新课标版数学（理）高三总复习：题组层级快练30

题组层级快练(三十)1．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b；若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．2．设a是任一向量，e是单位向量，且a∥e，则下列表示形式中正确的是()A．e＝a|a|B．a＝|a|eC．a＝－|a|eD．a＝±|a|e答案D解析对于A，当a＝0时，a|a|没有意义，错误；对于B，C，D当a＝0时，选项B，C，D都对；当a≠0时，由a∥e可知，a与e同向或反向，选D.3．(2015·北京东城期中)已知ABCD为平行四边形，若向量AB→＝a，AC→＝b，则向量BD→为()A．a－bB．a＋bC．b－2aD．－a－b答案C4.如图所示，在正六边形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→＝()A．0B.BE→C.AD→D.CF→答案D解析由于BA→＝DE→，故BA→＋CD→＋EF→＝CD→＋DE→＋EF→＝CF→.5．(2015·广东惠州二中模拟)已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且OP→＝3OA→－OB→2，则()A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的反向延长线上C．点P在线段AB的延长线上D．点P不在直线AB上答案B解析OP→＝3OA→－OB→2＝32OA→－12OB→＝OA→＋12(OA→－OB→)＝OA→＋12BA→，即OP→－OA→＝AP→＝12BA→，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.6．在△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若CB→＝a，CA→＝b，|a|＝1，|b|＝2，则CD→＝()A.13a＋23bB.23a＋13bC.35a＋45bD.45a＋35b答案B解析由内角平分线定理，得|CA||CB|＝|AD||DB|＝2.∴CD→＝CA→＋AD→＝CA→＋23AB→＝CA→＋23(CB→－CA→)＝23CB→＋13CA→＝23a＋13b.故B正确．7．已知向量i与j不共线，且AB→＝i＋mj，AD→＝ni＋j，若A，B，D三点共线，则实数m，n应该满足的条件是()A．m＋n＝1B．m＋n＝－1C．mn＝1D．mn＝－1答案C解析由A，B，D共线可设AB→＝λAD→，于是有i＋mj＝λ(ni＋j)＝λni＋λj.又i，j不共线，因此λn＝1，λ＝m，即有mn＝1.8．O是平面上一定点，A，B，C是该平面上不共线的三个点，一动点P满足：OP→＝OA→＋λ(AB→＋AC→)，λ∈(0，＋∞)，则直线AP一定通过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心答案C解析取BC中点M.OP→＝OA→＋λ(AB→＋AC→)，OP→－OA→＝λ(AB→＋AC→)，AP→＝2λAD→.∴A，P，D三点共线，∴AP一定通过△ABC的重心，C正确．9．在四边形ABCD中，AB→＝a＋2b，BC→＝－4a－b，CD→＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是()A．矩形B．平行四边形C．梯形D．以上都不对答案C解析由已知AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC→.∴AD→∥BC→.又AB→与CD→不平行，∴四边形ABCD是梯形．10．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A，C)的充要条件是AP→＝λ(AB→＋AD→)，则λ的取值范围是()A．λ∈(0,1)B．λ∈(－1,0)C．λ∈(0，22)D．λ∈(－22，0)答案A解析如图所示，∵点P在对角线AC上(不包括端点A，C)，∴AP→＝λAC→＝λ(AB→＋AD→)．由AP→与AC→同向知，λ0.又|AP→||AC→|，∴|AP→||AC→|＝λ1，∴λ∈(0,1)．反之亦然．11．设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3→＝λA1A2→(λ∈R)，A1A4→＝μA1A2→(μ∈R)，且1λ＋1μ＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下列说法正确的是()A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上答案D解析若A成立，则λ＝12，而1μ＝0，不可能；同理B也不可能；若C成立，则0λ1，且0μ1，1λ＋1μ2，与已知矛盾；若C，D同时在线段AB的延长线上时，λ1，且μ1，1λ＋1μ2，与已知矛盾，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上，故D正确．12.如图所示，下列结论不正确的是________．①PQ→＝32a＋32b；②PT→＝－32a－32b；③PS→＝32a－12b；④PR→＝32a＋b.答案②④解析由a＋b＝23PQ→，知PQ→＝32a＋32b，①正确；由PT→＝32a－32b，从而②错误；PS→＝PT→＋b，故PS→＝32a－12b，③正确；PR→＝PT→＋2b＝32a＋12b，④错误．故正确的为①③.13.如图所示，已知∠B＝30°，∠AOB＝90°，点C在AB上，OC⊥AB，用OA→和OB→来表示向量OC→，则OC→等于________．答案34OA→＋14OB→解析OC→＝OA→＋AC→＝OA→＋14AB→＝OA→＋14(OB→－OA→)＝34OA→＋14OB→.14．设a和b是两个不共线的向量，若AB→＝2a＋kb，CB→＝a＋b，CD→＝2a－b，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于________．答案－4解析∵A，B，D三点共线，∴AB→∥BD→.∵AB→＝2a＋kb，BD→＝BC→＋CD→＝a－2b，∴k＝－4.故填－4.15．已知O为△ABC内一点，且OA→＋OC→＋2OB→＝0，则△AOC与△ABC的面积之比是________．答案1∶2解析如图所示，取AC中点D.∴OA→＋OC→＝2OD→.∴OD→＝BO→.∴O为BD中点，∴面积比为高之比．16．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2.问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？答案当λ＝－2μ时共线解析∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2.要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc.即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2.即2λ＋2μ＝2k，－3λ＋3μ＝－9k，得λ＝－2μ.故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．17．如图所示，已知点G是△ABO的重心．(1)求GA→＋GB→＋GO→；(2)若PQ过△ABO的重心G，且OA→＝a，OB→＝b，OP→＝ma，OQ→＝nb，求证：1m＋1n＝3.答案(1)GA→＋GB→＋GO→＝0(2)略解析(1)如图所示，延长OG交AB于M点，则M是AB的中点．∴GA→＋GB→＝2GM→.∵G是△ABO的重心，∴GO→＝－2GM→.∴GA→＋GB→＋GO→＝0.(2)∵M是AB边的中点，∴OM→＝12(OA→＋OB→)＝12(a＋b)．又∵G是△ABO的重心，∴OG→＝23OM→＝13(a＋b)．∴PG→＝OG→－OP→＝13(a＋b)－ma＝(13－m)a＋13b.而PQ→＝OQ→－OP→＝nb－ma，∵P，G，Q三点共线，∴有且只有一个实数λ，使得PG→＝λPQ→.∴(13－m)a＋13b＝λnb－λma.∴(13－m＋λm)a＋(13－λn)b＝0.∵a与b不共线，∴13－m＋λm＝0，13－λn＝0.消去λ，得1m＋1n＝3.