2018-2019学年高中数学 第四讲 用数学归纳法证明不等式 4.1 数学归纳法课件 新人教A版选

-1-第四讲用数学归纳法证明不等式-2-一数学归纳法首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习课程目标学习脉络1.掌握数学归纳法及其证明思路.2.理解数学归纳法的证明步骤.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习数学归纳法一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:(1)证明当n=n0时命题成立;(2)假设当n=k(k∈N+,且k≥n0)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习思考1数学归纳法及其证明思路是什么?提示:数学归纳法是指由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法,包括不完全归纳法和完全归纳法.不完全归纳法是根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出的一般结论的推理方法.比如在学习数列的知识时,我们可以通过观察数列的前几项来写数列的通项公式,这个过程用的就是不完全归纳法,我们知道仅根据一系列有限的特殊事例所得出的一般结论有时是不正确的.例如,一个数列的通项公式是an=(n2-5n+5)2,容易验证a1=1,a2=1,a3=1,a4=1.但如果由此作出结论——对任何n∈N+,an=(n2-5n+5)2=1都成立,那就是错误的,事实上,a5=25≠1.完全归纳法是根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法.数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律,用数学归纳法证明结论.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习思考2什么时候可以运用数学归纳法证明,证明时n0是否一定要为1?提示:数学归纳法一般被使用证明某些涉及正整数n的命题,n可取无限多个值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用数学归纳法证明,例如用数学归纳法证明1+1𝑛𝑛(n∈N+)的单调性就难以实现,一般来说,从k=n到k=n+1时,如果问题中存在可利用的递推关系,则数学归纳法有用武之地,否则使用数学归纳法就有困难.在运用数学归纳法时,要注意起点n0并非一定取1,也可能取0,2等值,要看清题目,比如证明凸n边形的内角和f(n)=(n-2)×180°,这里面的n应不小于3,即n≥3,第一个值n0=3.归纳假设的利用是数学归纳法证明的关键,这也是能否由“n=k”递推到“n=k+1”的关键,在证明过程中,需根据命题的变化或者在步骤的变化中,从数学式子的结构特点上,利用拼凑的方法,凑假设,凑结论,从而使“递推关系”得以顺利进行,命题得以证明.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一用数学归纳法证明整除问题利用数学归纳法证明整除性问题时,第二步一般先将n=k+1代入原式,然后将原式作适当的恒等变形,凑出归纳假设,这是证明的关键和难点.【例1】求证:对任意正整数n,34n+2+52n+1能被14整除.思路分析:证明一个与n有关的式子f(n)能被一个数a(或一个代数式g(n))整除,主要是找到f(k+1)与f(k)的关系,设法找到式子f1(k),f2(k),使得f(k+1)=f(k)·f1(k)+a·f2(k),就可证得命题成立.探究一探究二探究三ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三证明:(1)当n=1时,34n+2+52n+1=36+53=854=14×61,能被14整除,命题成立;(2)假设当n=k时命题成立,即34k+2+52k+1能被14整除,那么当n=k+1时,34(k+1)+2+52(k+1)+1=34k+2×34+52k+1×52=34k+2×34+52k+1×34-52k+1×34+52k+1×52=34(34k+2+52k+1)-52k+1(34-52)=34(34k+2+52k+1)-56×52k+1,因为34k+2+52k+1能被14整除,56也能被14整除,所以34(k+1)+2+52(k+1)+1能被14整除,故命题成立.由(1)(2)知,命题对任意正整数n都成立.点评利用数学归纳法证明整除时,关键是整理出除数因式与商数因式积的形式.这往往要涉及“添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧,凑出n=k时的情形,从而利用归纳假设使问题得证.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究二用数学归纳法证明恒等式用数学归纳法证明一个代数恒等式,解题前先要分析清楚等式两边的构成情况.解这类题的关键在第二步,将式子转化为与归纳假设的等式结构相同的形式——凑假设.然后应用归纳假设,经过恒等变形得到结论所需形式——凑结论.【例2】对任意正整数n,用数学归纳法证明11×2+13×4+…+1(2𝑛-1)×2𝑛=1𝑛+1+1𝑛+2+…+1𝑛+𝑛.思路分析:用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的关键是第二步,要注意当n=k+1时,等式两边的式子与n=k时等式两边的式子的联系,增加了哪些项,减少了哪些项.探究一探究二探究三ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三证明:(1)当n=1时,左边=11×2=12,右边=12,等式成立.(2)假设当n=k(k≥1)时等式成立,即11×2+13×4+…+1(2𝑘-1)×2𝑘=1𝑘+1+1𝑘+2+…+12𝑘,则当n=k+1时,11×2+13×4+…+1(2𝑘-1)×2𝑘+1(2𝑘+1)(2𝑘+2)=1𝑘+1+1𝑘+2+…+12𝑘+1(2𝑘+1)(2𝑘+2)=1𝑘+2+1𝑘+3+…+12𝑘+12𝑘+1-12𝑘+2+1𝑘+1=1𝑘+2+1𝑘+3+…+12𝑘+12𝑘+1+12𝑘+2=1(𝑘+1)+1+1(𝑘+1)+2+…+1(𝑘+1)+𝑘+1(𝑘+1)+(𝑘+1),即当n=k+1时,等式成立.根据(1)(2)可知,对一切n∈N+等式成立.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三点评利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点:一是要准确表述n=n0时命题的形式,二是要准确把握由n=k到n=k+1时,命题结构的变化特点.并且一定要记住:在证明n=k+1成立时,必须使用归纳假设.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究三用数学归纳法解决几何中的有关问题对于几何问题的证明,可以先从有限情形中归纳出一个变化的过程,或者说体会出是怎样变化的,然后再去证明,也可以用“递推”的方法来证明.【例3】平面内有n个圆,任意两个圆都相交于两点,任意三个圆不相交于同一点,求证:这n个圆将平面分成f(n)=n2-n+2(n∈N+)个部分.思路分析:因为f(n)为n个圆把平面分割成的区域数,那么再有一个圆和这n个圆相交,就有2n个交点,这些交点将增加的这个圆分成2n段弧,且每一段弧又将原来的平面区域一分为二,所以增加一个圆后,平面分成的区域数增加2n个,即f(n+1)=f(n)+2n.探究一探究二探究三ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三证明:(1)当n=1时,一个圆将平面分成两个部分,且f(1)=1-1+2=2,所以n=1时命题成立.(2)假设当n=k(k≥1)时命题成立,即k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2个部分.则当n=k+1时,在k+1个圆中任取一个圆O,剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分,而圆O与这k个圆有2k个交点,这2k个点将圆O分成2k段弧,每段弧将原平面一分为二,故得f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2.故当n=k+1时,命题成立.综上(1)(2)可知,对一切n∈N+命题成立,即这n个圆将平面分成f(n)=n2-n+2个部分(n∈N+).点评本题中,n=k+1时的结果已经知道:f(k+1)=(k+1)2-(k+1)+2,用f(k+1)-f(k)就可得到增加的部分,然后从有限的情况来理解如何增加的,也就容易理解了.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点1.已知a1=12,an+1=3𝑎𝑛𝑎𝑛+3,猜想an等于()A.3𝑛+2B.3𝑛+3C.3𝑛+4D.3𝑛+5解析:由已知可知a1=12,a2=3×1212+3=3272=37,a3=3×3737+3=97247=924=38,a4=3×3838+3=98278=13=39,所以猜想an=3𝑛+5.答案:D1234SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点2.在应用数学归纳法证明凸多边形的对角线的条数为12n(n-3)时,第一步检验n等于()A.1B.2C.3D.4答案:C1234SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点3.若f(n)=12+22+32+…+(2n)2,则f(k+1)与f(k)的递推关系式是.解析:∵f(k)=12+22+32+…+(2k)2,而f(k+1)=12+22+32+…+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2,∴f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.答案:f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)21234SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点4.对任意正整数n,用数学归纳法证明121×3+223×5+…+𝑛2(2𝑛-1)(2𝑛+1)=𝑛(𝑛+1)2(2𝑛+1).证明:(1)当n=1时,左边=121×3=13,右边=1×22×3=13,故n=1时等式成立.(2)假设当n=k时,等式成立,即121×3+223×5+…+𝑘2(2𝑘-1)(2𝑘+1)=𝑘(𝑘+1)2(2𝑘+1).1234SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点1234那么当n=k+1时,121×3+223×5+…+𝑘2(2𝑘-1)(2𝑘+1)+(𝑘+1)2[2(𝑘+1)-1][2(𝑘+1)+1]=𝑘(𝑘+1)2(2𝑘+1)+(𝑘+1)2[2(𝑘+1)-1][2(𝑘+1)+1]=𝑘(𝑘+1)2(2𝑘+1)+(𝑘+1)2(2𝑘+1)(2𝑘+3)=(𝑘+1)(𝑘+2)(2𝑘+1)2(2𝑘+1)(2𝑘+3)=(𝑘+1)[(𝑘+1)+1]2[2(𝑘+1)+1],故当n=k+1时,等式也成立.由(1)(2)知,对任意正整数n等式成立.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点