新课标版数学（理）高三总复习：题组层级快练56

题组层级快练(五十六)(第一次作业)1．(2015·合肥一检)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．90°答案B解析连接A1D，DC1，A1C1，∵E，F为A1D，A1C1中点，∴EF∥C1D.∴EF和CD所成角即为∠C1DC＝45°.2．(2015·济宁模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB的中点，则sin〈DB1→，CM→〉的值等于()A.12B.21015C.23D.1115答案B解析分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建系，令AD＝1，∴DB1→＝(1,1,1)，CM→＝(1，－12，0)．∴cos〈DB1→，CM→〉＝1－123·52＝1515.∴sin〈DB→，CM→〉＝21015.3.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()A．45°B．60°C．90°D．120°答案B解析以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系．设AB＝BC＝AA1＝2，∴C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)．∴EF→＝(0，－1,1)，BC1→＝(2,0,2)．∴EF→·BC1→＝2，记EF→，BC1→所成角为θ.∴cosθ＝22×22＝12.∴EF和BC1所成角为60°.4．(2015·沧州七校联考)已知正三棱柱ABC－A1B1C1所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为()A.12B.32C.35D.45答案D解析取AC中点E，令AB＝2，分别以EB，EC，ED为x，y，z轴建立空间直角坐标系．B1(3，0,2)，C(0,1,0)，A(0，－1,0)，D(0,0,2)，DB1→＝(3，0,0)，DC→＝(0,1，－2)，DA→＝(0，－1，－2)，平面B1DC法向量为n＝(0,2,1)，∴cos〈DA→，n〉＝－45.∴AD与面B1DC所成的角正弦值为45.5．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为()A.32B.52C.105D.1010答案C解析连接A1C1交B1D1于O点，由已知条件得C1O⊥B1D1，且平面BDD1B1⊥平面A1B1C1D1，所以C1O⊥平面BDD1B1.连接BO，则BO为BC1在平面BDD1B1上的射影，∠C1BO即为所求，OC1＝12A1C1＝12AC＝22，BC1＝42＋22＝25.计算得sin∠C1BO＝OC1BC1＝105.6．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案B解析以A点为坐标原点，AP，AB，AD分别为x，y，z轴建系且设AB＝1，∴C(1,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．∴设面CDP的法向量为n＝(x，y，z)．∴n·CD→＝x，y，z·－1，0，0＝－x＝0，n·DP→＝x，y，z·0，－1，1＝－y＋z＝0.令y＝1，∴n＝(0,1,1)．又∵AD→为面ABP的一个法向量，∴cos〈n，AD→〉＝n·AD→|n||AD→|＝12＝22.∴二面角为45°.7．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是()A.63B.33C.23D.13答案B解析以正三棱锥O－ABC的顶点O为原点，OA，OB，OC为x，y，z轴建系(图略)，设侧棱长为1，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)．侧面OAB的法向量为OC→＝(0,0,1)，底面ABC的法向量为n＝(13，13，13)．∴cos〈OC→，n〉＝OC→·n|OC→|·|n|＝131·132＋132＋132＝33.8．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，若E，F分别是BC，DD1的中点，则B1到平面ABF的距离为()A.33B.55C.53D.255答案D解析方法一：由VB1－ABF＝VF－ABB1可得解．方法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,1)，B1(1,1,0)．设F(0,0，12)，E(12，1,1)，B(1,1,1)，AB→＝(0,1,0)．∴B1E→＝(－12，0,1)，AF→＝(－1,0，－12)．∵AF→·B1E→＝(－1,0，－12)·(－12，0,1)＝0，∴AF→⊥B1E→.又AB→⊥B1E→，∴B1E→⊥平面ABF.平面ABF的法向量为B1E→＝(－12，0,1)，AB1→＝(0,1，－1)．B1到平面ABF的距离为AB1→·B1E→|B1E→|＝255.9.如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈DP→，AE→〉＝33，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________．答案(1,1,1)解析连接AC，BD交于O，连接OE，cos〈DP→，AE→〉＝33，∴cos∠AEO＝33.又∵OA＝2，∴OE＝1，∴E为(1,1,1)．10．如图所示，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD＝2BC，EA⊥EB.(1)求证：AB⊥DE；(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值．答案(1)略(2)33解析(1)证明：取AB的中点O，连接EO，DO.因为EB＝EA，所以EO⊥AB.因为四边形ABCD为直角梯形，AB＝2CD＝2BC，AB⊥BC，所以四边形OBCD为正方形，所以AB⊥OD.所以AB⊥平面EOD.因为ED⊂平面EOD，所以AB⊥ED.(2)方法一：因为平面ABE⊥平面ABCD，且AB⊥BC，所以BC⊥平面ABE.则∠CEB即为直线EC与平面ABE所成的角．设BC＝a，则AB＝2a，BE＝2a，所以CE＝3a.则在直角三角形CBE中，sin∠CEB＝CBCE＝13＝33，即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为33.方法二：因为平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，所以EO⊥平面ABCD，所以EO⊥OD.由OB，OD，OE两两垂直可建立如图所示的空间直角坐标系．因为三角形EAB为等腰直角三角形，所以OA＝OB＝OD＝OE.设OB＝1，则O(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，E(0,0,1)．所以EC→＝(1,1，－1)，平面ABE的一个法向量为OD→＝(0,1,0)．设直线EC与平面ABE所成的角为θ，所以sinθ＝|cos〈EC→，OD→〉|＝|EC→·OD→||EC→||OD→|＝33.即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为33.11．(2015·河南内黄一中摸底)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC.(1)求证：AC⊥BB1；(2)若AB＝AC＝A1B＝2，在棱B1C1上确定一点P，使二面角P－AB－A1的平面角的余弦值为255.答案(1)略(2)P为棱B1C1的中点时满足题意解析(1)证明：在三棱柱ABC－A1B1C1中，因为A1B⊥平面ABC，A1B⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面ABC.因为平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，AB⊥AC，所以AC⊥平面ABB1A1，所以AC⊥BB1.(2)如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系A－xyz，则C(2,0,0)，B(0,2,0)，A1(0,2,2)，B1(0,4,2)，B1C1→＝BC→＝(2，－2,0)．设B1P→＝λB1C1→＝(2λ，－2λ，0)，λ∈[0,1]，则P(2λ，4－2λ，2)．设平面PAB的一个法向量为n1＝(x，y，z)，因为AP→＝(2λ，4－2λ，2)，AB→＝(0,2,0)，所以n1·AP→＝0，n1·AB→＝0，即2λx＋4－2λy＋2z＝0，2y＝0.所以z＝－λx，y＝0.令x＝1，得n1＝(1,0，－λ)．而平面ABA1的一个法向量是n2＝(1,0,0)，所以|cos〈n1，n2〉|＝|n1·n2||n1||n2|＝11＋λ2＝255，解得λ＝12，即P为棱B1C1的中点．12.(2014·福建理)在平面四边形ABCD中．AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图所示．(1)求证：AB⊥CD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．答案(1)略(2)63解析(1)∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD，如图所示．由(1)知AB⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD.以B为坐标原点，分别以BE→，BD→，BA→的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意，得B(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A(0,0,1)，M0，12，12，则BC→＝(1,1,0)，BM→＝0，12，12，AD→＝(0,1，－1)．设平面MBC的法向量n＝(x0，y0，z0)，则n·BC→＝0，n·BM→＝0，即x0＋y0＝0，12y0＋12z0＝0，取z0＝1，得平面MBC的一个法向量n＝(1，－1,1)．设直线AD与平面MBC所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n，AD→〉|＝|n·AD→||n|·|AD→|＝63，即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为63.13．(2014·陕西理)四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.(1)证明：四边形EFGH是矩形；(2)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．答案(1)略(2)105解析(1)由该四面体的三视图可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1.由题设，BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG.∴四边形EFGH是平行四边形．又∵AD⊥DC，AD⊥BD，∴AD⊥平面BDC.∴AD⊥BC，∴EF⊥FG.∴四边形EFGH是矩形．(2)方法一：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，DA→＝(0,0,1)，BC→＝(－2,2,0)，BA→＝(－2,0,1)．设平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)，∵EF∥AD，FG∥BC，∴n·DA→＝0，n·BC→＝0.∴z＝0，－2x＋2y＝0，取n＝(1,1,0)．∴sinθ＝|cos〈BA→，n〉|＝BA→·n|BA→||n|＝25×2＝105.方法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)．∵E是AB的中点，∴F，G分别为BD，DC的中点，得E1，0，12，F(1,0,0)，G(0,1,0)．∴FE→＝0，0，12，FG→＝(－1,1,0).BA→＝(－2,0,1)．设平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)，则n·FE→＝0，n·FG→＝0，得12z＝0，－x＋y＝0，取n＝(1,1,0)，∴sinθ＝|cos〈BA→，n〉|＝BA→·n|BA→||n|＝25×2＝105.