2018-2019学年高中数学 第1部分 第2章 圆锥曲线与方程 章末小结 知识整合与阶段检测（含解

1第2章圆锥曲线与方程[对应学生用书P46]一、圆锥曲线的意义1．椭圆平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．(1)焦点：两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点．(2)焦距：两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2．双曲线平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线．(1)焦点：两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点．(2)焦距：两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．3．抛物线平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．二、圆锥曲线的标准方程及几何性质1．椭圆的标准方程和几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－a≤y≤a，－b≤x≤b顶点(±a,0)，(0，±b)(0，±a)，(±b,0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点(±c,0)(0，±c)焦距F1F2＝2c对称性对称轴x轴，y轴，对称中心(0,0)离心率0e12.双曲线的标准方程和几何性质2焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形焦点(±c,0)(0，±c)焦距2c范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≥a或y≤－a，x∈R顶点(±a,0)(0，±a)对称性关于x轴、y轴、坐标原点对称轴长实轴长＝2a，虚轴长＝2b渐近线方程y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca13.抛物线的标准方程和几何性质类型y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)图形焦点p2，0－p2，00，p20，－p2准线x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下3三、圆锥曲线的统一定义(1)定义：平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离比等于常数e的点的轨迹．当0e1时，表示椭圆；当e1时，表示双曲线；当e＝1时，表示抛物线．其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线．(2)对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆或双曲线，与焦点F1(－c,0)，F2(c,0)对应的准线方程分别为x＝－a2c，x＝a2c.四、曲线与方程1．定义如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)＝0的曲线．2．求曲线的方程的方法(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x、y之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x、y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x、y之间的关系式．(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标(x，y)，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程．对应阶段质量检测(二)见8开试卷(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上)1．(江苏高考)双曲线x216－y29＝1的两条渐近线的方程为________．解析：令x216－y29＝0，解得y＝±34x.答案：y＝±34x2．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－y23＝1的渐近线的距离是________．4解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为y＝±3x，所以所求距离为|±3×1－0|1＋3＝32.答案：323．方程x2(a－1)2＋y2a2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则a的取值范围是________．解析：由题意得(a－1)2a2，a≠1，a≠0，解之得a12，且a≠0，即a的取值范围是(－∞，0)∪0，12.答案：－∞，0∪(0，12)4．(辽宁高考)已知F为双曲线C：x29－y216＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．解析：由题意因为PQ过双曲线的右焦点(5,0)，所以P，Q都在双曲线的右支上，则有FP－PA＝6，FQ－QA＝6，两式相加，利用双曲线的定义得FP＋FQ＝28，所以△PQF的周长为FP＋FQ＋PQ＝44.答案：445．设点P是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)与圆x2＋y2＝2a2的一个交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且PF1＝3PF2，则双曲线的离心率为________．解析：由PF1－PF2＝2a，PF1＝3PF2得PF1＝3a，PF2＝a，设∠F1OP＝α，则∠POF2＝180°－α，在△PF1O中，PF21＝OF21＋OP2－2OF1·OP·cosα①，在△OPF2中，PF22＝OF22＋OP2－2OF2·OP·cos(180°－α)②，由cos(180°－α)＝－cosα与OP＝2a，①＋②得c2＝3a2，∴e＝ca＝3aa＝3.5答案：36．已知动圆P与定圆C：(x＋2)2＋y2＝1相外切，又与定直线l：x＝1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是________．解析：设P(x，y)，动圆P在直线x＝1的左侧，其半径等于1－x，则PC＝1－x＋1，即(x＋2)2＋y2＝2－x.∴y2＝－8x.答案：y2＝－8x7．已知双曲C1＝x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐进线的距离为2，则抛物线C2的方程为________________________．解析：∵双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的率心率为2.∴ca＝a2＋b2a＝2，∴b＝3a.∴双曲线的渐近线方程为3x±y＝0.∴抛物线C2：x2＝2py(p0)的焦点0，p2到双曲线的渐近线的距离为3×0±p22＝2.∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.答案：x2＝16y8．过抛物线x2＝8y的焦点F作直线交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝8，则P1P2的值为________．解析：由题意知p＝4，由抛物线的定义得P1P2＝P1F＋P2F＝y1＋p2＋y2＋p2＝(y1＋y2)＋p＝8＋4＝12.答案：129．椭圆x24＋y23＝1的右焦点到直线y＝33x的距离是________．解析：∵椭圆x24＋y23＝1的右焦点为(1,0)，∴右焦点到直线3x－3y＝0的距离d＝33＋9＝12.答案：1210．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若AB＝10，BF＝8，cos∠ABF＝45，则C的离心率为________．6解析：在△ABF中，AF2＝AB2＋BF2－2AB·BF·cos∠ABF＝102＋82－2×10×8×45＝36，则AF＝6.由AB2＝AF2＋BF2可知，△ABF是直角三角形，OF为斜边AB的中线，c＝OF＝AB2＝5.设椭圆的另一焦点为F1，因为点O平分AB，且平分FF1，所以四边形AFBF1为平行四边形，所以BF＝AF1＝8.由椭圆的性质可知AF＋AF1＝14＝2a⇒a＝7，则e＝ca＝57.答案：5711．(新课标全国卷Ⅰ改编)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为________．解析：因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝12(x－3)，代入椭圆方程x2a2＋y2b2＝1消去y，得a24＋b2x2－32a2x＋94a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为32a22a24＋b2＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3.所以E的方程为x218＋y29＝1.答案：x218＋y29＝112．抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于__________________________．解析：令直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)由y＝2x＋1，y2＝12x，得4x2－8x＋1＝0，∴x1＋x2＝2，x1x2＝14，∴AB＝(1＋22)(x1－x2)2＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]＝15.答案：1513．以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．解析：如图，设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，焦半径为c.7由题意知∠F1AF2＝90°，∠AF2F1＝60°.∴AF2＝c，AF1＝2c·sin60°＝3c.∴AF1＋AF2＝2a＝(3＋1)c.∴e＝ca＝23＋1＝3－1.答案：3－114．给出如下四个命题：①方程x2＋y2－2x＋1＝0表示的图形是圆；②椭圆x23＋y22＝1的离心率e＝53；③抛物线x＝2y2的准线的方程是x＝－18；④双曲线y249－x225＝－1的渐近线方程是y＝±57x.其中所有不正确命题的序号是________．解析：①表示的图形是一个点(1,0)；②e＝33；④渐近线的方程为y＝±75x.答案：①②④二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)求与椭圆x2144＋y2169＝1有共同焦点，且过点(0,2)的双曲线方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．解：椭圆x2144＋y2169＝1的焦点是(0，－5)，(0,5)，焦点在y轴上，于是设双曲线方程是y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，又双曲线过点(0,2)，∴c＝5，a＝2，∴b2＝c2－a2＝25－4＝21，∴双曲线的标准方程是y24－x221＝1，实轴长为4，焦距为10，离心率e＝ca＝52，渐近线方程是y＝±22121x.16．(本小题满分14分)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于8A，B两点，若|AB|＝8，求直线l的方程．解：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，当直线l斜率不存在时，|AB|＝4，不合题意．设直线l的方程为y＝k(x－1)，代入y2＝4x，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知k≠0，则x1＋x2＝2k2＋4k2.由抛物线定义知，|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2，∴x1＋x2＋2＝8，即2k2＋4k2＋2＝8.解得k＝±1.所以直线l的方程为y＝±(x－1)，即x－y－1＝0，x＋y－1＝0.17．(本小题满分14分)如图，F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.(1)求椭圆C的离心率；(2)已知△AF1B的面积为403，求a，b的值．解：(1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c，所以e＝12.(2)法一：a2＝4c2，b2＝3c2，直线AB的方程为y＝－3(x－c)．代入椭圆方程3x2＋4y2＝1