2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数 第1节 任意角和弧度制（第1课时）任意角课下能力提

1课下能力提升(一)[学业水平达标练]题组1终边相同的角及区域角的表示1．与－457°角的终边相同的角的集合是()A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}解析：选C由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}．2．若A＝{α|α＝k·360°，k∈Z}，B＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，C＝{α|α＝k·90°，k∈Z}，则下列关系中正确的是()A．A＝B＝CB．A＝B∩CC．A∪B＝CD．A⊆B⊆C解析：选D∵90°∈C,90°∉B,90°∉A，∴选项A，C错误；又∵180°∈C,180°∈B,180°∉A，∴选项B错误．故选D.3．若α＝n·360°＋θ，β＝m·360°－θ，m，n∈Z，则α，β终边的位置关系是()A．重合B．关于原点对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称解析：选C由α＝n·360°＋θ，n∈Z可知α与θ是终边相同的角，由β＝m·360°－θ，m∈Z可知β与－θ是终边相同的角．因为θ与－θ两角终边关于x轴对称，所以α与β两角终边关于x轴对称．4.已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈________.解析：在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角α满足30°α150°或210°α330°，所以所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°＋30°αk·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°αk·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°α2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°α(2k＋1)·180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°αn·180°＋150°，n∈Z}．答案：{α|n·180°＋30°αn·180°＋150°，n∈Z}25．(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α写出来：①60°；②－21°.(2)试写出终边在直线y＝－x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α＜180°的元素α写出来．解：(1)①S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α为：－300°，60°，420°；②S＝{α|α＝－21°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α为：－21°，339°，699°.(2)终边在直线y＝－x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α＜180°的元素α为：－45°，135°.题组2象限角的判断6．－1120°角所在象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D由题意，得－1120°＝－4×360°＋320°，而320°在第四象限，所以－1120°角也在第四象限．7．下列叙述正确的是()A．三角形的内角必是第一、二象限角B．始边相同而终边不同的角一定不相等C．第四象限角一定是负角D．钝角比第三象限角小解析：选B90°的角是三角形的内角，它不是第一、二象限角，故A错；280°的角是第四象限角，它是正角，故C错；－100°的角是第三象限角，它比钝角小，故D错．8．若α是第四象限角，则180°＋α一定是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选B∵α是第四象限角，∴k·360°－90°αk·360°.∴k·360°＋90°180°＋αk·360°＋180°.∴180°＋α在第二象限，故选B.题组3nα或αn所在象限的判定39．已知角2α的终边在x轴上方，那么α是()A．第一象限角B．第一或第二象限角C．第一或第三象限角D．第一或第四象限角解析：选C由条件知k·360°2αk·360°＋180°，(k∈Z)，∴k·180°αk·180°＋90°(k∈Z)，当k为偶数时，α在第一象限，当k为奇数时，α在第三象限．10.若角α是第三象限角，则角α2的终边所在的区域是如图所示的区域(不含边界)()A．③⑦B．④⑧C．②⑤⑧D．①③⑤⑦解析：选A∵α是第三象限角，∴k·360°＋180°αk·360°＋270°(k∈Z)，∴k·180°＋90°α2k·180°＋135°(k∈Z)．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°＋90°α2n·360°＋135°，对应区域③；当k＝2n＋1(n∈Z)时，n·360°＋270°α2n·360°＋315°，对应区域⑦.∴角α2的终边所在的区域为③⑦.[能力提升综合练]1．已知集合A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α为第一象限角}，则A∩B＝()A．{α|α为锐角}B．{α|α小于90°}C．{α|α为第一象限角}D．以上都不对解析：选D小于90°的角包括锐角及所有负角，第一象限角指终边落在第一象限的角，所以A∩B是指锐角及第一象限的所有负角的集合，故选D.2．下列叙述正确的是()A．第一或第二象限的角都可作为三角形的内角B．始边相同而终边不同的角一定不相等C．若α是第一象限角，则2α是第二象限角D．钝角比第三象限角小解析：选B－330°角是第一象限角，但不能作为三角形的内角，故A错；若α是第一象限角，则k·360°αk·360°＋90°(k∈Z)，所以2k·360°2α2k·360°＋4180°(k∈Z)，所以2α不一定是第二象限角，故C错；－135°是第三象限角，135°是钝角，而135°－135°，故D错．3．终边与坐标轴重合的角的集合是()A．{α|α＝k·360°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°，k∈Z}C．{α|α＝k·90°，k∈Z}D．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}解析：选C终边在x轴上的角的集合M＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合P＝{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}，则终边与坐标轴重合的角的集合S＝M∪P＝{α|α＝k·180°，k∈Z}∪{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}＝{α|α＝2k·90°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{α|α＝n·90°，n∈Z}，故选C.4．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为()A．α＋β＝k·360°，k∈ZB．α＋β＝k·360°＋180°，k∈ZC．α－β＝k·360°＋180°，k∈ZD．α－β＝k·360°，k∈Z解析：选B法一：特殊值法：令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.法二：直接法：∵角α与角β的终边关于y轴对称，∴β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.5．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度．解析：将钟表拨快10分钟，则时针按顺时针方向转了10×360°12×60＝5°，所转成的角度是－5°；分针按顺时针方向转了10×360°60＝60°，所转成的角度是－60°.答案：－5－606．若角α满足180°α360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则角α＝________.解析：∵角5α与α具有相同的始边与终边，∴5α＝k·360°＋α，k∈Z.得4α＝k·360°，当k＝3时，α＝270°.答案：270°7．写出终边在如下列各图所示阴影部分内的角的集合．5解：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}；(2){α|150°＋k·360°≤α≤390°＋k·360°，k∈Z}．8．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．解：由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.∵α，β都是锐角，∴0°α＋β180°.取k＝1，得α＋β＝80°.①∵α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，α，β都是锐角，∴－90°α－β90°.取k＝－2，得α－β＝－50°.②由①②，得α＝15°，β＝65°.6