2018-2019学年高中数学 模块综合检测（含解析）新人教A版选修4-4

1模块综合检测(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10个小题，每个小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在极坐标系中，圆ρ＝sinθ的圆心的极坐标是()A.1，π2B．(1,0)C.12，π2D.12，0解析：选C将圆的极坐标方程ρ＝sinθ化成直角坐标方程为x2＋y－122＝14，可知圆心的直角坐标为0，12，化为极坐标为12，π2.故选C.2．在极坐标系中，过点2，π2且与极轴平行的直线方程是()A．ρ＝2B．θ＝π2C．ρcosθ＝2D．ρsinθ＝2解析：选D极坐标为2，π2的点的直角坐标为(0,2)，过该点且与极轴平行的直线的方程为y＝2，其极坐标方程为ρsinθ＝2.3．在同一坐标系中，将曲线y＝2sinx变为曲线y′＝sin2x′的伸缩变换是()A.x＝2x′，y＝12y′B.x′＝12x，y′＝12yC.x＝12x′，y＝2y′D.x′＝2x，y′＝2y解析：选B设x′＝λxλ，y′＝μyμ0，则μy＝sin2λx，即y＝1μsin2λx，2∴1μ＝2，2λ＝1，解得μ＝12，λ＝12，故选B.4．若曲线C的参数方程为x＝－1＋12t，y＝2＋32t(t为参数)，则下列说法中正确的是()A．曲线C是直线且过点(－1,2)B．曲线C是直线且斜率为33C．曲线C是圆且圆心为(－1,2)D．曲线C是圆且半径为|t|解析：选A曲线C的参数方程为x＝－1＋12t，y＝2＋32t(t为参数)，消去参数t得曲线C的普通方程为3x－y＋2＋3＝0.该方程表示直线，且斜率是3.把(－1,2)代入，成立，∴曲线C是直线且过点(－1,2)，故选A.5．点M的极坐标是－2，－π6，它关于直线θ＝π2的对称点坐标是()A.2，11π6B.－2，7π6C.2，－π6D.－2，－11π6解析：选B当ρ0时，它的极角应在反向延长线上．如图，描点－2，－π6时，先找到角－π6的终边，又因为ρ＝－20，所以再在反向延长线上找到离极点2个单位长度的点即是点－2，－π6.直线θ＝π2就是极角为π2的那些点的集合．故M－2，－π6关于直3线θ＝π2的对称点为M′2，π6，但是选项没有这样的坐标．又因为M′2，π6的坐标还可以写成M′－2，7π6，故选B.6.已知双曲线C的参数方程为x＝3secθ，y＝4tanθ(θ为参数)，在下列直线的参数方程中，①x＝－3t，y＝4t；②x＝1＋32t，y＝1－12t；③x＝35t，y＝－45t；④x＝1－22t，y＝1＋22t；⑤x＝3＋3t，y＝－4－4t.(以上方程中t为参数)，可以作为双曲线C的渐近线方程的是()A．①③⑤B．①⑤C．①②④D．②④⑤解析：选A由双曲线的参数方程知，在双曲线中对应的a＝3，b＝4且双曲线的焦点在x轴上，因此其渐近线方程是y＝±43x.检验所给直线的参数方程可知只有①③⑤适合条件．7．已知过曲线x＝3sinθ，y＝3cosθ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P与原点O的连线PO的倾斜角为π2，则点P的坐标是()A．(0,3)B.－125，－125C．(－3,0)D.125，125解析：选A曲线的普通方程为x2＋y2＝9(0≤x≤3)，∵点P与原点O的连线PO的倾斜角为π2，∴点P的横坐标为0，将x＝0代入x2＋y2＝9得y＝3(y＝－3舍去)，∴P(0,3)．故选A.8．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcosθ＋ρsinθ＝1围成的图形的4面积为()A.14B.3－34C.2－34D.13解析：选B三条直线的直角坐标方程依次为y＝0，y＝3x，x＋y＝1，如图．围成的图形为△OPQ，可得S△OPQ＝12|OQ|·|yP|＝12×1×33＋1＝3－34.9．点(ρ，θ)满足3ρcos2θ＋2ρsin2θ＝6cosθ，则ρ2的最大值为()A.72B．4C.92D．5解析：选B由3ρcos2θ＋2ρsin2θ＝6cosθ，两边乘ρ，化为3x2＋2y2＝6x，得y2＝3x－32x2，代入ρ2＝x2＋y2，得x2＋y2＝－12x2＋3x＝－12(x2－6x＋9)＋92＝－12(x－3)2＋92.因为y2＝3x－32x2≥0，可得0≤x≤2，故当x＝2时，ρ2＝x2＋y2的最大值为4.10．过椭圆C：x＝2cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)的右焦点F作直线l：交C于M，N两点，|MF|＝m，|NF|＝n，则1m＋1n的值为()A.23B.43C.83D．不能确定解析：选B曲线C为椭圆x24＋y23＝1，右焦点为F(1,0)，设l：x＝1＋tcosθ，y＝tsinθ，(t为参数)，将其代入椭圆方程得(3＋sin2θ)t2＋6cosθt－9＝0，则t1＋t2＝－6cosθ3＋sin2θ，t1t2＝－93＋sin2θ，∴1m＋1n＝1|t1|＋1|t2|＝|t1－t2||t1t2|＝t1＋t22－4t1t2|t1t2|＝43.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)511．在平面直角坐标系中，曲线C：x＝2＋22t，y＝1＋22t(t为参数)的普通方程为________．解析：直接化简，两式相减消去参数t得，x－y＝1，整理得普通方程为x－y－1＝0.答案：x－y－1＝012．在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为x＋y－6＝0，圆C的参数方程为x＝2cosθ，y＝2sinθ＋2(参数θ∈[0,2π))，则圆心C到直线l的距离为________．解析：圆C的参数方程x＝2cosθ，y＝2sinθ＋2(参数θ∈[0,2π))化成普通方程为x2＋(y－2)2＝4，圆心为(0,2)，半径为2，∴圆心C到直线l的距离为|0＋2－6|2＝22.答案：2213．在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ＝sinθ与ρcosθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为________．解析：由2ρcos2θ＝sinθ⇒2ρ2cos2θ＝ρsinθ⇒2x2＝y，又由ρcosθ＝1⇒x＝1，由2x2＝y，x＝1⇒x＝1，y＝2，故曲线C1与C2交点的直角坐标为(1,2)．答案：(1,2)14．在极坐标系中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝2.若以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系xOy，则直线C1的直角坐标方程为______；若曲线C2的参数方程为x＝cost，y＝1＋sint(t为参数)，则C1被C2截得的弦长为________．解析：直线C1的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝2，即ρsinθ＋ρcosθ＝2，∴直线C1的直角坐标方程为x＋y－2＝0.曲线C2的参数方程x＝cost，y＝1＋sint(t为参数)化成普通方程为x2＋(y－1)2＝1，表示6圆，圆心到直线C1的距离d＝12，∴C1被C2截得的弦长为21－12＝2.答案：x＋y－2＝02三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为x＝2cosα，y＝1＋cos2α(α为参数)，求直线l与曲线C的交点P的直角坐标．解：因为直线l的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R)，所以直线l的普通方程为y＝3x，①又因为曲线C的参数方程为x＝2cosα，y＝1＋cos2α(α为参数)，所以曲线C的直角坐标方程为y＝12x2(x∈[－2,2])，②联立①②得x＝0，y＝0或x＝23，y＝6.(舍去)故点P的直角坐标为(0,0)．16．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为2，π4，直线l的极坐标方程为ρcosθ－π4＝a，且点A在直线l上．(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；(2)圆C的参数方程为x＝1＋cosα，y＝sinα(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．解：(1)由点A2，π4在直线ρcosθ－π4＝a上，可得a＝2.所以直线l的极坐标方程可化为ρcosθ＋ρsinθ＝2.从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，所以圆C的圆心为(1,0)，半径r＝1，7因为圆心C到直线l的距离d＝12＝221，所以直线l与圆C相交．17．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x＝3＋2cosθ，y＝－4＋2sinθ(θ为参数)．(1)以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；(2)已知A(－2,0)，B(0,2)，圆C上任意一点M(x，y)，求△ABM面积的最大值．解：(1)因为圆C的参数方程为x＝3＋2cosθ，y＝－4＋2sinθ(θ为参数)，所以普通方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝4.由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得(ρcosθ－3)2＋(ρsinθ＋4)2＝4，化简可得圆C的极坐标方程为ρ2－6ρcosθ＋8ρsinθ＋21＝0.(2)由已知得直线AB的方程为x－y＋2＝0，点M(x，y)到直线AB：x－y＋2＝0的距离为d＝|x－y＋2|2＝|2cosθ－2sinθ＋9|2，又|AB|＝－2＋－2＝22，所以△ABM的面积S＝12×|AB|×d＝|2cosθ－2sinθ＋9|＝22cosπ4＋θ＋9，所以△ABM面积的最大值为9＋22.18．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝t，y＝kt－(t为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C2：ρ2＋10ρcosθ－6ρsinθ＋33＝0.(1)求C1的普通方程及C2的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若P，Q分别为C1，C2上的动点，且|PQ|的最小值为2，求k的值．解：(1)由x＝t，y＝kt－(t为参数)消去t可得C1的普通方程为y＝k(x－1)，它表示过定点(1,0)，斜率为k的直线．由ρ2＋10ρcosθ－6ρsinθ＋33＝0可得C2的直角坐标方程为x2＋y2＋10x－6y＋33＝0，整理得(x＋5)2＋(y－3)2＝1，它表示圆心为(－5,3)，半径为1的圆．(2)由题意知直线与圆相离．因为圆心(－5,3)到直线y＝k(x－1)的距离d＝|－6k－3|1＋k28＝|6k＋3|1＋k2，故|PQ|的最小值为|6k＋3|1＋k2－1，由|6k＋3|1＋k2－1＝2，得3k2＋4k＝0，解得k＝0或k＝－43.