2018-2019学年高中数学 模块综合检测（含解析）新人教A版必修4

1模块综合检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1．已知角α的终边经过点P(－3,4)，则sinα的值等于()A．－35B.35C.45D．－45解析：选Csinα＝4－2＋42＝45.2．已知cosπ2＋φ＝－32且|φ|＜π2，则tanφ＝()A．－33B.33C．－3D.3解析：选D由cosπ2＋φ＝－32得sinφ＝32，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以tanφ＝3.3．已知M是△ABC的BC边上的中点，若AB＝a，AC＝b，则AM＝()A.12(a－b)B.12(a＋b)C．－12(a－b)D．－12(a＋b)解析：选BAM＝AB＋BM＝AB＋12BC＝AB＋12(AC－AB)＝12(a＋b)．4．设角α＝－35π6，则＋α－α－＋α1＋sin2α＋－α－cos2＋α的值为()A.12B.32C.22D.3解析：选D因为α＝－35π6＝π6－6π，所以＋α－α－＋α1＋sin2α＋－α－cos2＋α2＝2sinαcosα＋cosα1＋sin2α＋sinα－cos2α＝2sinαcosα＋cosα2sin2α＋sinα＝cosαsinα＝1tan－35π6＝1tanπ6＝3.故选D.5．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则k的取值范围是()A．(－2，＋∞)B.－2，12∪12，＋∞C．(－∞，－2)D．(－2,2)解析：选B当a，b共线时，2k－1＝0，k＝12，此时a，b方向相同夹角为0°，所以要使a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0且a，b不共线．由a·b＝2＋k＞0得k＞－2，且k≠12，即实数k的取值范围是－2，12∪12，＋∞.6．向量a，b满足|a＋b|＝7，|a－b|＝3，则a·b的值为()A．1B．2C．3D．4解析：选A向量a，b满足|a＋b|＝7，|a－b|＝3，可得a2＋2a·b＋b2＝7，a2－2a·b＋b2＝3，两式相减可得4a·b＝4.解得a·b＝1，故选A.7.函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，且ω＞0,0≤φ＜2π)的部分图象如图所示，则()A．ω＝π2，φ＝π4B．ω＝π3，φ＝π6C．ω＝π4，φ＝π4D．ω＝π4，φ＝5π4解析：选C∵T＝4×2＝8，∴ω＝π4.又∵π4×1＋φ＝π2，∴φ＝π4.8．若α∈π2，π，且sinα＝45，则sinα＋π4－22cos(π－α)等于()A.225B．－253C.25D．－225解析：选Bsinα＋π4－22cos(π－α)＝22sinα＋22cosα＋22cosα＝22sinα＋2cosα.∵sinα＝45，α∈π2，π，∴cosα＝－35.∴22sinα＋2cosα＝22×45－2×35＝－25.9．△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，OA＋AB＋AC＝0，且|OA|＝|AB|，CA在CB方向上的投影为()A．－3B．－3C.3D．3解析：选C如图，由OA＋AB＋AC＝0得OB＝－AC＝CA，所以四边形OBAC是平行四边形．又|OA|＝|AB|，所以三角形OAB为正三角形，因为外接圆的半径为2，所以四边形OBAC是边长为2的菱形．所以∠ACB＝π6，所以CA在CB上的投影为|CA|cosπ6＝2×32＝3，选C.10．已知在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，点P为边BC所在直线上的一个动点，则关于AP·(AB＋AC)的值，正确的是()A．为定值2B．最大值为4C．最小值为1D．与P的位置有关解析：选A如图，取BC中点D，由题意知|AD|＝1.AP·(AB＋AC)＝AP·(2AD)＝2|AD|·|AP|·cos∠DAP＝2|AD|2＝2.411．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)ω0，|φ|π2的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则()A．f(x)在0，π2单调递减B．f(x)在π4，3π4单调递减C．f(x)在0，π2单调递增D．f(x)在π4，3π4单调递增解析：选Ay＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝2sinωx＋φ＋π4，由最小正周期为π得ω＝2，又由f(－x)＝f(x)可知f(x)为偶函数，|φ|π2可得φ＝π4，所以y＝2cos2x，在0，π2单调递减．12．在△ABC所在的平面上有一点P，满足PA＋PB＋PC＝AB，则△PBC与△ABC面积之比为()A.13B.12C.23D.34解析：选C因为PA＋PB＋PC＝AB，所以PA＋PB＋PC－AB＝0，即2PA＋PC＝0，所以2PA＝CP，即点P是CA边上的靠近点A的一个三等分点，故S△PBCS△ABC＝PCAC＝23.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知cosx＝2a－34－a，x是第二、三象限的角，则a的取值范围为________．解析：－1＜cosx＜0，－1＜2a－34－a＜0，2a－34－a＜0，2a－34－a＞－1.5∴－1＜a＜32.答案：－1，3214．已知e1、e2是夹角为2π3的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为________．解析：由题意知：a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，即ke21＋e1e2－2ke1e2－2e22＝0，即k＋cos2π3－2kcos2π3－2＝0，化简可求得k＝54.答案：5415．y＝3－2cos3x＋π6的定义域为________．解析：∵2cos3x＋π6≥0，∴2kπ－π2≤3x＋π6≤2kπ＋π2，∴23kπ－2π9≤x≤23kπ＋π9(k∈Z)，函数的定义域为x|23kπ－2π9≤x≤23kπ＋π9，k∈Z.答案：x|23kπ－2π9≤x≤23kπ＋π9，k∈Z16．关于函数f(x)＝cos2x－π3＋cos2x＋π6，给出下列命题：①f(x)的最大值为2；②f(x)的最小正周期是π；③f(x)在区间π24，13π24上是减函数；④将函数y＝2cos2x的图象向右平移π24个单位长度后，与函数y＝f(x)的图象重合．其中正确命题的序号是____________．解析：f(x)＝cos2x－π3＋cos2x＋π6＝cos2x－π3＋sinπ2－2x＋π6＝6cos2x－π3－sin2x－π3＝222cos2x－π3－22sin2x－π3＝2cos2x－π3＋π4＝2cos2x－π12，∴函数f(x)的最大值为2，最小正周期为π，故①②正确；又当x∈π24，13π24时，2x－π12∈[0，π]，∴函数f(x)在π24，13π24上是减函数，故③正确；由④得y＝2cos2x－π24＝2cos2x－π12，故④正确．答案：①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(10分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω0，A0，φ∈0，π2的部分图象如图所示，其中点P是图象上的一个最高点．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若α∈π2，π，且sinα＝513，求fα2.解：(1)由函数最大值为2，得A＝2.由图象可得函数周期为T＝4×π12－－π6＝π，∴ω＝2，又ω·π12＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，且φ∈0，π2，得φ＝π3，∴f(x)＝2sin2x＋π3.(2)由α∈π2，π，且sinα＝513，得cosα＝－1－sin2α＝－1213，∴fα2＝2sin2·α2＋π3＝2sinαcosπ3＋cosαsinπ3＝5－12313.18．(12分)已知角α的终边过点P45，－35.(1)求sinα的值；7(2)求式子sinπ2－αsin()α＋π·α－π－α的值．解：(1)∵|OP|＝452＋－352＝1，∴点P在单位圆上，由正弦函数定义得sinα＝－35.(2)原式＝cosα－sinα·tanα－cosα＝sinαsinα·cosα＝1cosα.由(1)得sinα＝－35，P在单位圆上，∴由已知得cosα＝45，∴原式＝54.19．(12分)已知函数f(x)＝sin2x＋π6＋sin2x－π6＋2cos2x.(1)求f(x)的最小值及最小正周期；(2)求使f(x)＝3的x的取值集合．解：(1)∵f(x)＝sin2x＋π6＋sin2x－π6＋2cos2x＝sin2xcosπ6＋cos2xsinπ6＋sin2xcosπ6－cos2x·sinπ6＋cos2x＋1＝3sin2x＋cos2x＋1＝2sin2x＋π6＋1，∴f(x)min＝2×(－1)＋1＝－1，最小正周期T＝2π|ω|＝2π2＝π.(2)∵f(x)＝3，∴2sin2x＋π6＋1＝3，∴sin2x＋π6＝1，∴2x＋π6＝2kπ＋π2，k∈Z，∴x＝kπ＋π6，k∈Z，∴使f(x)＝3的x的取值集合为x|x＝kπ＋π6，k∈Z.20．(12分)已知四边形ABCD，AB＝(6,1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2，－3)．8(1)若BC∥DA，求y＝f(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，若AC⊥BD，求x，y的值以及四边形ABCD的面积．解：(1)DA＝－(AB＋BC＋CD)＝(－x－4,2－y)，∵BC∥DA，∴x(2－y)－(－x－4)y＝0，整理得x＋2y＝0.∴y＝－12x.(2)∵AC＝AB＋BC＝(x＋6，y＋1)，BD＝BC＋CD＝(x－2，y－3)，又∵AC⊥BD，∴AC·BD＝0，即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，由(1)知x＝－2y，将其代入上式，整理得y2－2y－3＝0.解得y1＝3，y2＝－1.当y＝3时，x＝－6，于是BC＝(－6,3)，AC＝(0,4)，BD＝(－8,0)，|AC|＝4，|BD|＝8，∴S四边形ABCD＝12|AC||BD|＝12×4×8＝16.当y＝－1时，x＝2，于是BC＝(2，－1)，AC＝(8,0)，BD＝(0，－4)，|AC|＝8，|BD|＝4，∴S四边形ABCD＝12|AC||BD|＝12×8×4＝16.21．(12分)已知函数f(x)＝2sin2π3x＋π6.(1)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的图象(先列表，再画图)；(2)求函数f(x)的单调递增区间；(3)求函数f(x)在区间－12，34上的值域．解：(1)按五个关键点列表如下：2π3x＋π60π2π3π22π9x－1412542114f(x)020－20描点画图，如图所示．(2)由2kπ－π2≤2π3x＋π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，得3k－1≤x≤3k＋12(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为3k－1，3k＋12(k∈Z)．(3)因为x∈－12，34，所以2π3x＋π6∈－π6，2π3，所以sin2π3x＋π6∈－12，1，所以2sin2π3x＋π6∈[－1,2]，即函数f(x)在区间－12，34上的值域是[－1,2]．22.(12分)已知定义在区间－π，2π3上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－π6对称，当x∈－π6，2π3时，函数f(x)＝Asin(