新课标版数学（理）高三总复习：题组层级快练31

题组层级快练(三十一)1．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且MP→＝12MN→，则P点的坐标为()A．(－8,1)B．(－1，－32)C．(1，32)D．(8，－1)答案B解析设P(x，y)，则MP→＝(x－3，y＋2)．而12MN→＝12(－8,1)＝(－4，12)，∴x－3＝－4，y＋2＝12.解得x＝－1，y＝－32.∴P(－1，－32)．故选B.2．已知点A(－1,1)，B(2，y)，向量a＝(1,2)，若AB→∥a，则实数y的值为()A．5B．6C．7D．8答案C解析AB→＝(3，y－1)，a＝(1,2)，AB→∥a，则2×3＝1×(y－1)，解得y＝7，故选C.3．(2015·广东惠州模拟)已知向量p＝(2，－3)，q＝(x,6)，且p∥q，则|p＋q|的值为()A.5B.13C．5D．13答案B解析由题意可得2×6＋3x＝0，∴x＝－4.∴|p＋q|＝|(2，－3)＋(－4,6)|＝|(－2,3)|＝13.故选B.4．(2015·唐山摸底考试)已知点A(6,2)，B(1,14)，则与AB→共线的单位向量为()A．(1213，－513)或(－1213，513)B．(513，－1213)C．(－513，1213)或(513，－1213)D．(－513，1213)答案C解析因为点A(6,2)，B(1,14)，所以AB→＝(－5,12)，|AB→|＝13.与AB→共线的单位向量为±AB→|AB→|＝±113(－5,12)＝±(－513，1213)．故选C.5．(2015·湖北襄樊一模)已知OA→＝(1，－3)，OB→＝(2，－1)，OC→＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是()A．k＝－2B．k＝12C．k＝1D．k＝－1答案C解析若点A，B，C不能构成三角形，则向量AB→与AC→共线.因为AB→＝OB→－OA→＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC→＝OC→－OA→＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)．所以1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1，故选C.6．在▱ABCD中，若AD→＝(3,7)，AB→＝(－2,3)，对角线交点为O，则CO→等于()A．(－12，5)B．(－12，－5)C．(12，－5)D．(12，5)答案B解析CO→＝－12AC→＝－12(AD→＋AB→)＝－12(1,10)＝(－12，－5)．7.如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)．设OP→＝mOP1→＋nOP2→，且点P落在第Ⅲ部分，则实数m，n满足()A．m0，n0B．m0，n0C．m0，n0D．m0，n0答案B解析由题意及平面向量基本定理易得在OP→＝mOP1→＋nOP2→中m0，n0，故选B.8．已知命题：“若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0”是真命题，则下面对a，b的判断正确的是()A．a与b一定共线B．a与b不一定共线C．a与b一定垂直D．a与b中至少有一个为0答案B解析由向量共线基本定理易知．9．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为()A．(1，－1)B．(－1,1)C．(－4,6)D．(4，－6)答案D解析由题知4a＝(4，－12)，3b－2a＝(－6,12)－(2，－6)＝(－8,18)，由4a＋(3b－2a)＋c＝0，知c＝(4，－6)，选D.10．(2014·陕西卷理改编)已知向量a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)，且a∥b，则tan(α－π4)等于()A．3B．－3C.13D．－13答案B解析∵a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)，且a∥b，∴sinαcosα＝1－2，∴tanα＝－12.∴tan(α－π4)＝tanα－11＋tanα＝－12－11－12＝－3.11．如图所示，A，B分别是射线OM，ON上的两点，且OA→＝12OM→，OB→＝14ON→，给出下列向量：①OA→＋2OB→；②12OA→＋13OB→；③34OA→＋13OB→；④34OA→＋15OB→；⑤34OA→－15OB→.这些向量中以O为起点，终点在阴影区域内的是()A．①②B．①④C．①③D．⑤答案C解析由向量的平行四边形法则利用尺规作图，可得：终点在阴影区域内的是①③.12．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝1，且∠B＝90°，∠BCD＝135°，记向量AB→＝a，AC→＝b，则AD→＝()A.2a－(1＋22)bB．－2a＋(1＋22)bC．－2a＋(1－22)bD.2a＋(1－22)b答案B解析根据题意可得△ABC为等腰直角三角形，由∠BCD＝135°，得∠ACD＝135°－45°＝90°.以B为原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，并作DE⊥y轴于点E，则△CDE也为等腰直角三角形．由CD＝1，得CE＝ED＝22，则A(1,0)，B(0,0)，C(0,1)，D(22，1＋22)，∴AB→＝(－1,0)，AC→＝(－1,1)，AD→＝(22－1,1＋22)．令AD→＝λAB→＋μAC→，则有－λ－μ＝22－1，μ＝1＋22，得λ＝－2，μ＝1＋22，∴AD→＝－2a＋(1＋22)b.13．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量OA→＝a，OB→＝b，其中a＝(3,1)，b＝(1,3)．若OC→＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1，则C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是()答案A解析由题意知OC→＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，取特殊值，λ＝0，μ＝0，知所求区域包含原点，取λ＝0，μ＝1，知所求区域包含(1,3)，从而选A.14．已知A(－3,0)，B(0，3)，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，OC→＝λOA→＋OB→，则实数λ的值为________．答案1解析由题意知OA→＝(－3,0)，OB→＝(0，3)，则OC→＝(－3λ，3)．由∠AOC＝30°知以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，∴tan150°＝3－3λ，即－33＝－33λ，∴λ＝1.15．若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于y轴，a＝(2，－1)，则b＝________.答案(－2,0)或(－2,2)解析设b＝(x，y)，则a＋b＝(x＋2，y－1)．∵|a＋b|＝1，∴(x＋2)2＋(y－1)2＝1.又∵a＋b平行于y轴，∴x＝－2，代入上式，得y＝0或2.∴b＝(－2,0)或b＝(－2,2)．16．已知|OA→|＝1，|OB→|＝3，OA→·OB→＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°.设OC→＝mOA→＋nOB→(m，n∈R)，则mn＝________.答案3解析方法一：如图所示，∵OA→·OB→＝0，∴OB→⊥OA→.不妨设|OC→|＝2，过C作CD→⊥OA→于D，CE→⊥OB→于E，则四边形ODCE是矩形．OC→＝OD→＋DC→＝OD→＋OE→.∵|OC→|＝2，∠COD＝30°，∴|DC→|＝1，|OD→|＝3.又∵|OB→|＝3，|OA→|＝1，故OD→＝3OA→，OE→＝33OB→.∴OC→＝3OA→＋33OB→，此时m＝3，n＝33.∴mn＝333＝3.方法二：由OA→·OB→＝0知△AOB为直角三角形，以OA，OB所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则可知OA→＝(1,0)，OB→＝(0，3)．又由OC→＝mOA→＋nOB→，可知OC→＝(m，3n)，故由tan30°＝3nm＝33，可知mn＝3.17．如果向量AB→＝i－2j，BC→＝i＋mj，其中，i，j分别为x轴，y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值，使A，B，C三点共线．答案m＝－2解析方法一：∵A，B，C三点共线，即AB→与BC→共线，∴存在实数λ，使得AB→＝λBC→，即i－2j＝λ(i＋mj)．∴λ＝1，λm＝－2，∴m＝－2.即m＝－2时，A，B，C三点共线．方法二：依题意知i＝(1,0)，j＝(0,1)，则AB→＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，BC→＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)．而AB→，BC→共线，∴1×m＋2×1＝0，∴m＝－2.故当m＝－2时，A，B，C三点共线．18．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE→＝13AC→，BF→＝13BC→.(1)求E，F的坐标；(2)求证：EF→∥AB→.答案(1)E(－13，23)，F(73，0)(2)略解析(1)设E，F两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则依题意，得AC→＝(2,2)，BC→＝(－2,3)，AB→＝(4，－1)．∴AE→＝13AC→＝(23，23)，BF→＝13BC→＝(－23，1)．∴AE→＝(x1，y1)－(－1,0)＝(23，23)，BF→＝(x2，y2)－(3，－1)＝(－23，1)．∴(x1，y1)＝(23，23)＋(－1,0)＝(－13，23)，(x2，y2)＝(－23，1)＋(3，－1)＝(73，0)．∴E的坐标为(－13，23)，F的坐标为(73，0)．(2)由(1)知(x1，y1)＝(－13，23)，(x2，y2)＝(73，0)．∴EF→＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(83，－23)．又4×(－23)－(－1)×83＝0，∴EF→∥AB→.19．(2015·山东莱芜一模)已知向量a＝(－3,2)，b＝(2,1)，c＝(3，－1)，t∈R.(1)求|a＋tb|的最小值及相应的t值；(2)若a－tb与c共线，求实数t的值．答案(1)t＝45时，最小值为755(2)35解析(1)∵a＝(－3,2)，b＝(2,1)，c＝(3，－1)，∴a＋tb＝(－3,2)＋t(2,1)＝(－3＋2t,2＋t)．∴|a＋tb|＝－3＋2t2＋2＋t2＝5t2－8t＋13＝5t－452＋495≥495＝755，当且仅当t＝45时取等号，即|a＋tb|的最小值为755，此时t＝45.(2)∵a－tb＝(－3,2)－t(2,1)＝(－3－2t,2－t)，又a－tb与c共线，c＝(3，－1)，∴(－3－2t)×(－1)－(2－t)×3＝0.解得t＝35.1.已知c＝ma＋nb，设a，b，c有共同起点，a，b不共线，要使a，b，c，终点在一直线l上，则m，n满足()A．m＋n＝1B．m＋n＝0C．m－n＝1D．m＋n＝－1答案A解析∵AC→＝λAB→，∴c－a＝λ(b－a)．∴ma＋nb－a＝λb－λa.∴(m－1＋λ)a＋(n－λ)b＝0.∴m－1＋λ＝0，n－λ＝0⇒m＋n＝1.2．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向答案D解析∵c∥d，∴(ka＋b)∥(a－b)，∴存在λ0使ka＋b＝λ(a－b)，∴k＝λ，1＝－λ⇒k＝－1，λ＝－1.∴c＝－a＋b，∴c与d反向．3．设向量a，b满足|a|＝25，b＝(2,1)，则“a＝(4,2)”是“a∥b”成立的是()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析若a＝(4,2)，则|a|＝25，且a∥b都成立；因a∥b，设a＝λb＝(2λ，λ)，由|a|＝25，得4λ2＋λ2＝20.∴λ2＝4，∴λ＝±2.∴a＝(4,2)或a＝(－4，－2)．因此“a＝(4,2)”是“a∥b”成立的充分不必要条件．4．在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量OP→绕点O按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ→，则点Q的坐标是()A．(－72，－2)B．(－72，2)C．(－46，－2)D．(－46，2)答案A解析设OP→与x轴正半轴的夹角为θ，则cosθ＝35，sinθ＝45，则由三角函数定义，可得OQ→＝(|OP→|co