2018-2019学年高中数学 第一章 计数原理 1.3.1 二项式定理课件 新人教A版选修2-3

1.3二项式定理1.3.1二项式定理学习目标导航基础知识梳理典型例题剖析重点难点突破随堂练习巩固1.理解二项式定理及二项展开式的特征,掌握二项展开式的通项.2.正确运用二项展开式展开或化简某些二项式,运用通项求某些特定项、二项式系数或项的系数.3.二项式定理的逆用是对二项式定理考查的一个重点,对应二项式的结构特征,要寻找每一项的规律与联系,学习中应注意次数的变化及系数与组合数的联系.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习1.二项式定理二项展开式:(a+b)n=C𝑛0an+C𝑛1an-1b+…+C𝑛𝑘an-kbk+…+C𝑛𝑛bn(n∈N*)叫做二项式定理,其中各项的系数C𝑛𝑘(k∈{0,1,2,…,n})叫做二项式系数.二项式(a+b)n的展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指数的规律是:(1)各项的次数都等于二项式的幂指数n.(2)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习【做一做1】写出(a+2b)6的展开式.解:(a+2b)6=C60a6+C61a5(2b)+C62a4(2b)2+C63·a3·(2b)3+C64a2(2b)4+C65a1(2b)5+C66(2b)6=a6+12a5b+60a4b2+160a3b3+240a2b4+192ab5+64b6.2.二项展开式的通项(a+b)n的二项展开式中的第k+1项C𝑛𝑘an-kbk叫做二项展开式的通项,用Tk+1表示,即Tk+1=C𝑛𝑘an-kbk(其中0≤k≤n,k∈N,n∈N*).(1)利用二项展开式的通项可以求出展开式中任意指定的项(或系数).如常数项、有理项等.(2)(a+b)n与(b+a)n的值相同,但展开式的第k项却不一定相同.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习【做一做2】(x-y)8的二项展开式中,第4项的系数为.(用数字回答)解析:由已知T4=C83x5(-y)3=-56x5y3,所以,第4项系数为-56.答案:-56学习目标导航基础知识梳理重点难点突破典型例题剖析随堂练习巩固1.如何正确区分二项展开式中某一项的系数与二项式系数剖析:两者是不同的概念.C𝑛𝑟(r=0,1,2,…,n)叫做二项式系数,而某一项的系数是指此项中除字母外的部分.如(1+2x)7的二项展开式的第4项的二项式系数为C73=35.而其第4项的系数为C73·23=280.2.如何用组合的知识理解二项式定理剖析:由于(a+b)n=(𝑎+𝑏)(𝑎+𝑏)…(𝑎+𝑏)𝑛个,将(a+b)看作是含有红球(a)、白球(b)的盒子,则(a+b)n的展开式的每一项可以理解为从n个盒子中的每个盒子里取出一个球的可能结果,而其前面的系数则是这种结果的方法数,如an-rbr是从这n个盒子中取出r个白球(b)、(n-r)个红球(a)的情况,其方法数为C𝑛𝑟,因此有(a+b)n=C𝑛0an+C𝑛1an-1b+…+C𝑛𝑟an-rbr+…+C𝑛𝑛bn(n∈N*).SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三题型四题型一二项式定理的正用与逆用【例1】(1)求2𝑥+1𝑥4的展开式;(2)化简(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).分析:(1)可直接用二项式定理展开或先对括号内式子化简再展开.(2)分析式子的结构形式,逆用二项式定理求解.解:(1)方法一:直接利用二项式定理展开并化简:2𝑥+1𝑥4=C40(2𝑥)41𝑥0+C41(2𝑥)3·1𝑥+C42·(2𝑥)2·1𝑥2+C43(2𝑥)1·1𝑥3+C44·(2𝑥)0·1𝑥4=16x2+32x+24+8𝑥+1𝑥2.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三题型四方法二:2𝑥+1𝑥4=2𝑥+1𝑥4=1𝑥2(2x+1)4=1𝑥2·[C40(2x)4·10+C41·(2x)3·11+C42·(2x)2·12+C43(2x)·13+C44·(2x)0·14]=1𝑥2(16x4+32x3+24x2+8x+1)=16x2+32x+24+8𝑥+1𝑥2.(2)原式=C50(x-1)5+C51(x-1)4+C52(x-1)3+C53(x-1)2+C54(x-1)+C55-1=[(x-1)+1]5-1=x5-1.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三题型四(1)形式简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开,对于形式较复杂的二项式,在展开之前可以根据二项式的结构特点进行必要的变形,然后再展开,以使运算得到简化.记准、记熟二项式(a+b)n的展开式是解答好与二项式定理有关的问题的前提.(2)逆用二项式定理要注意二项展开式的结构特点,a的指数是从高到低,b的指数是从低到高,a,b的指数和都相等,如果项的系数是正负相间,则是(a-b)n的形式.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三题型四题型二利用通项求二项展开式中的特定项【例2】已知在𝑥3-12𝑥3𝑛的展开式中,第6项为常数项.(1)求n;(2)求含x2的项的系数;(3)求展开式中所有的有理项.分析:利用展开式的通项公式,求出当x的次数为0时n的值,再求解第(2)问、第(3)问.解:(1)由通项公式知,展开式中第k项为Tk+1=C𝑛𝑘·(𝑥3)n-k·-12𝑥3𝑘=C𝑛𝑘·(𝑥13)n-k·-12·𝑥-13𝑘=-12𝑘·C𝑛𝑘𝑥𝑛-2𝑘3.∵第6项为常数项,∴k=5,且n-5×2=0,∴n=10.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三题型四(2)由(1)知Tk+1=-12𝑘·C10𝑘·𝑥10-2𝑘3.令10-2𝑘3=2,则k=2.∴x2的系数为-122·C102=14×45=454.(3)当Tk+1为有理项时,10-2𝑘3为整数,0≤k≤10,且k∈N.令10-2𝑘3=z,则k=5-32z,∴z为偶数,从而求得当z=2,0,-2时,k=2,5,8符合条件.∴有理项为T3=C102·-122x2=454x2,T6=C105-125=-638,T9=C108-128x-2=45256x-2.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三题型四求展开式中的某些特定项时,应先确定哪些项是要求的项,再用通项公式求解.常见问题:求常数项(未知量的指数为零),求有理项(项的指数为整数),求某一项.注意某项的系数与某项的二项式系数的区别.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三题型四题型三利用二项式定理解整除问题及求余数问题【例3】(1)用二项式定理证明1110-1能被100整除;(2)求9192被100除所得的余数.分析:利用二项式定理证明整除问题的关键是判断所证式子与除数之间的联系,要掌握好对式子的拆分,如本例的第(1)小题,可以利用1110=(10+1)10的展开式进行证明,第(2)小题则可利用9192=(100-9)92的展开式,或利用(90+1)92的展开式进行求解.(1)证明:∵1110-1=(10+1)10-1=(1010+C101·109+…+C109·10+1)-1=1010+C101·109+C102·108+…+102=100×(108+C101·107+C102·106+…+1),∴1110-1能被100整除.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三题型四(2)解法一:9192=(100-9)92=C920·10092-C921·10091·9+C922·10090·92-…+C9292992,展开式中前92项均能被100整除,只需求最后一项除以100的余数.∵992=(10-1)92=C920·1092-C921·1091+…+C9290·102-C9291·10+1,前91项均能被100整除,后两项和为-919,因余数为正,可从前面的数中分离出1000,结果为1000-919=81,故9192被100除所得余数为81.解法二:9192=(90+1)92=C920·9092+C921·9091+…+C9290·902+C9291·90+C9292.前91项均能被100整除,剩下两项和为92×90+1=8281,显然8281除以100所得余数为81.利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题,通常需将底数化成两数的和或差的形式,且这种转化形式与除数有密切的关系.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三题型四题型四易错易混题型【例4】(2x-1)5的展开式中第4项的系数是()A.10B.-10C.20D.-20错解:第4项的系数为C53=10.故选A.错因分析:把二项展开式中项的系数与二项式系数混淆了.正解:由展开式通项得T4=C53·(2x)2·(-1)3=-10×2x2=-20x2,所以第4项的系数为-20.答案:D求某项的二项式系数或某项的系数,主要是利用通项求出相应的项,但要注意某项的二项式系数与系数的区别.随堂练习巩固学习目标导航基础知识梳理典型例题剖析重点难点突破123451(x-y)n的二项展开式中,第r项的二项式系数为()A.C𝑛𝑟B.C𝑛𝑟+1C.C𝑛𝑟-1D.(-1)r-1C𝑛𝑟-1解析:由展开式通项知Tr=C𝑛𝑟-1xn+1-r·(-y)r-1.所以,第r项的二项式系数为C𝑛𝑟-1.答案:C随堂练习巩固学习目标导航基础知识梳理典型例题剖析重点难点突破123452𝑥-1𝑥312展开式中的常数项为()A.-1320B.1320C.-220D.220解析:Tr+1=C12𝑟·x12-r·-1𝑥3𝑟=(-1)rC12𝑟𝑥12-43r,令12-43r=0,得r=9.所以T10=(-1)9C129=-220.答案:C随堂练习巩固学习目标导航基础知识梳理典型例题剖析重点难点突破123453如果𝑥3-1𝑥4𝑛的展开式中存在常数项,那么n可能为()A.6B.7C.8D.9答案:B随堂练习巩固学习目标导航基础知识梳理典型例题剖析重点难点突破1234541𝑥+𝑥26的展开式中x3的系数为(用数字作答).解析:Tr+1=C6𝑟·1𝑥6-𝑟·(x2)r=C6𝑟·x3r-6,∴要求展开式中x3的系数,即3r-6=3,∴r=3,即T4=C63·x3=20x3,∴x3的系数为20.答案:20随堂练习巩固学习目标导航基础知识梳理典型例题剖析重点难点突破123455若A=37+C72·35+C74·33+C76·3,B=C71·36+C73·34+C75·32+1,则A-B=.解析:A-B=37-C71·36+C72·35-C73·34+C74·33-C75·32+C76·3-C77=(3-1)7=27=128.答案:128随堂练习巩固学习目标导航基础知识梳理典型例题剖析重点难点突破