2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数 第5节 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象课下能力

1课下能力提升(十一)[学业水平达标练]题组1“五点法”作图1．某同学用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)在一个周期内简图时，列表如下：ωx＋φ0π2π3π22πxπ12π45π127π123π4y020－20则振幅是________，相位是________．解析：由表格得A＝2，3π4－π12＝2πω，∴ω＝3.∴ωx＋φ＝3x＋φ.当x＝π12时，3x＋φ＝π4＋φ＝0，∴φ＝－π4.答案：23x－π42．作出函数y＝32sin13x－π3在长度为一个周期的闭区间上的图象．解：列表：X＝13x－π30π2π3π22πxπ5π24π11π27πy＝32sin13x－π30320－320描点画图(如图所示)．题组2三角函数的图象变换3．要得到函数y＝sin4x－π3的图象，只需将函数y＝sin4x的图象()A．向左平移π12个单位长度2B．向右平移π12个单位长度C．向左平移π3个单位长度D．向右平移π3个单位长度解析：选By＝sin4x－π3＝sin4x－π12，故只需将函数y＝sin4x的图象向右平移π12个单位长度．故选B.4．把函数y＝cosx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标伸长到原来的2倍，最后把图象向左平移π4个单位长度，则所得图象表示的函数的解析式为()A．y＝2sin2xB．y＝－2sin2xC．y＝2cos2x＋π4D．y＝2cosx2＋π4解析：选B把函数y＝cosx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，所得图象的函数解析式为y＝cos2x，再把纵坐标伸长到原来的2倍，所得图象的函数解析式为y＝2cos2x，最后把图象向左平移π4个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝2cos2x＋π4＝－2sin2x.5．为了得到函数y＝sin2x－π3的图象，只需把函数y＝sin2x＋π6的图象()A．向左平移π4个单位长度B．向右平移π4个单位长度C．向左平移π2个单位长度D．向右平移π2个单位长度解析：选By＝sin2x＋π6x＋φy＝sinx＋φ＋π6＝sin2x－π3，即2x＋2φ3＋π6＝2x－π3，解得φ＝－π4，即向右平移π4个单位长度．→x＋φy＝sinx＋φ＋π6＝sin2x－π3，即2x＋2φ＋π6＝2x－π3，解得φ＝－π4，即向右平移π4个单位长度．6．把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()解析：选A变换后的三角函数为y＝cos(x＋1)，结合四个选项可得A选项正确．7．已知函数f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移π2个单位长度，这样得到的图象与y＝12sinx的图象相同，求f(x)的解析式．解：反过来想，y＝12sinxπ2向右平移个单位长度y＝12sinx－π212横坐标变为原来的倍纵坐标不变y＝12sin2x－π2，即f(x)＝12sin2x－π2.题组3由图象确定函数的解析式8.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，0φπ2的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是()A．f(x)＝2sin2x＋π3B．f(x)＝2sinx＋π3C．f(x)＝2sin2x＋π6D．f(x)＝2sinx＋π6解析：选B由图象可知A＝2，T4＝7π6－2π3＝π2，所以T＝2π，ω＝2πT＝1.又因为sin2π3＋φ＝0，且0φπ2，所以φ＝π3.所以f(x)＝2sinx＋π3，故选B.9.设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，－π2φπ2，x∈R的部分图象如图所示，则A＋ω＋φ＝________.4解析：由图可知A＝2，T4＝5π6－π3＝π2，所以T＝2π，所以ω＝1.再根据fπ3＝2得sinπ3＋φ＝1，所以π3＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，即φ＝π6＋2kπ(k∈Z)．又因为－π2φπ2，所以φ＝π6，因此A＋ω＋φ＝3＋π6.答案：3＋π610．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M3π4，0对称，且在区间0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．解：由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称，∴f(x)在x＝0时取得最值，即sinφ＝1或－1.依题设0≤φ≤π，∴φ＝π2.由f(x)的图象关于点M对称，可知sin3π4ω＋π2＝0，则3π4ω＋π2＝kπ，k∈Z，解得ω＝4k3－23(k∈Z)，又f(x)在0，π2上是单调函数，所以T≥π，即2πω≥π.∴ω≤2.又ω0，∴k＝1时，ω＝23；k＝2时，ω＝2.故φ＝π2，ω＝2或23.[能力提升综合练]1．函数y＝sin2x－π3在区间－π2，π上的简图是()5解析：选A当x＝0时，y＝sin－π3＝－320，故可排除B、D；当x＝π6时，sin2×π6－π3＝sin0＝0，排除C.2.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的部分图象如图，则它的振幅A与最小正周期T分别是()A．A＝3，T＝5π6B．A＝3，T＝5π3C．A＝32，T＝5π6D．A＝32，T＝5π3解析：选D由图象可知最大值为3，最小值为0，故振幅为32，半周期为π2－－π3＝5π6，故周期为5π3.3．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω0)的图象关于直线x＝π3对称，且fπ12＝0，则ω的最小值为()A．2B．4C．6D．8解析：选A函数f(x)的周期T≤4π3－π12＝π，则2πω≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.4．给出下列六种图象变换的方法：①图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12；②图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；③图象向右平移π3个单位长度；④图象向左平移π3个单位长度；⑤图象向右平移2π3个单位长度；⑥图象向左平移2π3个单位长度．6请用上述变换中的两种变换，将函数y＝sinx的图象变换为函数y＝sinx2＋π3的图象，那么这两种变换正确的标号是________．(按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)解析：y＝sinx的图象――→④y＝sinx＋π3的图象――→②y＝sin12x＋π3的图象；或y＝sinx的图象――→②y＝sinx2的图象――→⑥y＝sin12x＋2π3＝sinx2＋π3的图象．答案：④②或②⑥5．如图所示的曲线是y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的一部分，则这个函数的解析式是________．解析：由函数图象可知A＝2，T＝435π6－π12＝π，即2πω＝π，故ω＝2.又5π6，0是五点法作图的第五个点，即2×5π6＋φ＝2π，则φ＝π3.故所求函数的解析式为y＝2sin2x＋π3.答案：y＝2sin2x＋π36．已知函数f(x)＝3sinωx－π6(ω0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈0，π2，则f(x)的取值范围是________．解析：由题意知，ω＝2，因为x∈0，π2，所以2x－π6∈－π6，5π6，故f(x)的最小值为f(0)＝3sin－π6＝－32，最大值为fπ3＝3sinπ2＝3，所以f(x)的取值范围是－32，3.答案：－32，37．(1)利用“五点法”画出函数y＝sin12x＋π6在长度为一个周期的闭区间的简图；(2)说明该函数图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样平移和伸缩变换得到．解：(1)列表：7x－π32π35π38π311π312x＋π60π2π3π22πy010－10画图：(2)法一：先平移后伸缩．①将y＝sinx的图象向左平移π6个单位长度，得到y＝sinx＋π6的图象；②将y＝sinx＋π6的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin12x＋π6的图象．法二：先伸缩后平移．①将y＝sinx的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin12x的图象；②将y＝sin12x的图象向左平移π3个单位长度，得到y＝sin12x＋π6的图象．8．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)上的一个最高点的坐标为π2，2，由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点3π2，0，若φ∈－π2，π2.(1)试求这条曲线的函数解析式；(2)写出函数的单调区间．解：(1)依题意，A＝2，T＝4×3π2－π2＝4π，∵T＝2π|ω|＝4π，ω0，∴ω＝12.∴y＝2sin12x＋φ.∵曲线上的最高点为π2，2，8∴sin12×π2＋φ＝1.∴φ＋π4＝2kπ＋π2.∵－π2φπ2，∴φ＝π4.∴y＝2sin12x＋π4.(2)∴令2kπ－π2≤12x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，∴4kπ－3π2≤x≤4kπ＋π2，k∈Z.∴函数f(x)的单调递增区间为4kπ－3π2，4kπ＋π2(k∈Z)．令2kπ＋π2≤12x＋π4≤3π2＋2kπ，k∈Z，∴4kπ＋π2≤x≤4kπ＋5π2，k∈Z.∴函数f(x)的单调递减区间为4kπ＋π2，4kπ＋5π2(k∈Z)．9