新课标版数学（理）高三总复习：题组层级快练60

题组层级快练(六十)1．以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，半径为2的圆的方程为()A．x2＋y2－2x－1＝0B．x2＋y2－2x－3＝0C．x2＋y2＋2x－1＝0D．x2＋y2＋2x－3＝0答案B解析∵抛物线y2＝4x的焦点是(1,0)，∴圆的标准方程是(x－1)2＋y2＝4，展开得x2＋y2－2x－3＝0.2．若圆(x＋3)2＋(y－1)2＝1关于直线l：mx＋4y－1＝0对称，则直线l的斜率为()A．4B．－4C.14D．－14答案D解析依题意，得直线mx＋4y－1＝0经过点(－3,1)，所以－3m＋4－1＝0.所以m＝1.故直线l的斜率为－14.3．过点P(0,1)与圆x2＋y2－2x－3＝0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是()A．x＝0B．y＝1C．x＋y－1＝0D．x－y＋1＝0答案C解析依题意得所求直线是经过点P(0,1)及圆心(1,0)的直线，因此所求直线方程是x＋y＝1，即x＋y－1＝0，选C.4．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4答案C解析设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.∵圆心C在直线x＋y－2＝0上，∴b＝2－a.∵|CA|2＝|CB|2，∴(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2.∴a＝1，b＝1.∴r＝2.∴方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.5．(2015·四川成都外国语学校)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1D．(x－2)2＋(y－2)2＝1答案B解析C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1,1)，它关于直线x－y－1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.6．(2015·山东青岛一模)若过点P(1，3)作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A和B，则弦长|AB|＝()A.3B．2C.2D．4答案A解析如图所示，∵PA，PB分别为圆O：x2＋y2＝1的切线，∴OA⊥AP.∵P(1，3)，O(0,0)，∴|OP|＝1＋3＝2.又∵|OA|＝1，∴在Rt△APO中，cos∠AOP＝12.∴∠AOP＝60°，∴|AB|＝2|AO|sin∠AOP＝3.7．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．52B．102C．152D．202答案B解析圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10，则圆心(1,3)，半径r＝10，由题意知AC⊥BD，且|AC|＝210，|BD|＝210－5＝25，所以四边形ABCD的面积为S＝12|AC|·|BD|＝12×210×25＝102.8．已知点P在圆x2＋y2＝5上，点Q(0，－1)，则线段PQ的中点的轨迹方程是()A．x2＋y2－x＝0B．x2＋y2＋y－1＝0C．x2＋y2－y－2＝0D．x2＋y2－x＋y＝0答案B解析设P(x0，y0)，PQ中点的坐标为(x，y)，则x0＝2x，y0＝2y＋1，代入圆的方程即得所求的方程是4x2＋(2y＋1)2＝5，化简，得x2＋y2＋y－1＝0.9．已知两点A(0，－3)，B(4,0)，若点P是圆x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP面积的最小值为()A．6B.112C．8D.212答案B解析如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，连接BP，AP，这时△ABP的面积最小．直线AB的方程为x4＋y－3＝1，即3x－4y－12＝0，圆心C到直线AB的距离为d＝|3×0－4×1－12|32＋－42＝165，∴△ABP的面积的最小值为12×5×(165－1)＝112.10．在平面直角坐标系中，若动点M(x，y)满足条件x－y＋2≥0，x＋y－2≤0，y－1≥0，动点Q在曲线(x－1)2＋y2＝12上，则|MQ|的最小值为()A.2B.322C．1－22D.5－12答案C解析作出平面区域，由图形可知|MQ|的最小值为1－22.11．以直线3x－4y＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为________．答案(x＋2)2＋(y－32)2＝254解析对于直线3x－4y＋12＝0，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝－4.即以两点(0,3)，(－4,0)为端点的线段为直径，则r＝32＋422＝52，圆心为(－42，32)，即(－2，32)．∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－32)2＝254.12．从原点O向圆C：x2＋y2－6x＋274＝0作两条切线，切点分别为P，Q，则圆C上两切点P，Q间的劣弧长为________．答案π解析如图，圆C：(x－3)2＋y2＝94，所以圆心C(3,0)，半径r＝32.在Rt△POC中，∠POC＝π6.则劣弧PQ所对圆心角为2π3.弧长为23π×32＝π.13．设圆C同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y＝x上；③截y轴所得的弦长为4，则圆C的方程是________．答案(x＋2)2＋(y＋2)2＝8或(x－2)2＋(y－2)2＝8解析由题意可设圆心A(a，a)，如图，则22＋22＝2a2，解得a＝±2，r2＝2a2＝8.所以圆C的方程是(x＋2)2＋(y＋2)2＝8或(x－2)2＋(y－2)2＝8.14．一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为27，求此圆的方程．答案x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0解析方法一：∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，且与y轴相切，∴设所求圆的圆心为C(3a，a)，半径为r＝3|a|.又圆在直线y＝x上截得的弦长为27，圆心C(3a，a)到直线y＝x的距离为d＝|3a－a|12＋12.∴有d2＋(7)2＝r2.即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.方法二：设所求的圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为|a－b|2.∴r2＝(|a－b|2)2＋(7)2.即2r2＝(a－b)2＋14.①由于所求的圆与y轴相切，∴r2＝a2.②又因为所求圆心在直线x－3y＝0上，∴a－3b＝0.③联立①②③，解得a＝3，b＝1，r2＝9或a＝－3，b＝－1，r2＝9.故所求的圆的方程是(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.方法三：设所求的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心为(－D2，－E2)，半径为12D2＋E2－4F.令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.由圆与y轴相切，得Δ＝0，即E2＝4F.④又圆心(－D2，－E2)到直线x－y＝0的距离为|－D2＋E2|2，由已知，得|－D2＋E2|22＋(7)2＝r2，即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)．⑤又圆心(－D2，－E2)在直线x－3y＝0上，∴D－3E＝0.⑥联立④⑤⑥，解得D＝－6，E＝－2，F＝1或D＝6，E＝2，F＝1.故所求圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.15．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝410.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．答案(1)x＋y－3＝0(2)(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40解析(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)，∴直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0.①又直径|CD|＝410，∴|PA|＝210.∴(a＋1)2＋b2＝40.由①②解得a＝－3，b＝6或a＝5，b＝－2.∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)．∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.16．已知实数x，y满足x2＋y2－2y＝0.(1)求2x＋y的取值范围；(2)若x＋y＋c≥0恒成立，求实数c的取值范围．答案(1)1－5≤2x＋y≤1＋5(2)c≥2－1解析(1)方法一：圆x2＋(y－1)2＝1的参数方程为x＝cosθ，y＝1＋sinθ，∴2x＋y＝2cosθ＋sinθ＋1.∵－5≤2cosθ＋sinθ≤5，∴1－5≤2x＋y≤5＋1.方法二：2x＋y可看作直线y＝－2x＋b在y轴的截距，当直线与圆相切时b取最值，此时|2×0＋1－b|5＝1.∴b＝1±5，∴1－5≤2x＋y≤1＋5.(2)∵x＋y＝cosθ＋1＋sinθ＝2sin(θ＋π4)＋1，∴x＋y＋c的最小值为1－2＋c.∴x＋y＋c≥0恒成立等价于1－2＋c≥0.∴c的取值范围为c≥2－1.1．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()A．x＋y－1＝0B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0D．x－y＋3＝0答案C解析因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.2．设A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)，若线段AD是△ABC外接圆的直径，则点D的坐标是()A．(－8,6)B．(8，－6)C．(4，－6)D．(4，－3)答案B解析线段AB的垂直平分线x＋y－1＝0与线段AC的垂直平分线2x＋y－5＝0的交点即圆心(4，－3)，直径为10，易得点D的坐标为(8，－6)．3．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴相切，则该圆的标准方程是()A．(x－3)2＋(y－73)2＝1B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．(x－32)2＋(y－1)2＝1答案B解析设圆心为(a,1)，由已知得d＝|4a－3|5＝1，∴a＝2(舍－12)．4．圆心在抛物线x2＝2y(x0)上，并且与抛物线的准线及y轴均相切的圆的方程是()A．x2＋y2－x－2y－14＝0B．x2＋y2＋x－2y＋1＝0C．x2＋y2－x－2y＋1＝0D．x2＋y2－2x－y＋14＝0答案D解析∵圆心在抛物线上，∴设圆心(a，a22)．∴圆的方程为(x－a)2＋(y－a22)2＝r2.∴x2＋y2－2ax－a2y＋a2＋a44－r2＝0.对比A，B，C，D项，仅D项x，y前系数符合条件．5．若方程16－x2－x－m＝0有实数解，则实数m的取值范围为()A．－42≤m≤42B．－4≤m≤42C．－4≤m≤4D．4≤m≤42答案B解析由题意知方程16－x2＝x＋m有实数解，分别作出y＝16－x2与y＝x＋m的图像，若两图像有交点，需－4≤m≤42.6．若直线l：4x－3y－12＝0与x，y轴的交点分别为A，B，O为坐标原点，则△AOB内切圆的方程为________．答案(x－1)2＋(y＋1)2＝1解析由题意知，A(3,0)，B(0，－4)，则|AB|＝5.∴△AOB的内切圆半径r＝3＋4－52＝1，内切圆的圆心坐标为(1，－1)．∴内切圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1.7．已知圆C的方程为x2＋y2－mx－2my＝0(m≠0)，以下关于这个圆的叙述中，所有正确命题的序号是________．①圆C必定经过坐标原点；②圆C的圆心不可能在第二象限或第四象限；③y轴被圆C所截得的弦长为2m；④直线y＝x与y轴的夹角的平分线必过圆心．答案①②8．(2015·吉林长春一调)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值为________．答案4解析圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝2，圆心坐标为C(－1,2)代入直线2ax＋by＋6＝0，得－2a＋2b＋6＝0即点(a，b