新课标版数学（理）高三总复习：题组层级快练54

题组层级快练(五十四)1．已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝OA→＋OB→＋OC→，向量b＝OA→＋OB→－OC→，则与a，b不能构成空间基底的向量是()A.OA→B.OB→C.OC→D.OA→或OB→答案C解析根据题意得OC→＝12(a－b)，∴OC→，a，b共面．2．有4个命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；③若MP→＝xMA→＋yMB→，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则MP→＝xMA→＋yMB→.其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4答案B解析①正确，②中若a，b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb就不成立．③正确．④中若M，A，B共线，点P不在此直线上，则MP→＝xMA→＋yMB→不正确．3．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长|AB|＝34，则B点坐标为()A．(18,17，－17)B．(－14，－19,17)C．(6，72，1)D．(－2，－112，13)答案A解析设B点坐标为(x，y，z)，则AB→＝λa(λ0)，即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12)．由|AB→|＝34，即λ264＋λ281＋λ2144＝34，得λ＝2.∴x＝18，y＝17，z＝－17.4．已知G是△ABC的重心，O是空间与G不重合的任一点，若OA→＋OB→＋OC→＝λOG→，则λ等于()A．1B．3C.13D．2答案B解析若设BC边的中点为M，则OA→＋OB→＋OC→＝OA→＋2OM→＝OG→＋GA→＋2OM→＝OG→＋2MG→＋2OM→＝3OG→，而OA→＋OB→＋OC→＝λOG→，所以λ＝3.5．对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且有OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(x，y，z∈R)，则x＝2，y＝－3，z＝2是P，A，B，C四点共面的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案B解析当x＝2，y＝－3，z＝2时，即OP→＝2OA→－3OB→＋2OC→，则AP→－AO→＝2OA→－3(AB→－AO→)＋2(AC→－AO→)，即AP→＝－3AB→＋2AC→，根据共面向量定理，知P，A，B，C四点共面；反之，当P，A，B，C四点共面时，根据共面向量定理AP→＝mAB→＋nAC→，即OP→－OA→＝m(OB→－OA→)＋n(OC→－OA→)，即OP→＝(1－m－n)OA→＋mOB→＋nOC→，即x＝1－m－n，y＝m，z＝n，这组数显然不止2，－3,2.故是充分不必要条件．故选B.6．已知向量a＝(8，12x，x)，b＝(x,1,2)，其中x0.若a∥b，则x的值为()A．8B．4C．2D．3答案B解析方法一：因x＝8,2,3时都不满足a∥b.而x＝4时，a＝(8,2,4)＝2(4,1,2)＝2b，∴a∥b.方法二：a∥b⇔存在λ0使a＝λb⇔(8，x2，x)＝(λx，λ，2λ)⇔λx＝8，x2＝λ，x＝2λ⇔λ＝2，x＝4.∴选B.7．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且cos〈a，b〉＝89，则λ＝()A．2B．－2C．－2或255D．2或－255答案C解析由已知cos〈a，b〉＝a·b|a||b|，所以89＝2－λ＋45＋λ2·9，解得λ＝－2或λ＝255.8．已知四边形ABCD满足AB→·BC→0，BC→·CD→0，CD→·DA→0，DA→·AB→0，则该四边形为()A．平行四边形B．梯形C．平面四边形D．空间四边形答案D解析由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边形的外角和都是360°，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形．9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF是异面直线AC与A1D的公垂线，则EF与BD1所成的角是()A．90°B．60°C．30°D．0°答案D解析如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz，设正方体的棱长为a，则A1(a,0，a)，D(0,0,0)，A(a,0,0)，C(0，a,0)，B(a，a,0)，D1(0,0，a)，∴DA1→＝(a,0，a)，AC→＝(－a，a,0)，BD1→＝(－a，－a，a)．∵EF是直线AC与A1D的公垂线，∴EF→⊥DA1→，EF→⊥AC→.设EF→＝(x，y，z)，∴EF→·DA1→＝(x，y，z)·(a,0，a)＝ax＋az＝0.∴EF→·AC→＝(x，y，z)·(－a，a,0)＝－ax＋ay＝0.∵a≠0，∴x＝y＝－z.∴EF→＝(x，x，－x)，∴BD1→＝－axEF→.∴BD1→∥EF→，即BD1∥EF.10．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝19，则向量a与b的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．以上都不对答案C解析∵a＋b＝－c，∴a2＋b2＋2a·b＝c2.又∵|a|＝2，|b|＝3，|c|＝19，∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3.∴cos〈a，b〉＝12，∴〈a，b〉＝60°.11．已知两个非零向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，它们平行的充要条件是()A.a|a|＝b|b|B．a1·b1＝a2·b2＝a3·b3C．a1·b1＋a2·b2＋a3·b3＝0D．存在非零实数k，使a＝kb答案D解析应选D，首先排除B，C项表示a⊥b，A项表示与a，b分别平行的单位向量，但两向量方向相反也叫平行．12.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，则异面直线OE与FD1所成角的余弦值为()A.105B.155C.45D.23答案B解析∵OE→＝12AC1→＝12(AB→＋AD→＋AA1→)，FD1→＝12AD→＋AA1→，∴OE→·FD1→＝12(AB→＋AD→＋AA1→)·(12AD→＋AA1→)＝12(12AB→·AD→＋AB→·AA1→＋12AD→2＋AD→·AA1→＋12AA1→·AD→＋AA1→2)＝12(2＋4)＝3.而|OE→|＝1222＋22＋22＝3，|FD1→|＝5，∴cos〈OE→，FD1→〉＝315＝155.故选B.13．(2015·云南昆明一模)一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形，若该几何体的四个顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(0,0,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2,0)，则第五个顶点的坐标为()A．(1,1,1)B．(1,1，2)C．(1,1，3)D．(2,2，3)答案C14.如图所示，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．答案(1)略(2)1010解析(1)设CA→＝a，CB→＝b，CC′→＝c，根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0，∴CE→＝b＋12c，A′D→＝－c＋12b－12a.∴CE→·A′D→＝－12c2＋12b2＝0.∴CE⊥A′D.(2)易知AC′→＝－a＋c，∴|AC′→|＝2|a|，|CE→|＝52|a|.AC′→·CE→＝(－a＋c)·(b＋12c)＝12c2＝12|a|2.∴cos〈AC′→，CE→〉＝12|a|22·52|a|2＝1010.∴异面直线CE与AC′所成角的余弦值为1010.15．设向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，计算2a＋3b,3a－2b，a·b以及a与b所成角的余弦值，并确定λ，μ的关系，使λa＋μb与z轴垂直．答案λ＝2μ解析∵2a＋3b＝2(3,5，－4)＋3(2,1,8)＝(12,13,16)，3a－2b＝3(3,5，－4)－2(2,1,8)＝(5,13，－28)，a·b＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝3×2＋5×1－4×8＝－21，|a|＝32＋52＋－42＝50，|b|＝22＋12＋82＝69，∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－2150·69＝－7138230.∵(λa＋μb)·(0,0,1)＝(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1)＝－4λ＋8μ＝0，∴只要λ，μ满足λ＝2μ即可使λa＋μb与z轴垂直．16．已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.(1)求线段AC1的长；(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；(3)证明：AA1⊥BD.答案(1)2(2)417(3)略解析(1)如图所示，设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则|a|＝|b|＝1，|c|＝2.a·b＝0，a·c＝b·c＝2×1×cos120°＝－1.∵AC1→＝AB→＋BC→＋CC1→＝a＋b＋c，∴|AC1→|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋1＋22－2－2＝2.∴|AC1→|＝2.即AC1长为2.(2)∵AC1→＝a＋b＋c，A1D→＝b－c，∴AC1→·A1D→＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－b·c＋b·c－c2＝1＋12－22＝－2.又|A1D→|2＝(b－c)2＝b2＋c2－2b·c＝1＋4＋2＝7，∴|A1D→|＝7.∴cos〈AC1→，A1D→〉＝AC1→·A1D→|AC1→|·|A1D→|＝－22×7＝－147.∴异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为147.(3)∵AA1→＝c，BD→＝b－a，∴AA1→·BD→＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝－1－(－1)＝0.∴AA1→⊥BD→，即AA1⊥BD.(2015·上海奉贤二模)已知长方体ABCD－A1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0的是()A.AD1→·B1C→B.BD1→·AC→C.AB→·AD1→D.BD1→·BC→答案D解析当侧面BCC1B1是正方形时可得AD1→·B1C→＝0，所以排除A.当底面ABCD是正方形时AC垂直于对角面BD1，所以排除B，显然也排除C.由题图可得BD1与BC所成的角小于90°.故选D.