2018-2019学年高中数学 第二章 平面向量 第4节 平面向量的数量积（第1课时）平面向量数量积

1课下能力提升(十九)[学业水平达标练]题组1向量数量积的运算1．下面给出的关系式中正确的个数是()①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.A．1B．2C．3D．4解析：选C①②③正确，④⑤错误，|a·b|＝|a|·|b|·|cosθ|≥a·b，(a·b)2＝(|a|·|b|·cosθ)2＝a2·b2cos2θ≠a2·b2.2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是32，则a·b为()A.92B．3C．2D.12解析：选A∵|a|cos〈a，b〉＝32，|b|＝3，∴a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝3×32＝92.3．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足AP＝2PM，则AP·(PB＋PC)等于()A.49B.43C．－43D．－49解析：选A∵AM＝1，且AP＝2PM，∴|AP|＝23.如图，AP·(PB＋PC)＝AP·2PM＝AP·AP＝(AP)2＝232＝49.4.如图所示，在平行四边形ABCD中，|AB|＝4，|AD|＝3，∠DAB＝60°.求：(1)AD·BC；(2)AB·CD；(3)AB·DA.解：(1)AD·BC＝|AD|2＝9；2(2)AB·CD＝－|AB|2＝－16；(3)AB·DA＝|AB||DA|cos(180°－60°)＝4×3×－12＝－6.题组2向量的模5．已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋2b|＝()A．1B.7C．4＋3D．27解析：选B根据题意，得|a＋2b|＝a2＋4a·b＋4b2＝7.故选B.6．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝()A．2B．4C．6D．12解析：选C∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72，∴a2－a·b－6b2＝－72，∴|a|2－|a||b|cos60°－6|b|2＝－72，∴|a|2－2|a|－24＝0，∴|a|＝6或|a|＝－4.又|a|≥0，∴|a|＝6.7．已知非零向量a，b，满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则|a||b|＝________.解析：(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2，∵a⊥b，∴|a＋2b|＝a2＋4b2，|a－2b|＝a2＋4b2.故cos120°＝a＋2ba－2b|a＋2b||a－2b|＝a2－4b2a2＋4b22＝a2－4b2a2＋4b2＝－12，得a2b2＝43，即|a||b|＝233.答案：233题组3两向量的夹角与垂直问题8．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选C因为(2a＋b)·b＝2a·b＋b·b＝0，所以a·b＝－12|b|2.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝－12|b|2|b|2＝－12，故θ＝120°.9．已知|a|＝3，|b|＝2，且a，b的夹角为60°，如果(3a＋5b)⊥(ma－b)，那么m的值为()3A.3223B.2342C.2942D.4223解析：选C由题意知(3a＋5b)·(ma－b)＝0，即3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0,3m×32＋(5m－3)×3×2cos60°－5×22＝0，解得m＝2942.10．已知|a|＝3，|b|＝4，且(a－2b)·(2a＋b)≥4，则a与b的夹角θ的取值范围是________．解析：(a－2b)·(2a＋b)＝2a2＋a·b－4a·b－2b2＝2×9－3|a||b|cosθ－2×16＝－14－3×3×4cosθ≥4，∴cosθ≤－12，∴θ∈2π3，π.答案：2π3，π11．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a，b的夹角为60°.(1)求(2a－b)·(a＋b)；(2)若(a＋b)⊥(λa－2b)，求实数λ的值．解：(1)由题意，得a·b＝|a|·|b|cos60°＝1×4×12＝2.∴(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋a·b－b2＝2＋2－16＝－12.(2)∵(a＋b)⊥(λa－2b)，∴(a＋b)·(λa－2b)＝0，∴λa2＋(λ－2)a·b－2b2＝0，∴λ＋2(λ－2)－32＝0，∴λ＝12.[能力提升综合练]1．已知|a|＝3，|b|＝5，且a与b的夹角θ＝45°，则向量a在向量b上的投影为()A.322B．3C．4D．5解析：选A由已知|a|＝3，|b|＝5，cosθ＝cos45°＝22，而向量a在向量b上的投影为|a|cosθ＝3×22＝322.2．如图，e1，e2为互相垂直的两个单位向量，则|a＋b|＝()A．20B.10C．25D.154解析：选C由题意，知a＝－12e1－72e2，b＝－32e1－12e2，所以a＋b＝－2e1－4e2，所以|a＋b|＝－2e1－4e22＝4|e1|2＋16e1·e2＋16|e2|2＝20＝25，故选C.3．如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC＝3BD，|AD|＝1，则AC·AD等于()A．23B.32C.33D.3解析：选D因为AC＝BC－BA＝3BD－BA，所以AC·AD＝(3BD－BA)·AD＝3BD·AD－BA·AD.又AD⊥AB，所以BA·AD＝0，所以AC·AD＝3BD·AD.又BD＝AD－AB，所以AC·AD＝3BD·AD＝3(AD－AB)·AD＝3AD2－3AB·AD＝3.4．已知平面向量a，b满足|a＋b|＝1，|a－b|＝x，a·b＝－38x，则x＝()A.3B．2C.5D．3解析：选B|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝x2，两式相减得4a·b＝1－x2.又a·b＝－38x，所以1－x2＝－32x，解得x＝2或x＝－12(舍去)．故选B.5．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．解析：|α|＝1，|β|＝2，由α⊥(α－2β)，知α·(α－2β)＝0,2α·β＝1，所以|2α＋β|2＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋2＋4＝10，故|2α＋β|＝10.答案：106．设向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．解：由题意，知e21＝4，e22＝1，e1·e2＝1，∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te21＋(2t2＋7)e1·e2＋7te22＝2t2＋15t＋7，5∴2t2＋15t＋70，解得－7t－12.当2te1＋7e2与e1＋te2共线时，设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ0)⇒2t＝λ，7＝tλ，⇒2t2＝7⇒t＝－142，λ＝－14，∴当t＝－142时，2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π.∴实数t的取值范围是－7，－142∪－142，－12.7．已知a，b是非零向量，t为实数，设u＝a＋tb.(1)当|u|取最小值时，求实数t的值；(2)当|u|取最小值时，向量b与u是否垂直？解：(1)|u|2＝|a＋tb|2＝(a＋tb)·(a＋tb)＝|b|2t2＋2(a·b)t＋|a|2＝|b|2t＋a·b|b|22＋|a|2－a·b2|b|2.∵b是非零向量，∴|b|≠0，∴当t＝－a·b|b|2时，|u|＝|a＋tb|的值最小．(2)∵b·(a＋tb)＝a·b＋t|b|2＝a·b＋－a·b|b|2·|b|2＝a·b－a·b＝0，∴b⊥(a＋tb)，即b⊥u.6