教辅-高三数学考点复习：直线与圆锥曲线综合问题

考点十六直线与圆锥曲线综合问题1A卷PARTONE解析由题意，得焦点F(c,0)到渐近线bx＋ay＝0的距离为d＝|bc＋0|a2＋b2＝bcc＝b＝2，又ca＝3，c2＝a2＋b2，解得c＝3，所以该双曲线的焦距为2c＝23，故选B.一、选择题1．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为3，右焦点到一条渐近线的距离为2，则此双曲线的焦距等于()A.3B．23C．3D．6答案解析2．已知圆O：x2＋y2＝4，从圆上任意一点P向y轴作垂线段PP1(P1在y轴上)，点M在直线PP1上，且向量P1M→＝2P1P→，则动点M的轨迹方程是()A．4x2＋16y2＝1B．16x2＋4y2＝1C.x24＋y216＝1D．x216＋y24＝1答案解析由题意可知P是MP1的中点，设点M(x，y)，P(x0，y0)，P1(0，y0)，则x0＝12x，y0＝y.又x20＋y20＝4，故x22＋y2＝4，即x216＋y24＝1.故选D.解析3．(2020·天津高考)设双曲线C的方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为()A.x24－y24＝1B．x2－y24＝1C.x24－y2＝1D．x2－y2＝1答案解析由题意可知，抛物线的焦点为(1,0)，所以直线l的斜率为－b，又双曲线的渐近线的方程为y＝±bax，所以－b＝－ba，－b×ba＝－1.因为a＞0，b＞0，所以a＝1，b＝1.故选D.解析4．(2020·山东潍坊高密二模)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为()A.x245＋y236＝1B．x245＋y227＝1C.x227＋y218＝1D．x218＋y29＝1答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，两式相减并化简得－b2a2＝y1＋y2x1＋x2·y1－y2x1－x2，即－b2a2＝－11×0－－13－1＝－12⇒b2a2＝12⇒a2＝2b2，由于a2＝b2＋c2且c＝3，由此可解得a2＝18，b2＝9，故椭圆E的方程为x218＋y29＝1.故选D.解析5．(2020·山东临沂二模、枣庄三调)已知F是抛物线y2＝2px(p0)的焦点，过F的直线与抛物线交于A，B两点，AB的中点为C，过C作抛物线准线的垂线交准线于C1，若CC1的中点为M(1,4)，则p＝()A．4B．8C．42D．82答案解析因为CC1的中点为M(1,4)，所以yA＋yB＝8，xC－p2＝1×2，所以xC＝2＋p2，因为xA＋xB＋p＝2xC＋p2，所以xA＋xB＝4＋p，设直线AB的方程为x＝my＋p2，代入抛物线的方程，得y2－2pmy－p2＝0，所以yA＋yB＝2pm，xA＋xB＝m(yA＋yB)＋p＝8m＋p，所以8＝2pm，8m＋p＝4＋p，解得p＝8，m＝12，故选B.解析6．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：4x－3y＝0与椭圆C相交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝6，点P到直线l的距离不小于65，则椭圆C的离心率的取值范围是()A.0，59B．0，32C.0，53D．13，32答案解析如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AF′BF是平行四边形，可得6＝|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝2a，得a＝3，取P(0，b)，由点P到直线l的距离不小于65，可得|－3b|－32＋42≥65，解得|b|≥2.所以e＝ca＝1－b2a2≤1－49＝53，故选C.解析7．(多选)(2020·山东泰安二轮复习质量检测)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线方程为x－2y＝0，双曲线的左焦点在直线x＋y＋5＝0上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上位于第一象限的动点，PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2的取值可能为()A.34B．1C．43D．2答案解析根据题意知ba＝12，c＝5，故a＝2，b＝1，双曲线方程为x24－y2＝1，则A(－2,0)，B(2,0)，设P(x0，y0)，则x204－y20＝1，x00，y00，k1＋k2＝y0x0＋2＋y0x0－2＝2x0y0x20－4＝x02y0，根据渐近线方程知0y0x012，故k1＋k2＝x02y01.故选CD.解析8．(多选)(2020·海南中学高三第七次月考)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F、准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，点P在l上的射影为P1，则()A．若x1＋x2＝6，则|PQ|＝8B．以PQ为直径的圆与准线l相切C．设M(0,1)，则|PM|＋|PP1|≥2D．过点M(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条答案解析对于A，因为p＝2，所以x1＋x2＋2＝|PQ|，则|PQ|＝8，故A正确；对于B，设N为PQ的中点，点N在l上的射影为N1，点Q在l上的射影为Q1，则由梯形性质可得|NN1|＝|PP1|＋|QQ1|2＝|PF|＋|QF|2＝|PQ|2，故B正确；对于C，因为F(1,0)，所以|PM|＋|PP1|＝|PM|＋|PF|≥|MF|＝2，故C正确；对于D，显然直线x＝0，y＝1与抛物线只有一个公共点，设过M的直线为y＝kx＋1，联立y＝kx＋1，y2＝4x，可得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，令Δ＝0，则k＝1，所以直线y＝x＋1与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D错误．故选ABC.解析答案－12二、填空题9．(2020·湖南湘潭高三下学期三模)若直线2x＋4y＋m＝0经过抛物线y＝2x2的焦点，则m＝________.解析抛物线方程y＝2x2可化为x2＝12y，故该抛物线的焦点坐标为0，18.由题意可得2×0＋4×18＋m＝0，故m＝－12.答案解析解析由题意可知F(c,0)，把y＝2b代入双曲线方程可得x＝±5a，不妨设B(－5a,2b)，C(5a,2b)，因为∠BFC＝90°，所以kBF·kCF＝－1，即2b－5a－c·2b5a－c＝－1，化简，得4b2＝5a2－c2，因为b2＝c2－a2，所以c2a2＝95，所以离心率e＝ca＝35＝355.答案35510．(2020·辽宁沈阳三模)在平面直角坐标系xOy中，F是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点，直线y＝2b与双曲线交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该双曲线的离心率为________．答案解析11．(2020·山东枣庄二调)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线3x－y＋43＝0过点F1且与C在第二象限的交点为P，若∠POF1＝60°(O为原点)，则F2的坐标为________，C的离心率为________．(4,0)3－1解析直线3x－y＋43＝0与x轴交点为(－4,0)，即F1(－4,0)，c＝4，∴F2(4,0)，又直线3x－y＋43＝0的斜率为3，倾斜角为60°，而∠POF1＝60°，∴△POF1是等边三角形，∴P(－2,23)，∴4a2＋12b2＝1，a2－b2＝c2＝16，解得a＝2＋23，b2＝83，∴离心率为e＝ca＝423＋1＝3－1.解析答案212．(2020·湖南师大附中摸底考试)点M是抛物线C：x2＝2py(p0)的对称轴与准线的交点，点F为抛物线C的焦点，点P在抛物线C上．在△FPM中，sin∠PFM＝λsin∠PMF，则λ的最大值为________．答案解析如图，过点P作准线的垂线，垂足为B，则由抛物线的定义可得|PF|＝|PB|，由sin∠PFM＝λsin∠PMF，在△PFM中由正弦定理可知|PM|＝λ|PF|，所以|PM|＝λ|PB|，所以1λ＝|PB||PM|，设PM的倾斜角为α，则sinα＝1λ，当λ取得最大值时，sinα最小，此时直线PM与抛物线相切，设直线PM的方程为y＝kx－p2，则x2＝2py，y＝kx－p2，即x2－2pkx＋p2＝0，所以Δ＝4p2k2－4p2＝0，所以k＝±1，即tanα＝±1，则sinα＝22，则λ的最大值为1sinα＝2.解析三、解答题13．(2020·全国卷Ⅰ)已知A，B分别为椭圆E：x2a2＋y2＝1(a1)的左、右顶点，G为E的上顶点，AG→·GB→＝8，P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点．解(1)依据题意作出如下图象：由椭圆方程E：x2a2＋y2＝1(a＞1)可得A(－a,0)，B(a，0)，G(0,1)，∴AG→＝(a,1)，GB→＝(a，－1)．∴AG→·GB→＝a2－1＝8，∴a2＝9.∴椭圆E的方程为x29＋y2＝1.解析(2)证明：由(1)，得A(－3,0)，B(3,0)，设P(6，y0)，则直线AP的方程为y＝y0－06－－3(x＋3)，即y＝y09(x＋3)，直线BP的方程为y＝y0－06－3(x－3)，即y＝y03(x－3)．联立直线AP的方程与椭圆的方程可得x29＋y2＝1，y＝y09x＋3，整理，得(y20＋9)x2＋6y20x＋9y20－81＝0，解得x＝－3或x＝－3y20＋27y20＋9.解析将x＝－3y20＋27y20＋9代入y＝y09(x＋3)可得y＝6y0y20＋9，∴点C的坐标为－3y20＋27y20＋9，6y0y20＋9.同理可得，点D的坐标为3y20－3y20＋1，－2y0y20＋1.∴直线CD的方程为y－－2y0y20＋1＝6y0y20＋9－－2y0y20＋1－3y20＋27y20＋9－3y20－3y20＋1x－3y20－3y20＋1，解析整理可得y＋2y0y20＋1＝4y033－y20x－3y20－3y20＋1，y＝4y033－y20x－3y20－3y20＋1－2y0y20＋1＝4y033－y20x－32.故直线CD过定点32，0.解析14．(2020·山东莱西一中、高密一中、枣庄三中模拟)已知动圆与y轴相切于点M(0,2)，过点E(0，－1)，F(0，1)分别作动圆异于y轴的两切线，设两切线相交于Q，点Q的轨迹为曲线Ω.(1)求曲线Ω的轨迹方程；(2)过(2,0)的直线l与曲线Ω相交于不同两点A，B，若曲线Ω上存在点P，使得λOP→＝OA→＋OB→成立，求实数λ的范围．解(1)设过点E，F与动圆相切的切点分别为C，D，则|QC|＝|QD|，|FD|＝|FM|，|EC|＝|EM|，故|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QD|＋|DF|＝|QE|＋|QC|＋|FM|＝|CE|＋|FM|＝|EM|＋|FM|，由E，F，M的坐标可知|EM|＝3，|FM|＝1，∴|QE|＋|QF|＝4|EF|，由椭圆的定义可知，点Q是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆(不包括长轴端点)．设曲线Ω的方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0，x≠0)，解析则a＝2，c＝1，∴b2＝3，故曲线Ω的轨迹方程为y24＋x23＝1(x≠0)．(2)由题可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－2)(k≠±1)，由y24＋x23＝1，y＝kx－2，消去y得(3k2＋4)x2－12k2x＋12(k2－1)＝0，Δ＝144k4－48(3k2＋4)(k2－1)0，∴0≤k2