2018-2019学年高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1.2 基本不等式课件 新人教A版

-1-2.基本不等式首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习课程目标学习脉络1.了解两个正数的几何平均与算术平均.2.会用基本不等式求一些函数的最值及实际应用题.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习1.重要不等式定理1:如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.2.基本不等式(1)定理2:如果a,b0,那么a+b2≥ab,当且仅当a=b时,等号成立.(2)如果a,b都是正数,则a+b2称为a,b的算术平均,ab称为a,b的几何平均.(3)基本不等式可以表述为:两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.(4)基本不等式的几何意义是:直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习思考1如何理解基本不等式中的a和b?提示:在应用基本不等式时,要准确定位其中的a和b.例如,“已知2x+y=1,x,y∈R+,求xy的最大值.”其中a和b不是x和y,而是已知条件中的“2x”和“y”,这是因为定值是“2x+y”,它是1,而“x+y”不是定值,因而要求xy的最大值,转化为求12(2x)y的最大值,即xy=12(2x)y≤12×2x+y22=18.因此准确确定基本不等式中的“a和b”是用好基本不等式的关键.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习3.应用基本不等式求函数的最值已知x,y都为正数,则(1)若x+y=s(和为定值),则当且仅当x=y时,积xy取得最大值s24;(2)若xy=p(积为定值),则当且仅当x=y时,和x+y取得最小值2p.思考2解决最值问题时,如何选择合适的重要不等式?提示:本节中有个重要的不等式链,这就要求选择合适的重要不等式或其变形去解题,如xy=12×(2x)y≤122x+y22(x,y∈R+)中,用的是不等式链中的ab≤a+b22.但是xy=12×(2x)y≤12×(2x+y)22(x,y∈R+)也可以,这两种解法比较,可以发现,求得的最值不一样,这说明选择不同的重要不等式的变形形式,求得的值或范围是不同的,所以我们在选择重要不等式的变形形式时,要使“放缩尺度”恰当,不能“跨越式”地使用不等式链.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究一利用基本不等式证明不等式用基本不等式证明不等式时,应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形,使之具备基本不等式的结构和条件,然后合理地选择基本不等式或其变形式进行证明.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习【例1】已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求证1a-11b-11c-1≥8.思路分析:不等式右边为数字8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘,1a-1=1-aa=b+ca≥2bca,可由此入手.证明:∵a,b,c∈R+,a+b+c=1,∴1a-1=1-aa=b+ca≥2bca.同理1b-1≥2acb,1c-1≥2abc.由于上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得1a-11b-11c-1≥2bca·2acb·2abc=8,当且仅当a=b=c=13时,等号成立.探究一探究二探究三ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三点评(1)利用基本不等式证明不等式,常根据不等号的方向,结合基本不等式进行适度放缩,要注意整体代换.(2)运用基本不等式时,要特别注意等号成立的条件.(3)在推证过程中要正确运用不等式的性质.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究二利用基本不等式求函数的最值基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化,使用基本不等式求最值时,给定的形式不一定能直接应用基本不等式,往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑积或和是定值的形式),构造出基本不等式的形式再进行求解,求解时一定注意基本不等式成立的条件“一正、二定、三相等”.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习【例2】已知x54,求函数y=4x-2+14x-5的最大值.思路分析:由x54,可知4x-50,转化为变量大于零,配凑积为定值.解:∵x54,∴5-4x0.∴y=4x-2+14x-5=-5-4x+15-4x+3≤-2+3=1.当且仅当5-4x=15-4x,即x=1时,等号成立.∴当x=1时,函数y=4x-2+14x-5的最大值为1.探究一探究二探究三ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三点评在应用基本不等式求最值时,分以下三步进行:(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值,若不具备,需对式子变形,凑出需要的定值;(2)其次,看所用的两项是否同正,若不满足,通过分类解决,同负时,可提取(-1)变为同正;(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证.若满足,则可取最值,若不满足,则可通过函数单调性或导数解决.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究三基本不等式的实际应用在解决实际问题时,建立恰当的数学模型是关键,同时注意代数、几何、三角知识的综合运用.【例3】某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2014年某运动会期间进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量x(万件)与年促销费t(万元)之间满足3-x与t+1成反比例的关系,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件,已知2014年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和,则当年生产的化妆品正好能销完.(1)将2014年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数.(2)该企业2014年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大?ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三分析:(1)两个基本关系式是解题的关键,即利润=销售收入-生产成本-促销费;生产成本=固定费用+生产费用;(2)表示题中的所有已知量和未知量,利用它们之间的关系式列出函数表达式.解:(1)由题意可设3-x=kt+1,将t=0,x=1代入,得k=2.∴x=3-2t+1.当年生产x万件时,∵年生产成本=年生产费用+固定费用,∴年生产成本为32x+3=323-2t+1+3.当销售x万件时,年销售收入为150%323-2t+1+3+12t.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三由题意,生产x万件化妆品正好销完,由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,得年利润y=-t2+98t+352(t+1)(t≥0).(2)y=-t2+98t+352(t+1)=50-t+12+32t+1≤50-2t+12×32t+1=50-216=42,当且仅当t+12=32t+1,即t=7时,等号成立,ymax=42,∴当促销费定在7万元时,年利润最大.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三点评解答不等式的实际应用问题,一般可分为如下四步:(1)阅读理解材料:应用题所用语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用,而且多数应用题篇幅较长.阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型.这就要求解题者领悟问题的实际背景,确定问题中量与量之间的关系,初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路,明确解题方向.(2)建立数学模型:根据①中的分析,把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型,并且建立所得数学模型和已知数学模型的对应关系,以便确立下一步的努力方向.(3)讨论不等关系:根据题目要求和②中建立起来的数学模型,讨论与结论有关的不等关系,得出有关理论参数的值.(4)作出问题结论:根据③中得到的理论参数的值,结合题目要求得出问题的结论.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点1.下列各式中,最小值等于2的是()A.xy+yxB.x2+5x2+4C.tanθ+1𝑡𝑎𝑛θD.2x+2-x解析:∵2x0,2-x0,∴2x+2-x≥22x·2-x=2,当且仅当2x=2-x,即x=0时,等号成立.答案:D12345SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点2.设x,y∈R+,且满足x+4y=40,则lgx+lgy的最大值是()A.40B.10C.4D.2解析:∵x,y∈R+,∴4xy≤x+4y2.∴xy≤x+4y4=10,∴xy≤100.∴lgx+lgy=lg(xy)≤lg100=2.答案:D12345SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点3.设x0,则函数y=3-3x-1x的最大值是.解析:y=3-3x+1x≤3-23,当且仅当3x=1x,即x=33时,等号成立.∴ymax=3-23.答案:3-2312345SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点4.函数y=3xx2+x+1(x0)的值域是.解析:∵y=3xx2+x+1=3x+1+1x≥3-2+1=-3,当且仅当x=-1时,等号成立,∴函数的值域为[-3,+∞).答案:[-3,+∞)12345SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点5.设a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求证8abc≤(1-a)(1-b)(1-c).证明:∵a+b+c=1,∴1-a=b+c0,1-b=a+c0,1-c=a+b0.∴(1-a)(1-b)(1-c)=(a+b)(b+c)(a+c).∵a+b≥2ab0,b+c≥2bc0,a+c≥2ac0,三式相乘,得(a+b)(b+c)(a+c)≥2ab·2bc·2ca=8abc.当且仅当a=b=c=13时,等号成立.∴8abc≤(1-a)(1-b)(1-c).12345SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点