2018-2019学年高中数学 第二章 平面向量 第3节 平面向量的基本定理及坐标表示（第2课时）平

1课下能力提升(十八)[学业水平达标练]题组1向量的坐标表示1．给出下列几种说法：①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；③一个坐标对应唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选C由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．2．已知向量OA＝(1，－2)，OB＝(－3,4)，则12AB等于()A．(－2,3)B．(2，－3)C．(2,3)D．(－2，－3)解析：选AAB＝OB－OA＝(－3,4)－(1，－2)＝(－4,6)，∴12AB＝12(－4,6)＝(－2,3)．3．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则AB＋2BC＝________.解析：∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，∴AB＝(2,3)，BC＝(－3,3)．∴AB＋2BC＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．答案：(－4,9)题组2平面向量的坐标运算4．已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1,7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为()A．(－7,6)B．(7,6)C．(6,7)D．(7，－6)解析：选D设D(x，y)，由AD＝BC，得(x－5，y＋1)＝(2，－5)，∴x＝7，y＝－6，∴D(7，－6)．5．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则BD＝()A．(－2，－4)B．(－3，－5)2C．(3,5)D．(2,4)解析：选B∵AC＝AB＋AD，∴AD＝AC－AB＝(－1，－1)，∴BD＝AD－AB＝(－3，－5)，故选B.6．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)．若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．解析：由题意得ma＋nb＝(2m，m)＋(n，－2n)＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即2m＋n＝9，m－2n＝－8，解得m＝2，n＝5，所以m－n＝－3.答案：－37．已知点A(－1,2)，B(2,8)及AC＝13AB，DA＝－13BA，求点C，D和CD的坐标．解：设C(x1，y1)，D(x2，y2)．由题意可得AC＝(x1＋1，y1－2)，AB＝(3,6)，DA＝(－1－x2,2－y2)，BA＝(－3，－6)．∵AC＝13AB，DA＝－13BA，∴(x1＋1，y1－2)＝13(3,6)＝(1,2)，(－1－x2,2－y2)＝－13(－3，－6)＝(1,2)．则有x1＋1＝1，y1－2＝2，－1－x2＝1，2－y2＝2，解得x1＝0，y1＝4，x2＝－2，y2＝0.∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，因此CD＝(－2，－4)．题组3向量共线的坐标表示8．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝()A.14B.12C．1D．2解析：选B由题意可得a＋λb＝(1＋λ，2)．由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)×4－3×2＝0，解得λ＝12.39．已知A，B，C三点共线，BA＝－38AC，点A，B的纵坐标分别为2,5，则点C的纵坐标为________．解析：设点C的纵坐标为y.∵A，B，C三点共线，BA＝－38AC，A，B的纵坐标分别为2,5，∴2－5＝－38(y－2)．∴y＝10.答案：1010．已知A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,2)，并且AE＝13AC，BF＝13BC，求证：EF∥AB.证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，依题意有AC＝(2,2)，BC＝(－2,3)，AB＝(4，－1)．因为AE＝13AC，所以AE＝23，23，所以(x1＋1，y1)＝23，23，故E－13，23；因为BF＝13BC，所以BF＝－23，1，所以(x2－3，y2＋1)＝－23，1，故F73，0.所以EF＝83，－23.又因为4×－23－83×(－1)＝0，所以EF∥AB.11．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，回答下列问题：(1)求3a＋b－2c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.解：(1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．(2)∵a＝mb＋nc，∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．∴－m＋4n＝3且2m＋n＝2，解得m＝59，n＝89.(3)∵(a＋kc)∥(2b－a)，4又a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.∴k＝－1613.[能力提升综合练]1．已知向量a＝(m,1)，b＝(m2,2)．若存在λ∈R，使得a＋λb＝0，则m＝()A．0B．2C．0或2D．0或－2解析：选C∵a＝(m,1)，b＝(m2,2)，a＋λb＝0，∴(m＋λm2,1＋2λ)＝(0,0)，即m＋λm2＝0，1＋2λ＝0，∴λ＝－12，m＝0或2，故选C.2．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为()A．(2,6)B．(－2,6)C．(2，－6)D．(－2，－6)解析：选D∵四条有向线段首尾相接构成四边形，则对应向量之和为零向量，即4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0，∴d＝－6a－4b＋4c＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2)＝(－2，－6)．3．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：选D∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然c与d不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c∥d且c与d反向．4．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则mn等于()A．－12B.12C．－2D．2解析：选A由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb与a－2b共线，得2m－n4＝3m＋2n－1，所以mn＝－12.5．已知AB＝(6,1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2，－3)，BC∥DA，则x＋2y的值为________．解析：∵AD＝AB＋BC＋CD＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)，5∴DA＝－AD＝－(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．∵BC∥DA，∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.答案：06．已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．解析：若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即AB与AC不共线．∵AB＝OB－OA＝(3,1)，AC＝OC－OA＝(2－m,1－m)，∴3(1－m)≠2－m，即m≠12，∴m≠12.答案：m≠127．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且OP＝OA＋tAB，试问：(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？(2)四边形OABP可能为平行四边形吗？若可能，求出相应的t值；若不可能，请说明理由．解：由题可知OA＝(1,2)，AB＝(3,3)，OP＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)．(1)若P在x轴上，则有2＋3t＝0，t＝－23；若P在y轴上，则有1＋3t＝0，t＝－13；若P在第二象限，则有1＋3t＜0，2＋3t＞0，解得－23＜t＜－13.(2)PB＝PO＋OB＝(－1－3t，－2－3t)＋(4,5)＝(3－3t,3－3t)．若四边形OABP是平行四边形，则有OA＝PB，即3－3t＝1，3－3t＝2，方程组显然无解．∴四边形OABP不可能是平行四边形．8．已知向量u＝(x，y)和v＝(y,2y－x)的对应关系可用v＝f(u)表示．(1)若a＝(1,1)，b＝(1,0)，试求向量f(a)及f(b)的坐标；(2)求使f(c)＝(4,5)的向量c的坐标；6(3)对于任意向量a，b及常数λ，μ，证明：f(λa＋μb)＝λf(a)＋μf(b)恒成立．解：(1)由题意知，当a＝(1,1)时，f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)．当b＝(1,0)时，f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．(2)设c＝(x，y)，则f(c)＝(y,2y－x)＝(4,5)，则y＝4，2y－x＝5.解得x＝3，y＝4，∴c＝(3,4)．(3)证明：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则λa＋μb＝(λx1＋μx2，λy1＋μy2)，∴f(λa＋μb)＝(λy1＋μy2,2(λy1＋μy2)－(λx1＋μx2))．又∵f(a)＝(y1,2y1－x1)，f(b)＝(y2,2y2－x2)，∴λf(a)＋μf(b)＝λ(y1,2y1－x1)＋μ(y2,2y2－x2)＝(λy1＋μy2,2(λy1＋μy2)－(λx1＋μx2))＝f(λa＋μb)．∴f(λa＋μb)＝λf(a)＋μf(b)恒成立．7