2018-2019学年高中数学 第四讲 用数学归纳法证明不等式 4.2 用数学归纳法证明不等式举例练

-1-二用数学归纳法证明不等式举例一、选择题1.用数学归纳法证明1++…+n(n∈N+,且n1)时,第一步是证下述哪个不等式成立()A.12B.1+2C.1+2D.1+2解析:当n=2时,左边=1+,右边=2,所以应证1+2.答案:C2.用数学归纳法证明式子“1++…+n(n∈N+,n1)”时,由n=k(k1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是()A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+1解析:当n=k时,不等式1++…+k成立;当n=k+1时,不等式的左边=1++…++…+,比较n=k时的不等式左边,可知左边增加了2k+1-1-(2k-1)=2k+1-2k=2k(项).答案:C3.已知a1=1,an+1an,且(an+1-an)2-2(an+1+an)+1=0,先计算a2,a3,再猜想an等于()-2-A.nB.n2C.n3D.解析:∵(an+1-an)2-2(an+1+an)+1=0,∴(a2-1)2-2(a2+1)+1=0,∴a2=4,或a2=0(舍去).同理a3=9,或a3=1(舍去).∴猜想an=n2.答案:B4.用数学归纳法证明不等式+…+(n≥2,n∈N+)的过程中,由n=k递推到n=k+1时不等式左边(A.增加了一项B.增加了两项C.增加了两项,但减少了一项D.以上各种情况均不正确解析:当n=k时,不等式为+…+;当n=k+1时,不等式左边=+…++…+.比较n=k和n=k+1,易知选C.答案:C5.某同学回答“用数学归纳法证明n+1(n∈N+)”的过程如下:证明:(1)当n=1时,显然命题是正确的;-3-(2)假设当n=k(k≥1)时有k+1,那么当n=k+1时,=(k+1)+1,所以当n=k+1时命题是正确的.由(1)(2)可知对于n∈N+,命题都是正确的.以上证法是错误的,错误在于()A.从k到k+1的推理过程没有使用归纳假设B.归纳假设的写法不正确C.从k到k+1的推理不严密D.当n=1时,验证过程不具体解析:证明(k+1)+1时进行了一般意义的放大.而没有使用归纳假设k+1.答案:A二、非选择题6.观察下式:1=12;2+3+4=32;3+4+5+6+7=52;4+5+6+7+8+9+10=72,…,可得出结论:.解析:各等式的左边是第n个到第3n-2个连续自然数的和,右边是奇数的平方,故得出结论:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)27.在△ABC中,不等式成立;在四边形ABCD中,不等式成立;在五边形ABCDE中,不等式成立.猜想在n边形A1A2…An中,其不等式为.答案:+…+8.求证:+…+(n≥2,n∈N+).解：证明:(1)当n=2时,左边=,不等式成立.-4-(2)假设当n=k时(k≥2,k∈N+),有+…+成立,则当n=k+1时,+…+=+…+=.所以当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2)知,原不等式对一切n≥2,n∈N+均成立.9.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N+,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b0且b≠1,b,r均为常数)的图象上.(1)求r的值;(2)当b=2时,记bn=2(log2an+1)(n∈N+),证明对任意的n∈N+,不等式·…·成立.解:(1)因为对任意的n∈N+,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b0且b≠1,b,r均为常数)的图象上,所以Sn=bn+r.当n=1时,a1=S1=b+r.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=bn+r-(bn-1+r)=bn-bn-1=(b-1)bn-1.又因为{an}为等比数列,所以r=-1,公比为b,an=(b-1)·bn-1(n∈N+).-5-(2)证明:当b=2时,an=(b-1)bn-1=2n-1,bn=2(log2an+1)=2(log22n-1+1)=2n,则,所以·…·=×…×.下面用数学归纳法证明不等式·…·×…×成立.①当n=1时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.②假设当n=k(k∈N+,k≥1)时不等式成立,即·…·×…×成立,则当n=k+1时,左边=·…·×…×.所以当n=k+1时,不等式也成立.由①②可得所证不等式恒成立.-6-