2018-2019学年高中数学 第四讲 用数学归纳法证明不等式 4.2 用数学归纳法证明不等式举例课

-1-二用数学归纳法证明不等式举例首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习课程目标学习脉络1.学会用观察、归纳、猜想、证明的方法.2.学会运用数学归纳法证明不等式.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习1.本节的有关结论(1)n22n(n∈N+,n≥5);(2)|sinnθ|≤n|sinθ|(n∈N+);(3)贝努利不等式:如果x是实数,且x-1,x≠0,n为大于1的自然数,那么有(1+x)n1+nx.当α是实数,并且满足α1或者α0时,有(1+x)α≥1+αx(x-1);当α是实数,并且满足0α1时,有(1+x)α≤1+αx(x-1).(4)如果n(n为正整数)个正数a1,a2,…,an的乘积a1a2…an=1,那么它们的和a1+a2+…+an≥n.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习思考1观察、归纳、猜想、证明的方法是什么?提示:这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索型问题,命题的成立不成立都预先需要归纳与探索,而归纳与探索多数情况下是从特例、特殊情况入手,得到一个结论,但这个结论不一定正确,因为这是靠不完全归纳法得出的,因此,需要给出一定的逻辑证明,所以通过观察、分析、归纳、猜想,探索一般规律,其关键在于正确的归纳猜想,如果归纳不出正确的结论,那么数学归纳法的证明也就无法进行了.在观察与归纳时,n的取值不能太少,否则将得出错误的结论.教材例1中若只观察前3项:a1=1,b1=2⇒a1b1;a2=4,b2=4⇒a2=b2,a3=9,b3=8⇒a3b3,就此归纳出n22n(n∈N+,n≥3)就是错误的,前几项的关系可能只是特殊情况,不具有一般性,因而,要从多个特殊事例上探索一般结论.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习2.用数学归纳法证明不等式在用数学归纳法证明不等式时,我们常会用到证明不等式的其他比较重要的一个方法是比较法.思考2从“n=k”到“n=k+1”的方法与技巧是什么?提示:在用数学归纳法证明不等式问题中,从“n=k”到“n=k+1”的过渡,利用归纳假设是比较困难的一步,它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样,只需拼凑出所需要的结构来,而证明不等式的第二步中,从“n=k”到“n=k+1”,只用拼凑的方法,有时是行不通的,因为对不等式来说,它还涉及“放缩”的问题,它可能需通过“放大”或“缩小”的过程,才能利用上归纳假设,因此,我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“n=k”到“n=k+1”的变化,从中找到“放缩尺度”,准确地拼凑出所需要的结构.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一用数学归纳法证明有关函数中的不等关系用数学归纳法证明不等式的关键是“变形”,即在假设的基础上,通过放缩、比较、分析、综合等证明不等式的方法,得出要证明的不等式.【例1】已知f(x)=𝑥𝑛-𝑥-𝑛𝑥𝑛+𝑥-𝑛.对于n∈N+,试比较f(2)与𝑛2-1𝑛2+1的大小并说明理由.分析:先通过n取比较小的值进行归纳猜想,确定证明方向,再用数学归纳法证明.探究一探究二探究三探究四ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解:根据题意f(x)=𝑥𝑛-𝑥-𝑛𝑥𝑛+𝑥-𝑛=𝑥2𝑛-1𝑥2𝑛+1=1-2𝑥2𝑛+1,∴f(2)=1-22𝑛+1.又𝑛2-1𝑛2+1=1-2𝑛2+1,∴要比较f(2)与𝑛2-1𝑛2+1的大小,只需比较2n与n2的大小即可,当n=1时,21=212=1,当n=2时,22=4=22,当n=3时,23=832=9,当n=4时,24=16=42,当n=5时,25=3252=25,当n=6时,26=6462=36.故猜测当n≥5(n∈N+)时,2nn2,下面用数学归纳法加以证明.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四(1)当n=5时,2nn2显然成立.(2)假设n=k(k≥5,且k∈N+)时,不等式2nn2成立,即2kk2(k≥5),则当n=k+1时,2k+1=2·2k2·k2=k2+k2+2k+1-2k-1=(k+1)2+(k-1)2-2(k+1)2(因为(k-1)22).由(1)(2)可知,对一切n≥5,n∈N+,2nn2成立.综上所述,当n=1或n≥5时,f(2)𝑛2-1𝑛2+1;当n=2或n=4时,f(2)=𝑛2-1𝑛2+1;当n=3时,f(2)𝑛2-1𝑛2+1.点评利用数学归纳法比较大小,关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系,猜测出证明的方向,再用数学归纳法证明结论成立.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究二数学归纳法在解决有关数列问题中的应用数列中常涉及关于n的不等式和恒等式的证明.用数学归纳法证明比较合理.【例2】已知数列{an}满足:a1=32,且an=3𝑛𝑎𝑛-12𝑎𝑛-1+n-1(n≥2,n∈N+).(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:对一切正整数n,不等式a1a2…an2n!恒成立.分析:(1)由题设条件知,可用构造新数列的方法求得an;(2)可以等价变形,视为证明新的不等式.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四(1)解:将条件变为:1-𝑛𝑎𝑛=131-𝑛-1𝑎𝑛-1,因此数列1-𝑛𝑎𝑛为一个等比数列,其首项为1-1𝑎1=13,公比为13,从而1-𝑛𝑎𝑛=13𝑛,因此得an=𝑛×3𝑛3𝑛-1(n≥1).①(2)证明:由①得a1a2…an=𝑛!1-13×1-132×…×1-13𝑛.为证a1a2…an2n!,只要证n∈N+时,有1-13×1-132×…×1-13𝑛12.②显然,左端每个因式皆为正数,先证明对n∈N+,有1-13×1-132×…×1-13𝑛≥1-13+132+…+13𝑛.③ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四下面用数学归纳法证明③式:①当n=1时,显然③式成立,②假设n=k(k∈N+,k≥1)时,③式成立,即1-13×1-132×…×1-13𝑘≥1-13+132+…+13𝑘,则当n=k+1时,1-13×1-132×…×1-13𝑘×1-13𝑘+1≥1-13+132+…+13𝑘1-13𝑘+1=1-13+132+…+13𝑘−13𝑘+1+13𝑘+1·13+132+…+13𝑘≥1-13+132+…+13𝑘+13𝑘+1.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四即当n=k+1时,③式也成立.故对一切n∈N+,③式都成立.利用③,得1-13×1-132…1-13𝑛≥1-13+132+…+13𝑛=1-131-13𝑛1-13=1-121-13𝑛=12+1213𝑛12.故原不等式成立.点评本题提供了用数学归纳法证明相关问题的一种证明思路,即要证明的不等式不一定非要用数学归纳法去直接证明,我们通过分析法、综合法等方法的分析,可以找到一些证明的关键,“要证明……”,“只需证明……”,转化为证明其他某一个条件,进而说明要证明的不等式是成立的.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究三用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式,推导“n=k+1”不等式也成立时,证明不等式的所有方法,如比较法、分析法、综合法、反证法及放缩法等都可以灵活运用.【例3】设n1(n∈N+),求证1𝑛+1𝑛+1+1𝑛+2+…+1𝑛21.思路分析:找准n0,看左边是多少项,从n=k到n=k+1时添了什么项,少了什么项,加上n=k时的假设.从而证明n=k+1时不等式成立.探究一探究二探究三探究四ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四证明:(1)当n=2时,左边=12+13+14=13121,∴当n=2时,不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2,且k∈N+)时,不等式成立,即1𝑘+1𝑘+1+1𝑘+2+…+1𝑘21,那么当n=k+1时,1𝑘+1+1(𝑘+1)+1+…+1(𝑘+1)2-1+1(𝑘+1)2=1𝑘+1+1𝑘+2+…+1𝑘2+1𝑘2+1+…+1𝑘2+2k2𝑘项+1(𝑘+1)2=1𝑘+1𝑘+1+1𝑘+2+…+1𝑘2+1𝑘2+1+…+1𝑘2+2k+1(𝑘+1)2−1𝑘1+2𝑘+1(𝑘+1)2−1𝑘=1+𝑘2-k-1𝑘(𝑘+1)2,ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四∵k≥2,∴𝑘-122≥94.∴k2-k-1=𝑘-122−54≥1.∴1+𝑘2-k-1𝑘(𝑘+1)21.∴1𝑘+1+1(𝑘+1)+1+…+1(𝑘+1)21.∴当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2)可知,对一切的n≥2,且n∈N+,此不等式都成立.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究四易错辨析易错点从第k项到第k+1项递推出错【例4】已知f(n)=1+12+13+…+1𝑛(n∈N+).用数学归纳法证明f(2n)𝑛2时,f(2k+1)-f(2k)=.错解:12𝑘+1错因分析:∵f(n)=1+12+13+…+1𝑛中共有n项相加,∴f(2k)中应有2k项相加,f(2k+1)中有2k+1项相加,∴f(2k+1)-f(2k)中应有(2k+1-2k)项.正解:12𝑘+1+12𝑘+2+…+12𝑘+1SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点1.用数学归纳法证明C𝑛1+C𝑛2+…+C𝑛𝑛𝑛𝑛-12(n≥n0,且n∈N+),则n的最小值n0为()A.1B.2C.3D.4解析:当n=1时,左边=C11=1,右边=10=1,11不成立;当n=2时,左边=C21+C22=2+1=3,右边=212=2,32,成立;当n=3时,左边=C31+C32+C33=3+3+1=7,右边=31=3,73,成立.所以n的最小值n0为2.答案:B1234SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点2.观察下列不等式:112;1+12+131;1+12+13+…+1732;1+12+13+…+1152;1+12+13+…+13152;…由此猜测第n个不等式为.答案:1+12+13+…+12𝑛-1𝑛21234SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点3.用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n,总有2nn3时”,验证第一步不等式成立所取的第一个最小值n0应当是.解析:当n=1时,211