＝(1＋i)2＝2i，则z2－2z＝2i－2(1＋i)＝－2，故|z2－2z|＝|－2|＝2.故选D.答案解析5．(2020·山东淄博二模)设复数z满足z·(1－i)＝2＋i，则z－的虚部是()A.32B．32iC．－32D．－32i解析z·(1－i)＝2＋i，则z＝2＋i1－i＝2＋i1＋i1－i1＋i＝1＋3i2＝12＋32i，故z－＝12－32i，虚部为－32.故选C.答案解析6．(2020·山东潍坊高密二模)已知复数z＝11＋i，则z·i在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析∵z＝11＋i＝1－i2，∴z·i＝1－i2·i＝1＋i2.∴z·i在复平面内对应的点为12，12，位于第一象限．故选A.答案解析7．(2020·山东泰安四模)已知复数z满足(1＋i)z＝|3＋i|，i为虚数单位，则z等于()A．1－iB．1＋iC．12－12iD．12＋12i解析因为z＝|3＋i|1＋i＝21－i1＋i1－i＝1－i，所以应选A.答案解析8．(2020·北京高考)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i·z＝()A．1＋2iB．－2＋iC．1－2iD．－2－i解析由题意得z＝1＋2i，∴i·z＝i－2.故选B.答案解析9．(2020·湖南师大附中高三摸底考试)满足条件|z＋4i|＝2|z＋i|的复数z对应点的轨迹是()A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线解析设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z＋4i|＝|x＋(y＋4)i|＝x2＋y＋42，|z＋i|＝|x＋(y＋1)i|＝x2＋y＋12，结合题意有x2＋(y＋4)2＝4x2＋4(y＋1)2，整理可得x2＋y2＝4.即复数z对应点的轨迹是圆．故选B.答案解析10．(2020·山东日照二模)在复平面内，已知复数z对应的点与复数1＋i对应的点关于实轴对称，则zi＝()A．1＋iB．－1＋iC．－1－iD．1－i解析由题得z＝1－i，所以zi＝1－ii＝i＋1－1＝－1－i.故选C.答案解析解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，∴复数z－iz＋i＝a＋b－1ia＋b＋1i＝[a＋b－1i][a－b＋1i]a2＋b＋12＝a2＋b2－1－2aia2＋b＋12为纯虚数，∴a2＋b2＝1，a≠0.∴|z|＝a2＋b2＝1.故选C.11．(2020·山东淄博高三摸底)已知z为复数，i为虚数单位，若复数z－iz＋i为纯虚数，则|z|＝()A．2B．2C．1D．22答案解析12．(2020·湖南长沙长郡中学二模)下面是关于复数z＝2－1＋i(i为虚数单位)的命题，其中假命题为()A．|z|＝2B．z2＝2iC．z的共轭复数为1＋iD．z的虚部为－1解析因为z＝2－1＋i＝2－1－i－1＋i－1－i＝－2－2i2＝－1－i，所以|z|＝2，A为真命题；z2＝2i，B为真命题；z的共轭复数为－1＋i，C为假命题；z的虚部为－1，D为真命题．故选C.答案解析13．(2020·山东聊城一模)已知复数z满足(1＋2i)z＝|3＋4i|，则复数z的共轭复数为()A．1－2iB．－1－2iC．－1＋2iD．1＋2i解析因为|3＋4i|＝32＋42＝5，所以z＝|3＋4i|1＋2i＝51－2i1－2i1＋2i＝1－2i，由共轭复数的定义可知，z－＝1＋2i.故选D.答案解析14．(2020·山东威海三模)已知复数(2＋ai)(3＋i)在复平面内对应的点在直线y＝x上，则实数a＝()A．－2B．－1C．1D．2解析因为(2＋ai)(3＋i)＝6－a＋(2＋3a)i，所以对应的点为(6－a,2＋3a)，代入直线y＝x可得6－a＝2＋3a，解得a＝1，故选C.答案解析15．(2020·山东济宁嘉祥县第一中学考前训练二)在复平面内，复数z＝i对应的点为Z，将向量OZ→绕原点O按逆时针方向旋转π6，所得向量对应的复数是()A．－12＋32iB．－32＋12iC．－12－32iD．－32－12i答案解析∵复数z＝i(i为虚数单位)在复平面中对应的点为Z(0，1)，∴OZ→＝(0,1)，将OZ→绕原点O逆时针旋转π6得到OB→，设OB→＝(a，b)，a0，b0，则OZ→·OB→＝b＝|OZ→||OB→|cosπ6＝32，即b＝32，又a2＋b2＝1，解得a＝－12，∴OB→＝－12，32，对应复数为－12＋32i.故选A.解析16．(2020·陕西咸阳三模)设复数z满足|z－1＋i|＝1，z在复平面内对应的点为P(x，y)，则点P的轨迹方程为()A．(x＋1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．(x－1)2＋(y＋1)2＝1解析由题意得z＝x＋yi，则由|z－1＋i|＝1得|(x－1)＋(y＋1)i|＝1，即x－12＋y＋12＝1,则(x－1)2＋(y＋1)2＝1.故选D.答案解析17．(2020·吉林长春高三质量监测二)若z＝1＋(1－a)i(a∈R)，|z|＝2，则a＝()A．0或2B．0C．1或2D．1解析因为z＝1＋(1－a)i(a∈R)，|z|＝2，所以12＋1－a2＝2，解得a＝0或a＝2.故选A.答案解析解析z的实部为x，虚部为y，所以A错误；z2＝x2－y2＋2xyi，|z|2＝x2＋y2，所以B错误；当x＝0，y＝0时，z为实数，所以C错误；由|z－i|＝1得|x＋yi－i|＝1，所以|x＋(y－1)i|＝1，所以x2＋(y－1)2＝1，所以D正确．故选D.18．(2020·吉林长春质量监测四模)设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，下列说法正确的是()A．z的虚部是yiB．z2＝|z|2C．若x＝0，则复数z为纯虚数D．若z满足|z－i|＝1，则z在复平面内对应点(x，y)的轨迹是圆答案解析答案3二、填空题19．(2020·江苏高考)已知i是虚数单位，则复数z＝(1＋i)(2－i)的实部是________．解析∵复数z＝(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i，∴复数z的实部为3.答案解析解析由题得ai－11＋i＝ai－11－i1＋i1－i＝a－1＋a＋1i2，因为复数ai－11＋i(a∈R)是实数，所以a＋1＝0，所以a＝－1.所以(b＋ai)2＝(b－i)2＝b2－1－2bi，因为复数(b＋ai)2是纯虚数，所以b2－1＝0，－2b≠0，所以b＝±1.答案±120．(2020·山东泰安肥城高三适应性训练二)已知复数ai－11＋i(a∈R)是实数，复数(b＋ai)2是纯虚数，则实数b的值为________．答案解析解析由题图可得z＝2＋i，复数z1－2i＝2＋i1－2i＝－2i2＋i1－2i＝i，其共轭复数为－i.21．若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数z1－2i的共轭复数是________．答案－i答案解析解析解法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，∵|z1|＝|z2|＝2，∴a2＋b2＝4，c2＋d2＝4，∵z1＋z2＝a＋bi＋c＋di＝3＋i，∴a＋c＝3，b＋d＝1，∴(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋c2＋2ac＋b2＋d2＋2bd＝4，∴2ac＋2bd＝－4，∵z1－z2＝a＋bi－(c＋di)＝a－c＋(b－d)i，∴|z1－z2|＝a－c2＋b－d2答案2322．(2020·全国卷Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝3＋i，则|z1－z2|＝________.答案解析＝a2＋c2－2ac＋b2＋d2－2bd＝a2＋b2＋c2＋d2－2ac＋2bd＝4＋4－－4＝23.解法二：∵|z1|＝|z2|＝2，可设z1＝2cosθ＋2sinθ·i，z2＝2cosα＋2sinα·i，∴z1＋z2＝2(cosθ＋cosα)＋2(sinθ＋sinα)·i＝3＋i，∴2cosθ＋cosα＝3，2sinθ＋sinα＝1.两式平方作和，得4(2＋2cosθcosα＋2sinθsinα)＝4，化简得cosθcosα＋sinθsinα＝－12.解析∴|z1－z2|＝|2(cosθ－cosα)＋2(sinθ－sinα)·i|＝4cosθ－cosα2＋4sinθ－sinα2＝8－8cosθcosα＋sinθsinα＝8＋4＝23.解析2B卷PARTTWO一、选择题1．(2020·全国卷Ⅲ)若z－(1＋i)＝1－i，则z＝()A．1－iB．1＋iC．－iD．i解析因为z－＝1－i1＋i＝1－i21＋i1－i＝－2i2＝－i，所以z＝i.故选D.答案解析2．(2020·山东青岛自主检测)若复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1＝2－i，则复数z1z2＝()A．－1B．1C．－35＋45iD．35－45i解析依题意可得z2＝－2－i，所以z1z2＝2－i－2－i＝2－i－2＋i5＝－35＋45i，故选C.答案解析解析由题意得z－＝1－bi，所以z－z－＝2bi，z·z－＝1＋b2，所以由z·z－z－z－＝－i，得1＋b2＝－2bi2＝2b，得b＝1.故选C.3．(2020·山东济宁嘉祥县萌山高级中学第五次模拟)已知复数z＝1＋bi满足z·z－z－z－＝－i，其中z－为复数z的共轭复数，则实数b＝()A．－1B．2C．1D．1或－1答案解析4．(2020·山东滨州三模)已知x∈R，当复数z＝2x＋(x－3)i的模长最小时，z的虚部为()A.2B．2C．－2D．－2i解析依题意|z|＝2x2＋x－32＝3x2－6x＋9＝3[x－12＋2].故当x＝1时，|z|取得最小值．此时z＝2－2i，所以z的虚部为－2.故选C.答案解析解析因为z＝2i1－3i＝2i1＋3i1－3i1＋3i＝－32＋12i，所以z＝cos5π6＋isin5π6，所以z的辐角主值为5π6.故选D.5．(2020·山东青岛高三二模)任意复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)都可以写成z＝r(cosθ＋isinθ)的形式，其中r＝a2＋b2，0≤θ2π，该形式为复数的三角形式，其中θ称为复数的辐角主值．若复数z＝2i1－3i，则z的辐角主值为()A.π6B．π3C．2π3D．5π6答案解析6．(2020·山西大同模拟)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA→，OB→，若z1＝zz2，则z的共轭复数z－＝()A.12＋32IB.12－32iC．－12＋32ID．－12－32i答案解析由题图可知z1＝1＋2i，z2＝－1＋i，所以z＝z1z2＝1＋2i－1＋i＝1＋2i－1－i－1＋i－1－i＝1－3i2，所以z－＝12＋32i.故选A.解析解析设z＝x＋yi，则|z＋3＋4i|＝|(x＋3)＋(y＋4)i|＝x＋32＋y＋42