教辅-高三数学考点复习：三角恒等变换与解三角形

考点十三角恒等变换与解三角形1A卷PARTONE一、选择题1．(2020·全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则()A．cos2α0B．cos2α0C．sin2α0D．sin2α0解析当α＝－π3时，cos2α＝cos－2π3＜0，A错误；当α＝－π6时，cos2α＝cos－π3＞0，B错误；由α在第四象限可得sinα＜0，cosα＞0，则sin2α＝2sinαcosα＜0，C错误，D正确．故选D.答案解析2．(2020·山东聊城一模)已知cosα－π6＝35，则sinα＋π3＝()A.35B．－35C．45D．－45解析因为cosα－π6＝35，由三角函数诱导公式可得，cosπ6－α＝35，因为sinα＋π3＝sinπ2－π6－α＝cosπ6－α，所以sinα＋π3＝cosπ6－α＝35.故选A.答案解析3．(2020·全国卷Ⅲ)已知2tanθ－tanθ＋π4＝7，则tanθ＝()A．－2B．－1C．1D．2解析∵2tanθ－tanθ＋π4＝7，∴2tanθ－tanθ＋11－tanθ＝7.令t＝tanθ，t≠1，则2t－1＋t1－t＝7，整理得t2－4t＋4＝0，解得t＝2，即tanθ＝2.故选D.答案解析4．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若2cosB＝ac，则该三角形一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析由2cosB＝ac得2×a2＋c2－b22ac＝ac，即c2＝b2，∴b＝c，∴△ABC为等腰三角形，故选A.答案解析5．(2020·海南二模)已知α为第二象限角，且sin2α＝cos2α，则sin2αcos2α＝()A．－22B．22C．2D．－2解析由sin2α＝cos2α＝cos2α－sin2α，得tan2α＝12，∵α为第二象限角，∴tanα＝－22，∴sin2αcos2α＝2sinαcosαcos2α＝2tanα＝－2.答案解析6．(2020·吉林第四次调研测试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝π4，B＝π12，c＝33，则a＝()A.2B．22C．32D．42解析因为A＝π4，B＝π12，所以C＝π－A－B＝2π3，所以a＝csinAsinC＝33×2232＝32.故选C.答案解析7．(2020·全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα＝()A.53B．23C．13D．59解析由3cos2α－8cosα＝5，得6cos2α－8cosα－8＝0，解得cosα＝－23或cosα＝2(舍去)．∵α∈(0，π)，∴sinα＝1－cos2α＝53.故选A.答案解析8．(多选)在△ABC中，给出下列四个命题，其中正确的命题是()A．若AB，则sinAsinBB．若sinAsinB，则ABC．若AB，则1sin2A1sin2BD．若AB，则cos2Acos2B答案解析由大角对大边知，若AB，则ab，由正弦定理得2RsinA2RsinB，所以sinAsinB，故A正确；同理B正确；当A＝120°，B＝30°时，1sin2A0，1sin2B0，故C错误；若AB，则sinAsinB，sin2Asin2B，即1－cos2A1－cos2B，所以cos2Acos2B，故D正确．故选ABD.解析答案19二、填空题9．(2020·全国卷Ⅱ)若sinx＝－23，则cos2x＝________.解析cos2x＝1－2sin2x＝1－2×－232＝1－89＝19.答案解析答案7810．(2020·福建厦门高三毕业班5月质量检查)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＝2bc且sinA＝2sinC，则cosC＝________.解析∵sinA＝2sinC，∴a＝2c，又a2＝2bc，∴b＝2c，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝7c22×4×c2＝78.答案解析答案311．(2020·山东潍坊二模)已知α∈0，π2，sinα－π4＝55，则tanα＝________.解析∵sinα－π4＝55，且α∈0，π2，∴α－π4∈－π4，π4，cosα－π4＝1－sin2α－π4＝255，∴sinα＝sinα－π4＋π4＝22sinα－π4＋cosα－π4＝22×355＝31010，∵α∈0，π2，∴cosα＝1－sin2α＝1010，∴tanα＝sinαcosα＝3.答案解析答案10612．(2020·山东潍坊高密一模)在△ABC中，设角A，B，C对应的边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，且4a2＝b2＋2c2，则Sa2的最大值为________．答案解析由题知4a2＝b2＋2c2⇒b2＝4a2－2c2＝a2＋c2－2accosB，整理得2accosB＝－3a2＋3c2⇒cosB＝3c2－a22ac，因为Sa22＝12acsinBa22＝csinB2a2＝c21－cos2B4a2，代入cosB＝3c2－a22ac，整理得Sa22＝－1169c4a4－22c2a2＋9，令t＝c2a2，有Sa22＝－116(9t2－22t＋9)＝－116·3t－1132＋1036，所以Sa22≤1036⇒Sa2≤106，当且仅当t＝119时等号成立，所以Sa2的最大值为106.解析解(1)∵sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC，由正弦定理可得BC2－AC2－AB2＝AC·AB，∴AC2＋AB2－BC2＝－AC·AB，∴cosA＝AC2＋AB2－BC22AC·AB＝－12.∵A∈(0，π)，∴A＝2π3.解三、解答题13．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC.(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．(2)解法一：由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA＝AC2＋AB2＋AC·AB＝9，即(AC＋AB)2－AC·AB＝9.∵AC·AB≤AC＋AB22(当且仅当AC＝AB时取等号)，∴9＝(AC＋AB)2－AC·AB≥(AC＋AB)2－AC＋AB22＝34(AC＋AB)2，∴AC＋AB≤23(当且仅当AC＝AB时取等号)，∴△ABC的周长L＝AC＋AB＋BC≤3＋23，∴△ABC周长的最大值为3＋23.解解法二：由正弦定理得ABsinC＝ACsinB＝BCsinA＝3sin2π3＝23，∴AB＝23sinC，AC＝23sinB.∵A＝2π3，∴C＝π3－B.∴AB＋AC＝23sinπ3－B＋23sinB＝2332·cosB－12sinB＋23sinB＝3cosB＋3sinB＝23·sinB＋π3.当B＝π6时，AB＋AC取得最大值23，∴△ABC周长的最大值为3＋23.解14.(2020·山东滨州三模)如图，半圆O的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上异于A，B两点的一个动点，以点P为直角顶点作等腰直角三角形PCD，且点D与圆心O分布在PC的两侧，设∠PAC＝θ.(1)把线段PC的长表示为θ的函数；(2)求四边形ACDP面积的最大值．解(1)依题设易知△APB是以∠APB为直角的直角三角形，又AB＝2，∠PAB＝θ，所以PA＝2cosθ.在△PAC中，AC＝3，∠PAC＝θ，由余弦定理得，PC2＝PA2＋AC2－2PA·ACcosθ＝4cos2θ＋9－12cos2θ＝9－8cos2θ.所以PC＝9－8cos2θ，定义域为θ|0θπ2.解(2)设四边形ACDP的面积为S，则S＝S△APC＋S△PCD＝12AP·AC·sinθ＋12PC2＝12·2cosθ·3sinθ＋12·(9－8cos2θ)＝32sin2θ＋12·(5－4cos2θ)＝32sin2θ－2cos2θ＋52＝94＋4sin(2θ－φ)＋52＝52sin(2θ－φ)＋52，其中cosφ＝35，sinφ＝45，φ为锐角．因为sinφ＝4532，所以0φπ3.解又因为0θπ2，所以－π32θ－φπ，所以当2θ－φ＝π2时，S取得最大值为52＋52＝5.所以四边形ACDP面积的最大值为5.解2B卷PARTTWO一、选择题1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，A＝60°，a＝43，b＝4，则B＝()A．60°B．45°C．30°D．60°或120°解析∵A＝60°，a＝43，b＝4，∴sinB＝bsinAa＝4×sin60°43＝12，∵ab，∴B60°，∴B＝30°，故选C.答案解析解析设射线y＝43x(x≥0)的倾斜角为α，射线y＝－512x(x≤0)的倾斜角为β，则sinα＝45，cosα＝35，sinβ＝513，cosβ＝－1213，∴cosθ＝cos(β－α)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝35×－1213＋45×513＝－1665，故选A.2．(2020·山西大同高三模拟)由射线y＝43x(x≥0)逆时针旋转到射线y＝－512x(x≤0)的位置所成角为θ，则cosθ＝()A．－1665B．±1665C．－5665D．±5665答案解析3．(2020·山东青岛自主模拟)已知直线l1：xsinα＋y－1＝0，直线l2：x－3ycosα＋1＝0，若l1⊥l2，则sin2α＝()A.23B．±35C．－35D．35解析因为l1⊥l2，所以sinα－3cosα＝0，所以tanα＝3，所以sin2α＝2sinαcosα＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanαtan2α＋1＝35.故选D.答案解析4．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cosC＝23，AC＝4，BC＝3，则cosB＝()A.19B．13C．12D．23解析∵在△ABC中，cosC＝23，AC＝4，BC＝3，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝42＋32－2×4×3×23＝9，∴AB＝3，∴cosB＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝9＋9－162×3×3＝19.故选A.答案解析5．(2020·山东淄博摸底)已知cosπ4＋α＝13，则cosπ2－2α＝()A.79B．－79C．429D．－429解析∵π2－2α＝π－2π4＋α，∴cosπ2－2α＝cosπ－2π4＋α＝－cos2π4＋α＝1－2cos2π4＋α＝1－2×132＝79.故选A.答案解析6．若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈π4，π，β∈π，3π2，则α＋β的值是()A.7π4B．9π4C．5π4或7π4D．5π4或9π4答案解析因为α∈π4，π，所以2α∈π2，2π，又sin2α＝55，所以2α∈π2，π，α∈π4，π2，所以cos2α＝－255.又β∈π，3π2，所以β－α∈π2，5π4，故cos(β－α)＝－31010，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－255×