2018-2019学年高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式知识归纳与达标验收（含解析）新人教A版选

1第一讲不等式和绝对值不等式考情分析从近两年的高考试题来看，绝对值不等式主要考查解法及简单的应用，题目难度中档偏下，着重考查学生的分类讨论思想及应用能力．解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，化成不含绝对值的不等式，其一是依据绝对值的意义；其二是先令每一个绝对值等于零，找到分界点，通过讨论每一区间内的代数式的符号去掉绝对值．真题体验1．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．解：(1)f(x)＝－3，x＜－1，2x－1，－1≤x≤2，3，x＞2.当x＜－1时，f(x)≥1无解；当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，由f(x)≥1，解得x＞2.所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．(2)由f(x)≥x2－x＋m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－|x|－322＋54≤54，且当x＝32时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝54.故m的取值范围为－∞，54.2．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①当x＜－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；2当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；当x＞1时，①式化为x2＋x－4≤0，从而1＜x≤－1＋172.所以f(x)≥g(x)的解集为x－1≤x≤－1＋172.(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2.所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.所以a的取值范围为[－1,1]．3．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|1的解集．解：(1)由题意得f(x)＝x－4，x≤－1，3x－2，－1x≤32，－x＋4，x32，故y＝f(x)的图象如图所示．(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；3当f(x)＝－1时，可得x＝13或x＝5.故f(x)1的解集为{x|1x3}，f(x)－1的解集为xx13或x5.所以|f(x)|1的解集为xx13或1x3或x5.4．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)1化为|x＋1|－2|x－1|－10.当x≤－1时，不等式化为x－40，无解；当－1x1时，不等式化为3x－20，解得23x1；当x≥1时，不等式化为－x＋20，解得1≤x2.所以f(x)1的解集为x23x2.(2)由题设可得f(x)＝x－1－2a，x－1，3x＋1－2a，－1≤x≤a，－x＋1＋2a，xa.所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a－13，0，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为23(a＋1)2.由题设得23(a＋1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，＋∞)．不等式的基本性质利用不等式的性质判断不等式或有关结论是否成立，或利用不等式性质，进行数值或代数式大小的比较，常用到分类讨论的思想．[例1]“a＋cb＋d”是“ab且cd”的()4A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]易得ab且cd时必有a＋cb＋d.若a＋cb＋d时，不一定有ab且cd，如a＝4，c＝1，b＝d＝2时，a＋c＞b＋d，但c＜d，故选A.[答案]A基本不等式的应用利用基本不等式求最值问题一般有两种类型：①和为定值时，积有最大值；②积为定值时，和有最小值，在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．[例2]若正数a，b满足a＋b＝2，则1a＋1＋4b＋1的最小值是()A．1B.94C．9D．16[解析]1a＋1＋4b＋1＝1a＋1＋4b＋1(a＋1)＋(b＋1)4＝141＋4＋b＋1a＋1＋4(a＋1)b＋1≥14(5＋24)＝94，当且仅当b＋1a＋1＝4(a＋1)b＋1，即a＝13，b＝53时取等号，故选B.[答案]B[例3]设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ca≤13；(2)a2b＋b2c＋c2a≥1.[证明](1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤13.(2)因为a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c，故a2b＋b2c＋c2a＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.5所以a2b＋b2c＋c2a≥1.含绝对值的不等式的解法1.公式法|f(x)|g(x)⇔f(x)g(x)或f(x)－g(x)；|f(x)|g(x)⇔－g(x)f(x)g(x)．2．平方法|f(x)||g(x)|⇔[f(x)]2[g(x)]2.3．零点分段法解含有两个以上绝对值符号的不等式时，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．[例4]解下列关于x的不等式：(1)|x－x2－2|x2－3x－4；(2)|x＋1||x－3|；(3)|x2－2|x|－2|≤1；(4)|x－2|－|2x＋5|2x.[解](1)法一：原不等式等价于x－x2－2x2－3x－4或x－x2－2－(x2－3x－4)，解得1－2x1＋2或x－3，∴原不等式的解集为{x|x－3}．法二：∵|x－x2－2|＝|x2－x＋2|＝x2－x＋2(x2－x＋20)，∴原不等式等价于x2－x＋2x2－3x－4⇔x－3.∴原不等式的解集为{x|x－3}．(2)|x＋1||x－3|，两边平方得(x＋1)2(x－3)2，∴8x8，∴x1，∴原不等式的解集为{x|x1}．(3)∵x2＝|x|2，∴原不等式化为－1≤|x|2－2|x|－2≤1，即|x|2－2|x|－3≤0，|x|2－2|x|－1≥0⇒(|x|－3)(|x|＋1)≤0(|x|－1＋2)(|x|－1－2)≥0⇒|x|≤3，|x|≥1＋2.∴1＋2≤|x|≤3.6∴原不等式解集为[－3，－1－2]∪[1＋2，3]．(4)①当x－52时，原不等式变形为2－x＋2x＋52x，解得x7，∴x－52.②当－52≤x≤2时，原不等式变形为2－x－2x－52x，解得x－35.∴－52≤x－35.③当x2时，原不等式变形为x－2－2x－52x，解得x－73，∴原不等式无解．综上可得，原不等式的解集为xx－35.不等式的恒成立问题对于不等式恒成立求参数范围问题，常见类型及其解法如下：(1)分离参数法运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题．(2)更换主元法不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法．(3)数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观地解决问题．[例5]已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x－2a|.(1)当a＝1时，求f(x)≤3的解集；(2)当x∈[1,2]时，f(x)≤3恒成立，求实数a的取值范围．[解](1)当a＝1时，由f(x)≤3，可得|2x－1|＋|x－2|≤3，∴x12，1－2x＋2－x≤3①或12≤x2，2x－1＋2－x≤3②7或x≥2，2x－1＋x－2≤3.③解①求得0≤x12；解②求得12≤x2；解③求得x＝2.综上可得，0≤x≤2，即不等式的解集为[0,2]．(2)∵当x∈[1,2]时，f(x)≤3恒成立，即|x－2a|≤3－|2x－1|＝4－2x，故2x－4≤2a－x≤4－2x，即3x－4≤2a≤4－x.再根据3x－4的最大值为6－4＝2，4－x的最小值为4－2＝2，∴2a＝2，∴a＝1，即a的取值范围为{1}．(时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若abc，则一定成立的不等式是()A．a|c|b|c|B．abacC．a－|c|b－|c|D.1a1b1c解析：选C当c＝0时，A不成立；当a0时，B不成立；当a＝1，c＝－1时，D不成立．∵ab，∴C成立．2．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则()A．avabB．v＝abC.abva＋b2D．v＝a＋b2解析：选A设甲、乙两地的距离为S，则从甲地到乙地所需时间为Sa，从乙地到甲地所需时间为Sb，又因为ab，所以全程的平均速度为v＝2SSa＋Sb＝2aba＋b2ab2ab＝ab，2aba＋b2ab2b＝8a，即avab.3．若a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则()A．ab＞bcB．ac＞bcC．ab＞acD．a|b|＞c|b|解析：选C∵a＋b＋c＝0，a＞b＞c.∴a＞0，又bc.∴abac.4．若1a1b0，则下列结论不正确的是()A．a2b2B．abb2C.ba＋ab2D．|a|－|b|＝|a－b|解析：选D法一(特殊值法)：令a＝－1，b＝－2，代入A、B、C、D，知D不正确．法二：由1a1b0，得ba0，所以b2ab，aba2，故A、B正确．又由ba1，ab0，且ba≠ab，得ba＋ab2，故C正确．对于D，由ba0⇔|a||b|.即|a|－|b|0，而|a－b|≥0，故D错误．5．函数y＝log2x＋1x－1＋5(x1)的最小值为()A．－3B．3C．4D．－4解析：选Bx1⇒x－10，y＝log2x＋1x－1＋5＝log2x－1＋1x－1＋6≥log2(2＋6)＝log28＝3，当且仅当x－1＝1x－1，即x＝2时取等号．6．若6a10，a2≤b≤2a，c＝a＋b，则c的取值范围是()A．(9,30)B．[0,18]C．[0,30]D．(15,30)解析：选A因为a2≤b≤2a，所以3a2≤a＋b≤3a.又因为6a10，所以3a29,3a30.所以93a2≤a＋b≤3a30.即9c30.97．已知|x－a|b的解集为{x|2x4}，则实数a等于()A．1B．2C．3D．4解析：选C由|x－a|b得，a－bxa＋b，由已知得a－b＝2，a＋b＝4，解得a＝3，b＝1.8．设xy0，x，y∈R，则下列选项正确的是()A．|x＋y||