新课标版数学（理）高三总复习：题组层级快练48

题组层级快练(四十八)1．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n－112764(n∈N*)成立，其初始值至少应取()A．7B．8C．9D．10答案B解析1＋12＋14＋…＋12n－1＝1－12n1－1212764，整理得2n128，解得n7.∴初始值至少应取8.2．设f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于()A.13n＋2B.13n＋13n＋1C.13n＋1＋13n＋2D.13n＋13n＋1＋13n＋2答案D3．若数列{an}的通项公式an＝1n＋12，记cn＝2(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试通过计算c1，c2，c3的值，推测cn＝__________.答案n＋2n＋1解析c1＝2(1－a1)＝2×(1－14)＝32，c2＝2(1－a1)(1－a2)＝2×(1－14)×(1－19)＝43，c3＝2(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝2×(1－14)×(1－19)×(1－116)＝54，故由归纳推理得cn＝n＋2n＋1.4．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：(Sn－1)2＝anSn.(1)求S1，S2，S3；(2)猜想Sn的表达式并证明．答案(1)S1＝12，S2＝23，S3＝34(2)Sn＝nn＋1，证明略解析(1)由(S1－1)2＝S21，得S1＝12；由(S2－1)2＝(S2－S1)S2，得S2＝23；由(S3－1)2＝(S3－S2)S3，得S3＝34.(2)猜想：Sn＝nn＋1.证明：①当n＝1时，显然成立；②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，Sk＝kk＋1成立．则当n＝k＋1时，由(Sk＋1－1)2＝ak＋1Sk＋1，得Sk＋1＝12－Sk＝12－kk＋1＝k＋1k＋2.从而n＝k＋1时，猜想也成立．综合①②得结论成立．5．已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a0＝1，an＋1＝12an·(4－an)，(n∈N)．证明：anan＋12，(n∈N)．证明略证明方法一：用数学归纳法证明：(1)当n＝0时，a0＝1，a1＝12a0(4－a0)＝32，所以a0a12，命题正确．(2)假设n＝k时命题成立，即ak－1ak2.则当n＝k＋1时，ak－ak＋1＝12ak－1(4－ak－1)－12ak(4－ak)＝2(ak－1－ak)－12(ak－1－ak)(ak－1＋ak)＝12(ak－1－ak)(4－ak－1－ak)．而ak－1－ak0,4－ak－1－ak0，所以ak－ak＋10.又ak＋1＝12ak(4－ak)＝12[4－(ak－2)2]2.所以n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N时有anan＋12.方法二：用数学归纳法证明：(1)当n＝0时，a0＝1，a1＝12a0(4－a0)＝32，所以0a0a12.(2)假设n＝k时有ak－1ak2成立，令f(x)＝12x(4－x)，f(x)在[0,2]上单调递增，所以由假设有f(ak－1)f(ak)f(2)．即12ak－1(4－ak－1)12ak(4－ak)12×2×(4－2)．也即当n＝k＋1时，akak＋12成立．所以对一切n∈N，有akak＋12.6．(2014·安徽理选编)设整数p1，n∈N*.证明：当x－1且x≠0时，(1＋x)p1＋px.答案略证明用数学归纳法证明，①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x21＋2x，原不等式成立．②假设当p＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k1＋kx成立．则当p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k(1＋x)·(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx21＋(k＋1)x.所以当p＝k＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x－1，x≠0时，对一切整数p1，不等式(1＋x)p1＋px均成立．7．(2014·陕西理选编)设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N*，求gn(x)的表达式．答案gn(x)＝x1＋nx解析由题设，得g(x)＝x1＋x(x≥0)．由已知，g1(x)＝x1＋x，g2(x)＝g(g1(x))＝x1＋x1＋x1＋x＝x1＋2x，g3(x)＝x1＋3x，…，可得gn(x)＝x1＋nx.下面用数学归纳法证明．①当n＝1时，g1(x)＝x1＋x，结论成立．②假设n＝k时结论成立，即gk(x)＝x1＋kx.那么，当n＝k＋1时，gk＋1(x)＝g(gk(x))＝gkx1＋gkx＝x1＋kx1＋x1＋kx＝x1＋k＋1x，即结论成立．由①②可知，结论对n∈N*成立．8．(2015·衡水调研)首项为正数的数列{an}满足an＋1＝14(a2n＋3)，n∈N*.(1)证明：若a1为奇数，则对一切n≥2，an都是奇数；(2)若对一切n∈N*都有an＋1an，求a1的取值范围．答案(1)略(2)0a11或a13解析(1)证明：已知a1是奇数，假设ak＝2m－1是奇数，其中m为正整数，则由递推关系，得ak＋1＝a2k＋34＝m(m－1)＋1是奇数．根据数学归纳法，可知对任何n∈N*，an都是奇数．(2)方法一：由an＋1－an＝14(an－1)(an－3)，知当且仅当an1或an3时，an＋1an.另一方面，若0ak1，则0ak＋11＋34＝1；若ak3，则ak＋132＋34＝3.根据数学归纳法，可知∀n∈N*,0a11⇔0an1；∀n∈N*，a13⇔an3.综上所述，对一切n∈N*都有an＋1an的充要条件是0a11或a13.方法二：由a2＝a21＋34a1，得a21－4a1＋30.于是0a11或a13.an＋1－an＝a2n＋34－a2n－1＋34＝an＋an－1an－an－14.因为a10，an＋1＝a2n＋34，所以对任意n∈N*，an均大于0.因此an＋1－an与an－an－1同号．根据数学归纳法，可知∀n∈N*，an＋1－an与a2－a1同号．因此，对于一切n∈N*都有an＋1an的充要条件是0a11或a13.