新课标版数学（理）高三总复习：题组层级快练59

题组层级快练(五十九)1．若l1：x＋(1＋m)y＋(m－2)＝0，l2：mx＋2y＋6＝0平行，则实数m的值是()A．m＝1或m＝－2B．m＝1C．m＝－2D．m的值不存在答案A解析方法一：据已知若m＝0，易知两直线不平行，若m≠0，则有1m＝1＋m2≠m－26⇒m＝1或m＝－2.方法二：由1×2＝(1＋m)m，得m＝－2或m＝1.当m＝－2时，l1：x－y－4＝0，l2：－2x＋2y＋6＝0，平行．当m＝1时，l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y＋6＝0，平行．2．若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为()A．－12B．－2C．0D．10答案A解析由2m－20＝0，得m＝10.由垂足(1，p)在直线mx＋4y－2＝0上，得10＋4p－2＝0.∴p＝－2.又垂足(1，－2)在直线2x－5y＋n＝0上，则解得n＝－12.3．对任意实数a，直线y＝ax－3a＋2所经过的定点是()A．(2,3)B．(3,2)C．(－2,3)D．(3，－2)答案B解析直线y＝ax－3a＋2变为a(x－3)＋(2－y)＝0.又a∈R，∴x－3＝0，2－y＝0，解得x＝3，y＝2，得定点为(3,2)．4．点A(1,1)到直线xcosθ＋ysinθ－2＝0的距离的最大值是()A．2B．2－2C．2＋2D．4答案C解析由点到直线的距离公式，得d＝|cosθ＋sinθ－2|cos2θ＋sin2θ＝2－2sin(θ＋π4)，又θ∈R，∴dmax＝2＋2.5．直线y＝2x＋1关于点(1,1)对称的直线方程是()A．y＝2x－1B．y＝－2x＋1C．y＝－2x＋3D．y＝2x－3答案D解析在直线y＝2x＋1上任取两个点A(0,1)，B(1,3)，则点A关于点(1,1)对称的点为M(2,1)，点B关于点(1,1)对称的点为N(1，－1)．由两点式求出对称直线MN的方程为y＋11＋1＝x－12－1，即y＝2x－3，故选D.6．已知直线l的倾斜角为3π4，直线l1经过点A(3,2)，B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b＝()A．－4B．－2C．0D．2答案B解析l的斜率为－1，则l1的斜率为1，kAB＝2－－13－a＝1，∴a＝0.由l1∥l2，得－2b＝1，b＝－2.∴a＋b＝－2.7．光线沿直线y＝2x＋1射到直线y＝x上，被y＝x反射后的光线所在的直线方程为()A．y＝12x－1B．y＝12x－12C．y＝12x＋12D．y＝12x＋1答案B解析由y＝2x＋1，y＝x，得x＝－1，y＝－1，即直线过(－1，－1)．又直线y＝2x＋1上一点(0,1)关于直线y＝x对称的点(1,0)在所求直线上，∴所求直线方程为y－0－1－0＝x－1－1－1，即y＝x2－12.8．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A．4x－y－3＝0B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝0答案A解析令y′＝4x3＝4，得x＝1，∴切点为(1,1)，l的斜率为4.故l的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.9．(2015·贵州六校联盟第二次联考)数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，若其欧拉线的方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标是()A．(－4,0)B．(0，－4)C．(4,0)D．(4,0)或(－4,0)答案A解析当顶点C的坐标是(－4,0)时，三角形重心坐标为(－23，43)，在欧拉线上，对于其他选项，三角形重心都不在欧拉线上．选A.10．设a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线sinA·x＋ay＋c＝0与bx－sinB·y＋sinC＝0的位置关系是()A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直答案C解析由正弦定理，得asinA＝bsinB.∵两直线的斜率分别为k1＝－sinAa，k2＝bsinB，∴k1·k2＝－sinAa·bsinB＝－1，∴两直线垂直．11．下面给出的四个点中，到直线x－y＋1＝0的距离为22，且位于x＋y－10，x－y＋10表示的平面区域内的点是()A．(1,1)B．(－1,1)C．(－1，－1)D．(1，－1)答案C解析验证法，A，B两选项不能满足线性约束条件x＋y－10，x－y＋10；C选项表示的点满足到直线x－y＋1＝0的距离为22；而D选项中点到直线x－y＋1＝0的距离为322，故排除A，B，D，选C.12．若直线xa＋yb＝1通过点M(cosα，sinα)，则()A．a2＋b2≤1B．a2＋b2≥1C.1a2＋1b2≤1D.1a2＋1b2≥1答案D解析直线xa＋yb＝1通过点M(cosα，sinα)，我们知道点M在单位圆上，此问题可转化为直线xa＋yb＝1和圆x2＋y2＝1有公共点，圆心坐标为(0,0)，由点到直线的距离公式有|－1|1a2＋1b2≤1⇒1a2＋1b2≥1，故选D.13．点P(－1,3)到直线l：y＝k(x－2)的距离的最大值等于________．答案32解析P(－1,3)到直线l：y＝k(x－2)的距离为d＝3|k＋1|1＋k2＝31＋2kk2＋1，由于2kk2＋1≤1，所以d≤32，即距离的最大值等于32.14.如图所示，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是________．答案210解析由题意，求出P关于直线x＋y＝4及y轴的对称点分别为P1(4,2)，P2(－2,0)，由物理知识知，光线所经路程即为|P1P2|＝210.15．若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.答案345解析由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是3＋n2＝2×7＋m2－3，n－3m－7＝－12，解得m＝35，n＝315，故m＋n＝345.16．设一直线l经过点(－1,1)，此直线被两平行直线l1：x＋2y－1＝0和l2：x＋2y－3＝0所截得线段的中点在直线x－y－1＝0上，求直线l的方程．答案2x＋7y－5＝0解析方法一：设直线x－y－1＝0与l1，l2的交点为C(xC，yC)，D(xD，yD)，则x＋2y－1＝0，x－y－1＝0⇒xC＝1，yC＝0，∴C(1,0)．x＋2y－3＝0，x－y－1＝0⇒xD＝53，yD＝23，∴D(53，23)．则C，D的中点M为(43，13)．又l过点(－1,1)，由两点式得l的方程为y－131－13＝x－43－1－43，即2x＋7y－5＝0为所求方程．方法二：∵与l1，l2平行且与它们的距离相等的直线方程为x＋2y＋－1－32＝0，即x＋2y－2＝0.由x＋2y－2＝0，x－y－1＝0，得M(43，13)．(以下同方法一)方法三：过中点且与两直线平行的直线方程为x＋2y－2＝0，设所求方程为(x－y－1)＋λ(x＋2y－2)＝0，∵(－1,1)在此直线上，∴－1－1－1＋λ(－1＋2－2)＝0，∴λ＝－3，代入所设得2x＋7y－5＝0.方法四：设所求直线与两平行线l1，l2的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋2y1－1＝0，x2＋2y2－3＝0⇒(x1＋x2)＋2(y1＋y2)－4＝0.又A，B的中点在直线x－y－1＝0上，∴x1＋x22－y1＋y22－1＝0.解得x1＋x22＝43，y1＋y22＝13.(以下同方法一)17.如图所示，函数f(x)＝x＋2x的定义域为(0，＋∞)．设点P是函数图像上任一点，过点P分别作直线y＝x和y轴的垂线，垂足分别为M，N.(1)证明：|PM|·|PN|为定值；(2)O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．答案(1)略(2)1＋2解析(1)设P(x0，x0＋2x0)(x00)，则|PN|＝x0，|PM|＝|2x0|2＝1x0，因此|PM|·|PN|＝1，即|PM|·|PN|为定值．(2)直线PM的方程为y－x0－2x0＝－(x－x0)，即y＝－x＋2x0＋2x0，解方程组y＝x，y＝－x＋2x0＋2x0，得x＝y＝x0＋12x0.连接OP，S四边形OMPN＝S△NPO＋S△OPM＝12|PN||ON|＋12|PM||OM|＝12x0(x0＋2x0)＋12·1x0·2(x0＋12x0)＝2＋12(x20＋1x20)≥1＋2，当且仅当x0＝1x0，即x0＝1时等号成立，因此四边形OPMN面积的最小值为1＋2.1．与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线的方程为________．答案5x－12y＋32＝0和5x－12y－20＝0解析设所求直线的方程为5x－12y＋c＝0.在直线l：5x－12y＋6＝0上取一点P0(0，12)，则点P0到直线l：5x－12y＋c＝0的距离为d＝|－12×12＋c|52＋－122＝|c－6|13，由题意，得|c－6|13＝2，解得c＝32或c＝－20.所以，所求直线的方程为5x－12y＋32＝0和5x－12y－20＝0.2．(2014·南通一模)在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，－1)，B(－3，－4)两点，若点C在∠AOB的平分线上，且|OC→|＝10，则点C的坐标是________．答案(－1，－3)解析设C(a，b)(a0，b0)．OB所在直线方程为4x－3y＝0，则|4a－3b|5＝|a|，a2＋b2＝10，解得a＝－1，b＝－3.∴C(－1，－3)．3．在△ABC中，BC边上的高所在直线l1的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在的直线l2的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A，C的坐标．答案A(－1,0)，C(5，－6)解析如图，设C(x0，y0)，由题意知l1∩l2＝A，则x－2y＋1＝0，y＝0⇒x＝－1，y＝0.即A(－1,0)．又∵l1⊥BC，∴kBC·kl1＝－1.∴kBC＝－1kl1＝－112＝－2.∴由点斜式可得BC的直线方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.又∵l2：y＝0(x轴)是∠A的平分线，∴B关于l2的对称点B′在直线AC上，易得B′点的坐标为(1，－2)，由两点式可得直线AC的方程为x＋y＋1＝0.由C(x0，y0)在直线AC和BC上，可得x0＋y0＋1＝0，2x0＋y0－4＝0⇒x0＝5，y0＝－6.4．(2014·福建文)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是()A．x＋y－2＝0B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0D．x－y＋3＝0答案D解析依题意，得直线l过点(0,3)，斜率为1，所以直线l的方程为y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.5．正方形的中心为C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．解析点C到直线x＋3y－5＝0的距离d＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离d＝|－1＋m|1＋9＝3105，解得m＝－5(舍去)或m＝7.所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0.设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，则点C到直线3x－y＋n＝0的距离d＝|－3＋n|1＋9＝3105，解得n＝－3或n＝9.所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.