新课标版数学（理）高三总复习：题组层级快练38

题组层级快练(三十八)1．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为()A．15B．16C．49D．64答案A解析a1＝S1＝1，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1(n≥2)．a8＝2×8－1＝15.故选A.2．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n，则a2013等于()A．2013×2014B．2012×2013C．2011×2012D．2013×2013答案B解析累加法易知选B.3．已知数列{xn}满足x1＝1，x2＝23，且1xn－1＋1xn＋1＝2xn(n≥2)，则xn等于()A．(23)n－1B．(23)nC.n＋12D.2n＋1答案D解析由关系式易知1xn为首项为1x1＝1，d＝12的等差数列，1xn＝n＋12，所以xn＝2n＋1.4．已知数列{an}中a1＝1，an＝12an－1＋1(n≥2)，则an＝()A．2－(12)n－1B．(12)n－1－2C．2－2n－1D．2n－1答案A解析设an＋c＝12(an－1＋c)，易得c＝－2，所以an－2＝(a1－2)(12)n－1＝－(12)n－1，所以选A.5．若数列{an}的前n项和为Sn＝32an－3，则这个数列的通项公式an＝()A．2(n2＋n＋1)B．2·3nC．3·2nD．3n＋1答案B解析an＝Sn－Sn－1，可知选B.6．(2015·衡水调研)运行如图的程序框图，则输出的结果是()A．2014B．2013C.12014D.12013答案D解析如果把第n个a值记作an，第1次运行后得到a2＝a1a1＋1，第2次运行后得到a3＝a2a2＋1，…，第n次运行后得到an＋1＝anan＋1，则这个程序框图的功能是计算数列{an}的第2013项．将an＋1＝anan＋1变形为1an＋1＝1an＋1，故数列{1an}是首项为1，公差为1的等差数列，故1an＝n，即an＝1n，所以输出结果是12013.故选D.7．在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋1nn＋1，则通项公式an＝________.答案4－1n解析原递推式可化为an＋1＝an＋1n－1n＋1，则a2＝a1＋11－12，a3＝a2＋12－13，a4＝a3＋13－14，…，an＝an－1＋1n－1－1n.逐项相加，得an＝a1＋1－1n.故an＝4－1n.8．已知数列{an}的首项a1＝12，其前n项和Sn＝n2an(n≥1)，则数列{an}的通项公式为________．答案an＝1nn＋1解析由a1＝12，Sn＝n2an，①∴Sn－1＝(n－1)2an－1.②①－②，得an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，即an＝n2an－(n－1)2an－1，亦即anan－1＝n－1n＋1(n≥2)．∴ana1＝anan－1·an－1an－2·…·a3a2·a2a1＝n－1n＋1·n－2n·n－3n－1·…·24·13＝2nn＋1.∴an＝1nn＋1.9．在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，有an＝3an－1＋2，则an＝________.答案2·3n－1－1解析设an＋t＝3(an－1＋t)，则an＝3an－1＋2t.∴t＝1，于是an＋1＝3(an－1＋1)．∴{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以3为公比的等比数列．∴an＝2·3n－1－1.10．在数列{an}中，a1＝2，an＝2an－1＋2n＋1(n≥2)，则an＝________.答案(2n－1)·2n解析∵a1＝2，an＝2an－1＋2n＋1(n≥2)，∴an2n＝an－12n－1＋2.令bn＝an2n，则bn－bn－1＝2(n≥2)，b1＝1.∴bn＝1＋(n－1)·2＝2n－1，则an＝(2n－1)·2n.11．若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝________.答案2nn－12解析由于an＋1an＝2n，故a2a1＝21，a3a2＝22，…，anan－1＝2n－1，将这n－1个等式叠乘，得ana1＝21＋2＋…＋(n－1)＝2nn－12，故an＝2nn－12.12．已知{an}满足a1＝1，且an＋1＝an3an＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．答案an＝13n－2解析由已知，可得当n≥1时，an＋1＝an3an＋1.两边取倒数，得1an＋1＝3an＋1an＝1an＋3.即1an＋1－1an＝3，所以{1an}是一个首项为1a1＝1，公差为3的等差数列．则其通项公式为1an＝1a1＋(n－1)×d＝1＋(n－1)×3＝3n－2.所以数列{an}的通项公式为an＝13n－2.13．如下图，它满足：①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行(n≥2)第2个数是________.答案n2－n＋22解析设第n行的第2个数为an，不难得出规律an＋1＝an＋n，累加得an＝a2＋2＋3＋…＋(n－1)＝n2－n＋22.14．数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝a，Sn＋1＝2Sn＋n＋1，n∈N*，求数列{an}的通项公式．答案an＝a，a＋3·2n－2－1，n＝1，n≥2解析由Sn＋1＝2Sn＋n＋1，①得Sn＝2Sn－1＋(n－1)＋1(n≥2)．②①－②，得Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋n－(n－1)．故an＋1＝2an＋1.(n≥2)又an＋1＋1＝2(an＋1)，所以an＋1＋1an＋1＝2(n≥2)．故数列{an＋1}是从第2项起，以a2＋1为首项，公比为2的等比数列．又S2＝2S1＋1＋1，a1＝a，所以a2＝a＋2.故an＝(a＋3)·2n－2－1(n≥2)．又a1＝a不满足an＝(a＋3)·2n－2－1，所以an＝a，a＋3·2n－2－1，n＝1，n≥2.15．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n(n＋1)(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：an＝b13＋1＋b232＋1＋b333＋1＋…＋bn3n＋1，求数列{bn}的通项公式．答案(1)an＝2n(2)bn＝2(3n＋1)解析(1)当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，知a1＝2满足该式，∴数列{an}的通项公式为an＝2n.(2)∵an＝b13＋1＋b232＋1＋b333＋1＋…＋bn3n＋1(n≥1)，①∴an＋1＝b13＋1＋b232＋1＋b333＋1＋…＋bn3n＋1＋bn＋13n＋1＋1.②②－①，得bn＋13n＋1＋1＝an＋1－an＝2，bn＋1＝2(3n＋1＋1)．故bn＝2(3n＋1)(n∈N*)．