新课标版数学（理）高三总复习：题组层级快练32

题组层级快练(三十二)1．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是()A．|a|＝a·aB．|a·b|＝|a||b|C．λ(a·b)＝λa·bD．|a·b|≤|a||b|答案B解析|a·b|＝|a||b||cosθ|，故B错误．2．已知向量a与b的夹角为π3，|a|＝2，则a在b方向上的投影为()A.3B.2C.22D.32答案C解析∵a在b方向上的投影为|a|·cos〈a，b〉＝2cosπ3＝22.选C.3．(2014·山东文)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为π6，则实数m＝()A．23B.3C．0D．－3答案B解析根据平面向量的夹角公式可得1×3＋3m2×9＋m2＝32，即3＋3m＝3×9＋m2，两边平方并化简得63m＝18，解得m＝3，经检验符合题意．4．(2014·重庆理)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝()A．－92B．0C．3D.152答案C解析因为2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3，选C.5．若|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角θ＝150°，则a·(a－b)＝()A．1B．－1C．7D．－7答案C解析a·(a－b)＝a2－a·b＝4－2×3×(－32)＝7.故选C.6．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，(a＋b)·b＝32，则向量a，b的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C解析∵(a＋b)·b＝b2＋a·b＝1＋a·b＝32，∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝12，cos〈a，b〉＝12，〈a，b〉＝60°.故选C.7．已知向量a＝(1,2)，a·b＝5，|a－b|＝25，则|b|等于()A.5B．25C．5D．25答案C解析由a＝(1,2)，可得a2＝|a|2＝12＋22＝5.∵|a－b|＝25，∴a2－2a·b＋b2＝20.∴5－2×5＋b2＝20.∴b2＝25.∴|b|＝5，故选C.8．已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：()p1：|a＋b|1⇔θ∈[0，2π3)；p2：|a＋b|1⇔θ∈(2π3，π]；p3：|a－b|1⇔θ∈[0，π3)；p4：|a－b|1⇔θ∈(π3，π]．其中的真命题是()A．p1，p4B．p1，p3C．p2，p3D．p2，p4答案A解析|a＋b|1⇔(a＋b)21，而(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝2＋2cosθ1，∴cosθ－12，解得θ∈[0，2π3)，同理，由|a－b|1⇔(a－b)21，可得θ∈(π3，π]．9．已知向量a，b是非零向量，且满足a·b＝－|b|，则“|a|＝1”是“向量a与b反向”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－|b|，∴|a|cos〈a，b〉＝－1.若|a|＝1，则cos〈a，b〉＝－1，∴〈a，b〉＝π，∴a与b反向．若a与b反向，则cos〈a，b〉＝－1，∴|a|＝1.10．如图所示，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，则下列向量的数量积中最大的是()A.P1P2→·P1P3→B.P1P2→·P1P4→C.P1P2→·P1P5→D.P1P2→·P1P6→答案A解析由于P1P2→⊥P1P5→，故其数量积是0，可排除C；P1P2→与P1P6→的夹角为23π，故其数量积小于0，可排除D；设正六边形的边长是a，则P1P2→·P1P3→＝|P1P2→||P1P3→|cos30°＝32a2，P1P2→·P1P4→＝|P1P2→||P1P4→|cos60°＝a2.故选A.11．(2014·陕西文)设0θπ2，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(1，－cosθ)，若a·b＝0，则tanθ＝________.答案12解析利用向量的数量积列出关于θ的三角等式并利用倍角公式、同角三角函数的基本关系式变形求解．因为a·b＝0，所以sin2θ－cos2θ＝0,2sinθcosθ＝cos2θ.因为0θπ2，所以cosθ0，得2sinθ＝cosθ，tanθ＝12.12．若向量OA→＝(1，－3)，|OA→|＝|OB→|，OA→·OB→＝0，则|AB→|＝________.答案25解析方法一：设OB→＝(x，y)，由|OA→|＝|OB→|，知x2＋y2＝10.又OA→·OB→＝x－3y＝0，所以x＝3，y＝1，或x＝－3，y＝－1.当x＝3，y＝1时，|AB→|＝25；当x＝－3，y＝－1时，|AB→|＝25，则|AB→|＝25.方法二：由几何意义知，|AB→|就是以OA→，OB→为邻边的正方形的对角线长，所以|AB→|＝25.13．(2015·济南模拟)已知在△ABC中，向量AB→与BC→的夹角为π6，|AC→|＝2，则|AB→|的取值范围是________．答案(0,2)解析由向量AB→与BC→的夹角为π6，可得B＝5π6.在△ABC中，由正弦定理，可知|AC|sinB＝|AB|sinC，所以|AB|＝|AC|sinCsinB＝2sinCsin5π6＝4sinC.因为B＝5π6，所以C∈(0，π6)，所以sinC∈(0，12)，因此|AB→|的取值范围为(0,2)．14．(2014·新课标全国Ⅰ理)已知A，B，C为圆O上的三点，若AO→＝12(AB→＋AC→)，则AB→与AC→的夹角为________．答案90°解析∵AO→＝12(AB→＋AC→)，∴点O是△ABC中边BC的中点．∴BC为直径，根据圆的几何性质有〈AB→，AC→〉＝90°.15．(2013·江西理)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为π3，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的投影为________．答案52解析向量a在b方向上的投影为|a|·cos〈a，b〉＝a·b|b|，又a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e21＋6e1·e2＝2＋6×12＝5，|b|＝|2e1|＝2，∴|a|·cos〈a，b〉＝52.16．若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值是________．答案－98解析由|2a－b|≤3可知，4a2＋b2－4a·b≤9，所以4a2＋b2≤9＋4a·b.而4a2＋b2＝|2a|2＋|b|2≥2|2a|·|b|≥－4a·b，所以a·b≥－98，当且仅当2a＝－b时取等号．17．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE→·CB→的值为________；DE→·DC→的最大值为________．答案1,1解析以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．则D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)．设E(1，a)(0≤a≤1)，所以DE→·CB→＝(1，a)·(1,0)＝1，DE→·DC→＝(1，a)·(0,1)＝a≤1.故DE→·DC→的最大值为1.18．设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为π3，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．答案(－7，－142)∪(－142，－12)解析由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，得2te1＋7e2·e1＋te2|2te1＋7e2||e1＋te2|0，即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)0，化简即得2t2＋15t＋70，解得－7t－12.当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)0，但此时夹角不是钝角．设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ0，可求得2t＝λ，7＝λt，λ0，∴λ＝－14，t＝－142.∴所求实数t的范围是(－7，－142)∪(－142，－12)．19．(2015·浙江余杭高中期中)已知向量m＝(1,1)，向量n与向量m的夹角为34π，且m·n＝－1.(1)求向量n；(2)若向量n与向量q＝(1,0)的夹角为π2，向量p＝(2sinA,4cos2A2)，求|2n＋p|的值．答案(1)n＝(－1,0)或n＝(0，－1)(2)2解析(1)设n＝(x，y)，由m·n＝－1，有x＋y＝－1.①∵m·n＝|m|·|n|cos34π＝－1，∴|n|＝1，则x2＋y2＝1.②由①②得x＝－1，y＝0或x＝0，y＝－1.即n＝(－1,0)或n＝(0，－1)．(2)由n与q垂直，得n＝(0，－1)．∴2n＋p＝(2sinA,4cos2A2－2)＝(2sinA,2cosA)．∴|2n＋p|＝4sin2A＋4cos2A＝2.1．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．答案[π6，5π6]解析由题意，得|α||β|sinθ＝12，∵|α|＝1，|β|≤1，∴sinθ＝12|β|≥12.又∵θ∈[0，π]，∴θ∈[π6，5π6]．故填[π6，5π6]．2．在正三角形ABC中，D是BC上的点，若AB＝3，BD＝1，则AB→·CD→＝________.答案152解析如图所示，AB→·AD→＝AB→·(AB→＋BD→)＝9＋3×cos120°＝152，故填152.3．(2013·福建)在四边形ABCD中，AC→＝(1,2)，BD→＝(－4,2)，则该四边形的面积为()A.5B．25C．5D．10答案C解析AC→·BD→＝(1,2)·(－4,2)＝0，故AC→⊥BD→.故四边形ABCD的对角线互相垂直，面积S＝12·|AC→|·|BD→|＝12×5×25＝5，选C.4．(2014·大纲全国理)若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝()A．2B.2C．1D.22答案B解析利用向量的运算列式求解．由题意知a＋b·a＝0，2a＋b·b＝0，即a2＋b·a＝0，①2a·b＋b2＝0，②将①×2－②，得2a2－b2＝0.∴b2＝|b|2＝2a2＝2|a|2＝2，故|b|＝2.5．(2015·海淀区期末)设向量a＝(1,0)，b＝(12，12)，则下列结论中正确的是()A．|a|＝|b|B．a·b＝22C．a∥bD．a－b与b垂直答案D