新课标版数学（理）高三总复习：题组层级快练24

题组层级快练(二十四)1．cos4π8－sin4π8等于()A．0B.22C．1D．－22答案B2．已知sinα＝23，则cos(π－2α)＝()A．－53B．－19C.19D.53答案B解析依题意得cos(π－2α)＝－cos2α＝2sin2α－1＝2×(23)2－1＝－19，选B.3．设sin(π4＋θ)＝13，则sin2θ＝()A．－79B．－19C.19D.79答案A解析sin2θ＝－cos(π2＋2θ)＝2sin2(π4＋θ)－1＝2×(13)2－1＝－79.4．若sin76°＝m，用含m的式子表示cos7°为()A.1＋m2B.1－m2C．±1＋m2D.1＋m2答案D解析∵sin76°＝cos14°＝2cos27°－1＝m，∴cos27°＝1＋m2，∴cos7°＝1＋m2.5．若cos2αsinα－π4＝－22，则sinα＋cosα的值为()A．－72B．－12C.12D.72答案C解析cos2αsinα－π4＝sinπ2－2αsinα－π4＝2sinπ4－αcosπ4－αsinα－π4＝－2cos(π4－α)＝－2(22sinα＋22cosα)＝－2(sinα＋cosα)＝－22.所以sinα＋cosα＝12.6．已知f(x)＝2tanx－2sin2x2－1sinx2cosx2，则f(π12)的值为()A．43B.833C．4D．8答案D解析∵f(x)＝2(tanx＋cosxsinx)＝2×(sinxcosx＋cosxsinx)＝2×1cosx·sinx＝4sin2x，∴f(π12)＝4sinπ6＝8.7．若cos2αsinα＋π4＝12，则sin2α的值为()A．－78B.78C．－47D.47答案B解析cos2αsinα＋π4＝cos2α－sin2αsinαcosπ4＋cosαsinπ4＝2(cosα－sinα)＝12，即cosα－sinα＝24，等式两边分别平方得cos2α－2sinαcosα＋sin2α＝1－sin2α＝18，解得sin2α＝78.8．计算tanπ4＋α·cos2α2cos2π4－α的值为()A．－2B．2C．－1D．1答案D解析tanπ4＋α·cos2α2cos2π4－α＝sinπ4＋α·cos2α2sin2π4＋αcosπ4＋α＝cos2α2sinπ4＋αcosπ4＋α＝cos2αsin2π4＋α＝cos2αsinπ2＋2α＝cos2αcos2α＝1，选D.9．设f(sinx)＝cos2x，那么f(32)等于________．答案－1210．已知tanα＝2，则2sin2α＋1sin2α＝________.答案134解析2sin2α＋1sin2α＝3sin2α＋cos2α2sinαcosα＝3tan2α＋12tanα＝134.11．若sin(x－34π)cos(x－π4)＝－14，则cos4x＝________.答案12解析∵sin(x－34π)＝－cos(π2＋x－34π)＝－cos(x－π4)，∴cos2(x－π4)＝14，∴1＋cos2x－π22＝14.∴cos(2x－π2)＝－12，即sin2x＝－12.∴cos4x＝1－2sin22x＝12.12.3tan12°－34cos212°－2sin12°＝________.答案－43解析原式＝3sin12°cos12°－322cos212°－1sin12°＝2312sin12°－32cos12°cos12°2cos24°sin12°＝23sin－48°2cos24°sin12°cos12°＝－23sin48°sin24°cos24°＝－23sin48°12sin48°＝－43.13．若θ∈[0，π)且cosθ(sinθ＋cosθ)＝1，则θ＝________.答案0或π414．设α为第四象限的角，若sin3αsinα＝135，则tan2α＝________.答案－34解析sin3αsinα＝sin2α＋αsinα＝sin2αcosα＋cos2αsinαsinα＝135.∴2cos2α＋cos2α＝135，2cos2α－1＋cos2α＝85.∴cos2α＝45.∵2kπ－π2α2kπ，∴4kπ－π2α4kπ(k∈Z)．又∵cos2α＝450，∴2α为第四象限的角．sin2α＝－1－cos22α＝－35，∴tan2α＝－34.15．已知sinα＝cos2α，α∈(π2，π)，则tanα＝________.答案－33解析sinα＝1－2sin2α，∴2sin2α＋sinα－1＝0.∴(2sinα－1)(sinα＋1)＝0，∵α∈(π2，π)，∴2sinα－1＝0.∴sinα＝12，cosα＝－32.∴tanα＝－33.16．在△ABC中，tanA＋tanB＋3＝3tanA·tanB，且sinA·cosA＝34，则此三角形为________．答案等边三角形解析∵tanA＋tanB＋3＝3tanAtanB，∴tan(A＋B)＝－3，得A＋B＝120°.又由sinAcosA＝34，得sin2A＝32.∴A＝60°(A＝30°舍去)，∴△ABC为等边三角形．17．已知函数f(x)＝2cos(x－π12)，x∈R.(1)求f(－π6)的值；(2)若cosθ＝35，θ∈(3π2，2π)，求f(2θ＋π3)的值．答案(1)1(2)1725解析(1)f(－π6)＝2cos(－π6－π12)＝2cos(－π4)＝1.(2)∵cosθ＝35，且θ∈(3π2，2π)，∴sinθ＝－45.∴f(2θ＋π3)＝2cos(2θ＋π3－π12)＝2cos(2θ＋π4)＝cos2θ－sin2θ＝2cos2θ－1－2sinθcosθ＝1725.18．已知α∈π2，π，sinα＝55.(1)求sinπ4＋α的值；(2)求cos5π6－2α的值．答案(1)－1010(2)－4＋3310解析(1)因为α∈π2，π，sinα＝55，所以cosα＝－1－sin2α＝－255.故sinπ4＋α＝sinπ4cosα＋cosπ4sinα＝22×－255＋22×55＝－1010.(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2×55×(－255)＝－45，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×552＝35，所以cos5π6－2α＝cos5π6cos2α＋sin5π6sin2α＝－32×35＋12×－45，＝－4＋3310.1．已知0απ2，π2βπ且tanα2＝12，sin(α＋β)＝513.(1)分别求cosα与cosβ的值；(2)求tanα－β2的值．答案(1)cosα＝35cosβ＝－1665(2)－1123解析(1)cosα＝cos2α2－sin2α2＝cos2α2－sin2α2cos2α2＋sin2α2＝1－tan2α21＋tan2α2＝35，∵0＜α＜π2，∴sinα＝45.∵α＋β∈(π2，3π2)，sin(α＋β)＝513，∴cos(α＋β)＝－1213.∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝(－1213)·35＋513·45＝－1665.(2)∵2cos2β2－1＝cosβ＝－1665且β2∈(π4，π2)，∴cosβ2＝7130，∴sinβ2＝9130.∴tanβ2＝97.∴tanα－β2＝tanα2－tanβ21＋tanα2tanβ2＝－1123.2．已知3π4απ，tanα＋cotα＝－103.(1)求tanα的值；(2)求5sin2α2＋8sinα2cosα2＋11cos2α2－82sinα－π4的值．答案(1)－13(2)－54解析(1)∵tanα＋cotα＝－103，∴3tan2α＋10tanα＋3＝0.解得tanα＝－3或tanα＝－13.∵3π4απ，∴－1tanα0.∴tanα＝－13.(2)∵tanα＝－13，∴5sin2α2＋8sinα2cosα2＋11cos2α2－82sinα－π4＝5sin2α2＋cos2α2＋4sinα＋6·1＋cosα2－8sinα－cosα＝5＋4sinα＋3＋3cosα－8sinα－cosα＝4sinα＋3cosαsinα－cosα＝4tanα＋3tanα－1＝－54.